Geometría no euclidiana

Comportamiento de rectas con perpendicular común en cada uno de los tres tipos de geometría

En matemáticas , la geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana . Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge reemplazando el postulado de las paralelas con una alternativa o relajando el requisito métrico. En el primer caso se obtiene una geometría hiperbólica y una geometría elíptica , las tradicionales geometrías no euclidianas. Cuando se relaja el requisito métrico, entonces existen planos afines asociados con las álgebras planas, que dan lugar a geometrías cinemáticas que también han sido denominadas geometría no euclidiana.

Principios

La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de las líneas paralelas . El quinto postulado de Euclides , el postulado de las paralelas , es equivalente al postulado de Playfair , que establece que, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada $l$ y un punto A , que no está en $l$ , hay exactamente una línea que pasa por A. que no se cruza con $l$ . En geometría hiperbólica, por el contrario, hay infinitas líneas que pasan por A y no intersecan a $l$ , mientras que en geometría elíptica, cualquier línea que pasa por A intersecta $a l$ .

Otra forma de describir las diferencias entre estas geometrías es considerar dos líneas rectas infinitamente extendidas en un plano bidimensional que son ambas perpendiculares a una tercera línea (en el mismo plano):

En la geometría euclidiana, las líneas permanecen a una distancia constante entre sí (lo que significa que una línea dibujada perpendicular a una línea en cualquier punto cortará a la otra línea y la longitud del segmento de línea que une los puntos de intersección permanece constante) y se conocen como paralelos.
En geometría hiperbólica, se "aleja" uno del otro, aumentando en distancia a medida que uno se aleja de los puntos de intersección con la perpendicular común; Estas líneas a menudo se llaman ultraparalelas .
En la geometría elíptica, las líneas se "curvan" entre sí y se cruzan.

Historia

Fondo

La geometría euclidiana , que lleva el nombre del matemático griego Euclides , incluye algunas de las matemáticas más antiguas conocidas, y las geometrías que se desviaban de ellas no fueron ampliamente aceptadas como legítimas hasta el siglo XIX.

El debate que finalmente condujo al descubrimiento de las geometrías no euclidianas comenzó casi tan pronto como Euclides escribió los Elementos . En los Elementos , Euclides comienza con un número limitado de supuestos (23 definiciones, cinco nociones comunes y cinco postulados) y busca probar todos los demás resultados ( proposiciones ) de la obra. El más notorio de los postulados a menudo se denomina "Quinto Postulado de Euclides", o simplemente el postulado paralelo , que en la formulación original de Euclides es:

Si una línea recta incide sobre dos líneas rectas de tal manera que los ángulos interiores del mismo lado son juntos menores que dos ángulos rectos, entonces las líneas rectas, si se producen indefinidamente, se cortan en ese lado en el que están los ángulos menores que el dos ángulos rectos.

Otros matemáticos han ideado formas más simples de esta propiedad. Sin embargo, independientemente de la forma del postulado, siempre parece más complicado que los otros postulados de Euclides :

1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier punto.
2. Producir [extender] una línea recta finita continuamente en línea recta.
3. Describir un círculo con cualquier centro y distancia [radio].
4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Durante al menos mil años, los geómetras estuvieron preocupados por la complejidad dispar del quinto postulado y creyeron que podía demostrarse como un teorema a partir de los otros cuatro. Muchos intentaron encontrar una prueba por contradicción , entre ellos Ibn al-Haytham (Alhazen, siglo XI), ^[1] Omar Khayyám (siglo XII), Nasīr al-Dīn al-Tūsī (siglo XIII) y Giovanni Girolamo Saccheri (siglo XVIII ). ).

