En mecánica estadística , la universalidad es la observación de que existen propiedades para una gran clase de sistemas que son independientes de los detalles dinámicos del sistema. Los sistemas muestran universalidad en un límite de escala, cuando un gran número de partes que interactúan se unen. El significado moderno del término fue introducido por Leo Kadanoff en la década de 1960, [ cita requerida ] pero una versión más simple del concepto ya estaba implícita en la ecuación de van der Waals y en la teoría anterior de Landau de las transiciones de fase, que no incorporaba la escala correctamente. [ cita requerida ]
El término está ganando lentamente un uso más amplio en varios campos de las matemáticas, incluida la combinatoria y la teoría de la probabilidad , siempre que las características cuantitativas de una estructura (como el comportamiento asintótico) se puedan deducir de unos pocos parámetros globales que aparecen en la definición, sin requerir conocimiento de los detalles del sistema.
El grupo de renormalización proporciona una explicación intuitivamente atractiva, aunque matemáticamente no rigurosa, de la universalidad. Clasifica a los operadores en una teoría de campo estadística en relevantes e irrelevantes. Los operadores relevantes son aquellos responsables de las perturbaciones a la energía libre, el lagrangiano de tiempo imaginario, que afectarán el límite continuo y pueden verse a largas distancias. Los operadores irrelevantes son aquellos que solo cambian los detalles de corta distancia. La colección de teorías estadísticas invariantes de escala define las clases de universalidad , y la lista de dimensión finita de coeficientes de operadores relevantes parametriza el comportamiento casi crítico.
La noción de universalidad se originó en el estudio de las transiciones de fase en la mecánica estadística. [ cita requerida ] Una transición de fase ocurre cuando un material cambia sus propiedades de manera dramática: el agua, al calentarse, hierve y se convierte en vapor; o un imán, al calentarse, pierde su magnetismo. Las transiciones de fase se caracterizan por un parámetro de orden , como la densidad o la magnetización, que cambia en función de un parámetro del sistema, como la temperatura. El valor especial del parámetro en el que el sistema cambia su fase es el punto crítico del sistema . Para los sistemas que exhiben universalidad, cuanto más cerca esté el parámetro de su valor crítico , menos sensiblemente depende el parámetro de orden de los detalles del sistema.
Si el parámetro β es crítico en el valor β c , entonces el parámetro de orden a se aproximará bien mediante [ cita requerida ]
El exponente α es un exponente crítico del sistema. El notable descubrimiento que se hizo en la segunda mitad del siglo XX fue que sistemas muy diferentes tenían los mismos exponentes críticos. [ cita requerida ]
En 1975, Mitchell Feigenbaum descubrió la universalidad en los mapas iterados. [1] [2] [3]
La universalidad recibe su nombre porque se observa en una gran variedad de sistemas físicos. Algunos ejemplos de universalidad son:
Uno de los avances más importantes en la ciencia de los materiales en los años 1970 y 1980 fue la constatación de que la teoría estadística de campos, similar a la teoría cuántica de campos, podía utilizarse para proporcionar una teoría microscópica de la universalidad. [ cita requerida ] La observación principal fue que, para todos los sistemas diferentes, el comportamiento en una transición de fase se describe mediante un campo continuo, y que la misma teoría estadística de campos describirá diferentes sistemas. Los exponentes de escala en todos estos sistemas pueden derivarse únicamente de la teoría de campos, y se conocen como exponentes críticos .
La observación clave es que cerca de una transición de fase o punto crítico , ocurren perturbaciones en todas las escalas de tamaño, y por lo tanto se debe buscar una teoría explícitamente invariante a la escala para describir los fenómenos, como parece haber sido puesto en un marco teórico formal por primera vez por Pokrovsky y Patashinsky en 1965 [4] . [ cita requerida ] La universalidad es un subproducto del hecho de que hay relativamente pocas teorías invariantes a la escala. Para cualquier sistema físico específico, la descripción detallada puede tener muchos parámetros y aspectos dependientes de la escala. Sin embargo, a medida que se acerca la transición de fase, los parámetros dependientes de la escala juegan un papel cada vez menos importante, y las partes invariantes a la escala de la descripción física dominan. Por lo tanto, se puede utilizar un modelo simplificado, y a menudo exactamente solucionable , para aproximar el comportamiento de estos sistemas cerca del punto crítico.
La percolación se puede modelar mediante una red de resistencias eléctricas aleatorias , en la que la electricidad fluye de un lado de la red al otro. La resistencia total de la red se describe mediante la conectividad promedio de las resistencias en la red. [ cita requerida ]
La formación de desgarros y grietas puede ser modelada por una red aleatoria de fusibles eléctricos . A medida que aumenta el flujo de corriente eléctrica a través de la red, algunos fusibles pueden saltar, pero en general, la corriente se desvía alrededor de las áreas problemáticas y se distribuye uniformemente. Sin embargo, en un punto determinado (en la transición de fase) puede ocurrir una falla en cascada , donde el exceso de corriente de un fusible saltado sobrecarga el siguiente fusible a su vez, hasta que los dos lados de la red se desconectan completamente y no fluye más corriente. [ cita requerida ]
Para realizar el análisis de estos sistemas de redes aleatorias, se considera el espacio estocástico de todas las redes posibles (es decir, el conjunto canónico ) y se realiza una suma (integración) sobre todas las configuraciones de red posibles. Como en la discusión anterior, se entiende que cada configuración aleatoria dada se extrae del conjunto de todas las configuraciones con alguna distribución de probabilidad dada; el papel de la temperatura en la distribución se reemplaza típicamente por la conectividad promedio de la red. [ cita requerida ]
Los valores esperados de los operadores, como la tasa de flujo, la capacidad térmica , etc., se obtienen mediante la integración sobre todas las configuraciones posibles. Este acto de integración sobre todas las configuraciones posibles es el punto en común entre los sistemas de la mecánica estadística y la teoría cuántica de campos . En particular, el lenguaje del grupo de renormalización puede aplicarse a la discusión de los modelos de redes aleatorias. En los años 1990 y 2000, se descubrieron conexiones más fuertes entre los modelos estadísticos y la teoría de campos conforme . El estudio de la universalidad sigue siendo un área vital de investigación.
Al igual que otros conceptos de la mecánica estadística (como la entropía y las ecuaciones maestras ), la universalidad ha demostrado ser un constructo útil para caracterizar sistemas distribuidos a un nivel superior, como los sistemas multiagente . El término se ha aplicado [5] a simulaciones multiagente, donde el comportamiento a nivel de sistema exhibido por el sistema es independiente del grado de complejidad de los agentes individuales, siendo impulsado casi en su totalidad por la naturaleza de las restricciones que gobiernan sus interacciones. En dinámica de redes, la universalidad se refiere al hecho de que a pesar de la diversidad de modelos dinámicos no lineales, que difieren en muchos detalles, el comportamiento observado de muchos sistemas diferentes se adhiere a un conjunto de leyes universales. Estas leyes son independientes de los detalles específicos de cada sistema. [6]
