Derecho (matemáticas)

Una afirmación matemática que siempre es cierta

En matemáticas , una ley es una fórmula que siempre es verdadera dentro de un contexto dado . ^[1] Las leyes describen una relación , entre dos o más términos o expresiones (que pueden contener variables ), usualmente usando igualdad o desigualdad , ^[2] o entre fórmulas mismas, por ejemplo, en lógica matemática . Por ejemplo, la fórmula es verdadera para todos los números reales a y por lo tanto es una ley. Las leyes sobre una igualdad se llaman identidades . ^[3] Por ejemplo, y son identidades. ^[4] Las leyes matemáticas se distinguen de las leyes científicas que se basan en observaciones y tratan de describir o predecir una variedad de fenómenos naturales . ^[5] Las leyes más significativas a menudo se llaman teoremas . ${\displaystyle a^{2}\geq 0}$ ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$ ${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}$

Ejemplos notables

Leyes geométricas

• Desigualdad triangular : si a , b y c son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces la desigualdad triangular establece que

${\displaystyle c\leq a+b,}$

con igualdad solo en el caso degenerado de un triángulo con área cero . En la geometría euclidiana y algunas otras geometrías, la desigualdad del triángulo es un teorema sobre vectores y longitudes de vectores ( normas ):

${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|,}$

donde la longitud del tercer lado ha sido reemplazada por la longitud de la suma vectorial u + v . Cuando u y v son números reales, pueden verse como vectores en , y la desigualdad triangular expresa una relación entre valores absolutos . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

• Teorema de Pitágoras : establece que el área del cuadrado cuyo lado es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto ) es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de los otros dos lados. El teorema puede escribirse como una ecuación que relaciona las longitudes de los lados a , b y la hipotenusa c , a veces llamada ecuación de Pitágoras: ^[6]

  ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

Identidades trigonométricas

Geométricamente, las identidades trigonométricas son identidades que involucran ciertas funciones de uno o más ángulos . ^[7] Son distintas de las identidades triangulares , que son identidades que involucran tanto los ángulos como las longitudes de los lados de un triángulo. En este artículo solo se tratan las primeras.

Estas identidades son útiles siempre que sea necesario simplificar expresiones que involucran funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es la integración de funciones no trigonométricas: una técnica común que implica primero usar la regla de sustitución con una función trigonométrica y luego simplificar la integral resultante con una identidad trigonométrica.

Uno de los ejemplos más destacados de identidades trigonométricas implica la ecuación que es verdadera para todos los valores reales de . Por otro lado, la ecuación ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \cos \theta =1}$

solo es verdadera para ciertos valores de , no para todos. Por ejemplo, esta ecuación es verdadera cuando pero falsa cuando . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0,}$ ${\displaystyle \theta =2}$

Otro grupo de identidades trigonométricas se refiere a las llamadas fórmulas de suma/resta (por ejemplo, la identidad del ángulo doble , la fórmula de adición para ), que pueden utilizarse para descomponer expresiones de ángulos mayores en aquellas con constituyentes más pequeños. ${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$ ${\displaystyle \tan(x+y)}$

Leyes algebraicas

Desigualdad de Cauchy-Schwarz : límite superior del producto interno entre dos vectores en un espacio de producto interno en términos del producto de las normas vectoriales . Se considera una de las desigualdades más importantes y ampliamente utilizadas en matemáticas. ^[8]

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores y de un espacio de producto interno ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \left\vert \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {v}}\rangle \right\vert \leq \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {u}}\rangle \cdot \langle {\mathbf {v}},{\mathbf {v}}\rangle }$

donde es el producto interno . Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo ; vea los ejemplos en producto interno . Cada producto interno da lugar a una norma euclidiana , llamada norma canónica o inducida , donde la norma de un vector se denota y define por ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle \|\mathbf {u} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }},}$

donde siempre es un número real no negativo (incluso si el producto interno es complejo). Al tomar la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad anterior, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede escribir en su forma más familiar en términos de la norma: ^{[9] [10]} ${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }$

${\displaystyle \left\vert \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {v}}\rangle \right\vert \leq \langle {\mathbf {u}},{\mathbf {u}}\rangle \cdot \langle {\mathbf {v}},{\mathbf {v}}\rangle }$

Además, los dos lados son iguales si y sólo si y son linealmente dependientes . ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Leyes combinatorias

• Principio del casillero : si se colocan n elementos en m contenedores, con n > m , entonces al menos un contenedor debe contener más de un elemento. ^[14] Por ejemplo, de tres guantes (ninguno de los cuales es ambidiestro/reversible), al menos dos deben ser para diestros o al menos dos deben ser para zurdos, porque hay tres objetos pero solo dos categorías de lateralidad para colocarlos.

Leyes lógicas

• Leyes de De Morgan : En lógica proposicional y álgebra de Boole , las leyes de De Morgan , ^{[15] [16] [17]} también conocidas como teorema de De Morgan , ^[18] son ​​un par de reglas de transformación que son reglas válidas de inferencia . Reciben su nombre de Augustus De Morgan , un matemático británico del siglo XIX. Las reglas permiten la expresión de conjunciones y disyunciones puramente en términos entre sí a través de la negación . Las reglas se pueden expresar en inglés como:
  • no (A o B) = (no A) y (no B)
  • no (A y B) = (no A) o (no B) donde "A o B" es un " o inclusivo " que significa al menos uno de A o B en lugar de un " o exclusivo " que significa exactamente uno de A o B. En lenguaje formal , las reglas se escriben como

  ${\displaystyle \neg (P\lor Q)\iff (\neg P)\land (\neg Q),}$ y

  ${\displaystyle \neg (P\land Q)\iff (\neg P)\lor (\neg Q)}$ dónde

  • P y Q son proposiciones ,
  • ${\displaystyle \neg }$es el operador lógico de negación (NO),
  • ${\displaystyle \land }$es el operador lógico de conjunción (AND),
  • ${\displaystyle \lor }$es el operador lógico de disyunción (OR),
  • ${\displaystyle \iff }$es un símbolo metalógico que significa "se puede reemplazar en una prueba lógica con", a menudo leído como "si y solo si". Para cualquier combinación de valores verdaderos/falsos para P y Q, los lados izquierdo y derecho de la flecha tendrán el mismo valor de verdad después de la evaluación.