Los teoremas de Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi sobre los cuadriláteros , incluidos el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron "los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica ". Estos teoremas junto con sus postulados alternativos, como el axioma de Playfair , jugaron un papel importante en el desarrollo posterior de la geometría no euclidiana. Estos primeros intentos de desafiar el quinto postulado tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo , Levi ben Gerson , Alfonso , John Wallis y Saccheri. ^[2] Sin embargo, todos estos primeros intentos de formular una geometría no euclidiana proporcionaron pruebas erróneas del postulado de las paralelas, dependiendo de suposiciones que ahora se reconocen como esencialmente equivalentes al postulado de las paralelas. Sin embargo, estos primeros intentos proporcionaron algunas propiedades tempranas de las geometrías hiperbólica y elíptica.

Khayyam, por ejemplo, intentó derivarlo de un postulado equivalente que formuló a partir de "los principios del Filósofo" ( Aristóteles ): "Dos líneas rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que se cruzan". converger." ^[3] Khayyam luego consideró los tres casos correcto, obtuso y agudo que pueden tomar los ángulos superiores de un cuadrilátero de Saccheri y después de demostrar una serie de teoremas sobre ellos, refutó correctamente los casos obtuso y agudo basándose en su postulado y, por lo tanto, derivó el postulado clásico de Euclides, que no sabía que era equivalente a su propio postulado. Otro ejemplo es el hijo de al-Tusi, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), quien escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de al-Tusi, que presentaba otra hipótesis equivalente al postulado paralelo. . "Esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ". ^[4]^[5] Su obra fue publicada en Roma en 1594 y fue estudiada por geómetras europeos, incluido Saccheri ^[4], quien criticó esta obra así como la de Wallis. ^[6]

Giordano Vitale , en su libro Euclide restituo (1680, 1686), utilizó el cuadrilátero de Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y en la cumbre CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes.

En un trabajo titulado Euclides ab Omni Naevo Vindicatus ( Euclides liberado de todos los defectos ), publicado en 1733, Saccheri rápidamente descartó la geometría elíptica como una posibilidad (algunos otros axiomas de Euclides deben modificarse para que la geometría elíptica funcione) y se puso a trabajar para demostrar una gran número de resultados en geometría hiperbólica.

Finalmente llegó a un punto en el que creyó que sus resultados demostraban la imposibilidad de la geometría hiperbólica. Su afirmación parece haberse basado en presuposiciones euclidianas, porque no había ninguna contradicción lógica . En este intento de demostrar la geometría euclidiana, descubrió involuntariamente una nueva geometría viable, pero no se dio cuenta.

En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentaba, como lo hizo Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura hoy conocida como cuadrilátero de Lambert , un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo fuera obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyam, y luego procedió a demostrar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que disminuye el área del triángulo, y esto le llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó más lejos esta idea. ^[7]

En aquella época se creía ampliamente que el universo funcionaba según los principios de la geometría euclidiana. ^[8]

Descubrimiento de la geometría no euclidiana

El comienzo del siglo XIX sería finalmente testigo de pasos decisivos en la creación de una geometría no euclidiana. Alrededor de 1813, Carl Friedrich Gauss e independientemente alrededor de 1818, el profesor de derecho alemán Ferdinand Karl Schweikart ^[9] desarrollaron las ideas germinales de la geometría no euclidiana, pero ninguno de los dos publicó ningún resultado. El sobrino de Schweikart, Franz Taurinus, publicó importantes resultados de la trigonometría hiperbólica en dos artículos en 1825 y 1826, pero aunque admitía la consistencia interna de la geometría hiperbólica, todavía creía en el papel especial de la geometría euclidiana. ^[10]

Luego, en 1829-1830, el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky y en 1832 el matemático húngaro János Bolyai publicaron por separado e independientemente tratados sobre geometría hiperbólica. En consecuencia, la geometría hiperbólica se denomina geometría lobachevskiana o bolyai-lobachevskiana, ya que ambos matemáticos, independientes entre sí, son los autores básicos de la geometría no euclidiana. Gauss mencionó al padre de Bolyai, cuando le mostró el trabajo del joven Bolyai, que había desarrollado dicha geometría varios años antes, ^[11] aunque no la publicó. Mientras Lobachevsky creó una geometría no euclidiana al negar el postulado de las paralelas, Bolyai elaboró una geometría en la que tanto la geometría euclidiana como la hiperbólica son posibles dependiendo de un parámetro k . Bolyai finaliza su trabajo mencionando que no es posible decidir mediante el razonamiento matemático únicamente si la geometría del universo físico es euclidiana o no euclidiana; Esta es una tarea para las ciencias físicas.

Bernhard Riemann , en una famosa conferencia de 1854, fundó el campo de la geometría riemanniana , discutiendo en particular las ideas ahora llamadas variedades , la métrica de Riemann y la curvatura . Construyó una familia infinita de geometrías no euclidianas dando una fórmula para una familia de métricas de Riemann en la bola unitaria en el espacio euclidiano . La más simple de ellas se llama geometría elíptica y se considera una geometría no euclidiana debido a su falta de líneas paralelas. ^[12]

Al formular la geometría en términos de un tensor de curvatura , Riemann permitió que la geometría no euclidiana se aplicara a dimensiones superiores. Beltrami (1868) fue el primero en aplicar la geometría de Riemann a espacios de curvatura negativa.

Terminología

Fue Gauss quien acuñó el término "geometría no euclidiana". ^[13] Se refería a su propio trabajo, que hoy llamamos geometría hiperbólica o geometría lobachevskiana . Varios autores modernos todavía utilizan el término genérico geometría no euclidiana para referirse a la geometría hiperbólica . ^[14]

Arthur Cayley señaló que la distancia entre puntos dentro de una cónica podría definirse en términos de logaritmo y la función proyectiva de razón cruzada . El método pasó a denominarse métrica de Cayley-Klein porque Felix Klein lo aprovechó para describir las geometrías no euclidianas en artículos ^[15] de 1871 y 1873 y posteriormente en forma de libro. Las métricas de Cayley-Klein proporcionaron modelos de trabajo de geometrías métricas hiperbólicas y elípticas, así como de geometría euclidiana.

Klein es responsable de los términos "hiperbólica" y "elíptica" (en su sistema llamó parabólica a la geometría euclidiana , término que generalmente cayó en desuso ^[16] ). Su influencia ha llevado al uso actual del término "geometría no euclidiana" para significar geometría "hiperbólica" o "elíptica".

Hay algunos matemáticos que ampliarían la lista de geometrías que deberían llamarse "no euclidianas" de varias maneras. ^[17]

Hay muchos tipos de geometría que son bastante diferentes de la geometría euclidiana pero que tampoco están necesariamente incluidos en el significado convencional de "geometría no euclidiana", como casos más generales de geometría de Riemann .

Base axiomática de la geometría no euclidiana.

La geometría euclidiana se puede describir axiomáticamente de varias maneras. Sin embargo, el sistema original de cinco postulados (axiomas) de Euclides no es uno de ellos, ya que sus pruebas se basaron en varios supuestos no declarados que también deberían haberse tomado como axiomas. El sistema de Hilbert, que consta de 20 axiomas ^[18], sigue más de cerca el enfoque de Euclides y proporciona la justificación de todas las pruebas de Euclides. Otros sistemas, que utilizan diferentes conjuntos de términos indefinidos, obtienen la misma geometría por caminos diferentes. Todos los enfoques, sin embargo, tienen un axioma que es lógicamente equivalente al quinto postulado de Euclides, el postulado de las paralelas. Hilbert usa la forma del axioma de Playfair, mientras que Birkhoff , por ejemplo, usa el axioma que dice que "existe un par de triángulos similares pero no congruentes". En cualquiera de estos sistemas, la eliminación del axioma equivalente al postulado de las paralelas, en cualquier forma que adopte, y dejando intactos todos los demás axiomas, produce la geometría absoluta . Como las primeras 28 proposiciones de Euclides (en Los Elementos ) no requieren el uso del postulado de las paralelas ni nada equivalente a él, todas son afirmaciones verdaderas en geometría absoluta. ^[19]