• Las tres leyes del pensamiento
  • La ley de identidad : 'Todo lo que es, es'. ^[19] Para todo a: a = a.
  • La ley de no contradicción (también llamada “ley de contradicción” ^[20] ): “Nada puede ser y no ser a la vez”. ^[19]
  • Ley del tercero excluido: «Todo debe ser o no ser». ^[19] De acuerdo con la ley del tercero excluido, para cada proposición es verdadera tanto su forma positiva como su forma negativa: A ∨ ¬A.

Leyes fenominológicas

• Ley de Benford : Observación de que en muchos conjuntos de datos numéricos de la vida real , es probable que el dígito principal sea pequeño. ^[21] En los conjuntos que obedecen a la ley, el número 1 aparece como el dígito significativo principal aproximadamente el 30 % del tiempo, mientras que el 9 aparece como el dígito significativo principal menos del 5 % del tiempo. Los dígitos distribuidos uniformemente aparecerían cada uno aproximadamente el 11,1 % del tiempo. ^[22]
• Ley fuerte de los números pequeños : (humorístico) Cualquier número pequeño aparece en muchos más contextos de lo que parece razonable, lo que lleva a muchas coincidencias aparentemente sorprendentes en matemáticas, simplemente porque los números pequeños aparecen muy a menudo y, sin embargo, son muy pocos.

Véase también

• Fórmula
• Lista de desigualdades
• Lista de identidades matemáticas
• Lista de leyes
• Afirmación (lógica)
• Tautología (lógica)

Citas

1. Weisstein, Eric W. "Law". mathworld.wolfram.com . Consultado el 19 de agosto de 2024 .
2. Pratt, Vaughan, "Álgebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2022), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
3. Ecuación. Enciclopedia Springer de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ecuación&oldid=32613
4. "Mathwords: Identity" (Mathwords: identidad). www.mathwords.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
5. "ley de la naturaleza" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
6. Judith D. Sally; Paul Sally (2007). "Capítulo 3: Ternas pitagóricas". De las raíces a la investigación: un desarrollo vertical de problemas matemáticos . Librería de la American Mathematical Society. pág. 63. ISBN 978-0-8218-4403-8.
7. Stapel, Elizabeth. "Identidades trigonométricas". Purplemath . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
8. Steele, J. Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: una introducción al arte de las desigualdades matemáticas. Asociación Matemática de Estados Unidos. p. 1. ISBN 978-0521546775... no hay duda de que esta es una de las desigualdades más utilizadas y más importantes de todas las matemáticas.
9. Strang, Gilbert (19 de julio de 2005). "3.2". Álgebra lineal y sus aplicaciones (4.ª ed.). Stamford, Connecticut: Cengage Learning. págs. 154-155. ISBN 978-0030105678.
10. Hunter, John K.; Nachtergaele, Bruno (2001). Análisis aplicado. World Scientific. ISBN 981-02-4191-7.
11. Bachmann, George; Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (6 de diciembre de 2012). Análisis de Fourier y Wavelet. Springer Science & Business Media. pág. 14. ISBN 9781461205050.
12. Hassani, Sadri (1999). Física matemática: una introducción moderna a sus fundamentos . Springer. pág. 29. ISBN 0-387-98579-4La igualdad se cumple si y solo si <c|c>=0 o |c>=0. De la definición de |c>, concluimos que |a> y |b> deben ser proporcionales.
13. Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha, 3.ª edición. Springer International Publishing. pág. 172. ISBN 978-3-319-11079-0Esta desigualdad es una igualdad si y sólo si uno de u, v es un múltiplo escalar del otro.
14. Herstein 1964, pág. 90
15. Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth (2016). Introducción a la lógica. doi :10.4324/9781315510897. ISBN 9781315510880.
16. Hurley, Patrick J. (2015), Una introducción concisa a la lógica (12.ª ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1-285-19654-1
17. Moore, Brooke Noel (2012). Pensamiento crítico. Richard Parker (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-803828-0.OCLC 689858599  .
18. Teorema de DeMorgan [ sic ]
19. Russell 1912:72, edición de 1997.
20. Russell 1912:72, edición de 1997.
21. Arno Berger y Theodore P. Hill, La ley de Benford contraataca: No hay una explicación sencilla a la vista para esta joya matemática, 2011.
22. Weisstein, Eric W. "Ley de Benford". MathWorld, un recurso web de Wolfram . Consultado el 7 de junio de 2015 .

Referencias

• Bertrand Russell , Los problemas de la filosofía (1912), Oxford University Press, Nueva York, 1997, ISBN 0-19-511552-X . 
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016

Enlaces externos

• La enciclopedia de ecuaciones Enciclopedia en línea de identidades matemáticas (archivada)
• Una colección de identidades algebraicas