Para obtener una geometría no euclidiana, se debe sustituir el postulado de las paralelas (o su equivalente) por su negación . Negar la forma del axioma de Playfair , al ser un enunciado compuesto (...existe uno y sólo uno...), se puede hacer de dos maneras:

O existirá más de una línea que pase por el punto paralelo a la línea dada o no existirá ninguna línea que pase por el punto paralelo a la línea dada. En el primer caso, reemplazando el postulado de las paralelas (o su equivalente) con la afirmación "En un plano, dado un punto P y una recta $l$ que no pasa por P, existen dos rectas que pasan por P, que no cortan $a l$ " y manteniendo todos los demás axiomas producen geometría hiperbólica . ^[20]
El segundo caso no se trata tan fácilmente. Simplemente reemplazar el postulado de las paralelas con la afirmación: "En un plano, dado un punto P y una línea $l$ que no pasa por P, todas las líneas que pasan por P cortan a $l$ ", no proporciona un conjunto consistente de axiomas. Esto se deduce ya que las líneas paralelas existen en la geometría absoluta, ^[21] pero esta afirmación dice que no hay líneas paralelas. Este problema era conocido (de otra manera) por Khayyam, Saccheri y Lambert y fue la base para rechazar lo que se conoció como el "caso del ángulo obtuso". Para obtener un conjunto consistente de axiomas que incluya este axioma de no tener líneas paralelas, se deben modificar algunos otros axiomas. Estos ajustes dependen del sistema de axiomas utilizado. Entre otros, estos ajustes tienen el efecto de modificar el segundo postulado de Euclides desde la afirmación de que los segmentos de línea pueden extenderse indefinidamente a la afirmación de que las líneas no están acotadas. La geometría elíptica de Riemann surge como la geometría más natural que satisface este axioma.

Modelos

Los modelos de geometría no euclidiana son modelos matemáticos de geometrías que no son euclidianas en el sentido de que no se puede trazar exactamente una línea paralela a una línea dada l a través de un punto que no está en l . En los modelos geométricos hiperbólicos, por el contrario, hay infinitas líneas que pasan por A paralelas a l , y en los modelos geométricos elípticos, las líneas paralelas no existen. (Consulte las entradas sobre geometría hiperbólica y geometría elíptica para obtener más información).

La geometría euclidiana está modelada por nuestra noción de "plano " . El modelo más simple de geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " círculos máximos " (como el ecuador o los meridianos de un globo terráqueo ) y los puntos opuestos entre sí se identifican (se consideran iguales). La pseudoesfera tiene la curvatura adecuada para modelar la geometría hiperbólica.

Geometría elíptica

El modelo más simple de geometría elíptica es una esfera, donde las líneas son " círculos máximos " (como el ecuador o los meridianos de un globo terráqueo ), y los puntos opuestos entre sí (llamados puntos antípodas ) se identifican (se consideran iguales). Este es también uno de los modelos estándar del plano proyectivo real . La diferencia es que como modelo de geometría elíptica se introduce una métrica que permite medir longitudes y ángulos, mientras que como modelo del plano proyectivo no existe tal métrica.

En el modelo elíptico, para cualquier línea dada $l$ y un punto A , que no está en $l$ , todas las líneas que pasan por A se cruzarán con $l$ .

Geometría hiperbólica

Incluso después de los trabajos de Lobachevsky, Gauss y Bolyai, la pregunta persistía: "¿Existe tal modelo para la geometría hiperbólica ?". El modelo de geometría hiperbólica fue respondido por Eugenio Beltrami , en 1868, quien demostró por primera vez que una superficie llamada pseudoesfera tiene la curvatura adecuada para modelar una porción del espacio hiperbólico y en un segundo artículo del mismo año, definió el modelo de Klein , que modela la totalidad del espacio hiperbólico y usó esto para mostrar que la geometría euclidiana y la geometría hiperbólica eran equiconsistentes, de modo que la geometría hiperbólica era lógicamente consistente si y sólo si la geometría euclidiana lo era. (La implicación inversa se desprende del modelo de la horósfera de la geometría euclidiana).

En el modelo hiperbólico, dentro de un plano bidimensional, para cualquier línea dada $l$ y un punto A , que no está en $l$ , hay infinitas líneas que pasan por A que no intersecan $a l$ .

En estos modelos, los conceptos de geometrías no euclidianas están representados por objetos euclidianos en un entorno euclidiano. Esto introduce una distorsión perceptiva en la que las líneas rectas de la geometría no euclidiana están representadas por curvas euclidianas que se curvan visualmente. Esta "flexión" no es una propiedad de las líneas no euclidianas, sólo un artificio de la forma en que se representan.

Geometría tridimensional no euclidiana

En tres dimensiones, existen ocho modelos de geometrías. ^[22] Existen geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, como en el caso bidimensional; geometrías mixtas que son parcialmente euclidianas y parcialmente hiperbólicas o esféricas; versiones retorcidas de las geometrías mixtas; y una geometría inusual que es completamente anisotrópica (es decir, cada dirección se comporta de manera diferente).

Propiedades poco comunes

Las geometrías euclidianas y no euclidianas tienen naturalmente muchas propiedades similares, es decir, aquellas que no dependen de la naturaleza del paralelismo. Este punto en común es el tema de la geometría absoluta (también llamada geometría neutra ). Sin embargo, históricamente las propiedades que distinguen una geometría de otras han recibido la mayor atención.

Además del comportamiento de las rectas con respecto a una perpendicular común, mencionado en la introducción, también tenemos lo siguiente:

Un cuadrilátero de Lambert es un cuadrilátero con tres ángulos rectos. El cuarto ángulo de un cuadrilátero de Lambert es agudo si la geometría es hiperbólica, recto si la geometría es euclidiana u obtuso si la geometría es elíptica. En consecuencia, los rectángulos existen (una afirmación equivalente al postulado de las paralelas) sólo en la geometría euclidiana.
Un cuadrilátero de Saccheri es un cuadrilátero con dos lados de igual longitud, ambos perpendiculares a un lado llamado base . Los otros dos ángulos de un cuadrilátero de Saccheri se llaman ángulos de la cumbre y tienen la misma medida. Los ángulos máximos de un cuadrilátero de Saccheri son agudos si la geometría es hiperbólica, ángulos rectos si la geometría es euclidiana y ángulos obtusos si la geometría es elíptica.
La suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo es menor que 180° si la geometría es hiperbólica, igual a 180° si la geometría es euclidiana y mayor que 180° si la geometría es elíptica. El defecto de un triángulo es el valor numérico (180° − suma de las medidas de los ángulos del triángulo). Este resultado también se puede expresar como: el defecto de los triángulos en geometría hiperbólica es positivo, el defecto de los triángulos en geometría euclidiana es cero y el defecto de los triángulos en geometría elíptica es negativo.

Importancia

Antes de que Beltrami, Klein y Poincaré presentaran los modelos de un plano no euclidiano, la geometría euclidiana era indiscutible como el modelo matemático del espacio . Además, dado que la sustancia del tema en geometría sintética era una manifestación principal de racionalidad, el punto de vista euclidiano representaba una autoridad absoluta.

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas tuvo un efecto dominó que trascendió mucho los límites de las matemáticas y la ciencia. El tratamiento que el filósofo Immanuel Kant dio al conocimiento humano tuvo un papel especial para la geometría. Fue su principal ejemplo de conocimiento sintético a priori; no derivado de los sentidos ni deducido a través de la lógica: nuestro conocimiento del espacio era una verdad con la que nacimos. Desafortunadamente para Kant, su concepto de esta geometría inalterablemente verdadera era euclidiano. La teología también se vio afectada por el cambio de la verdad absoluta a la verdad relativa en la forma en que las matemáticas se relacionan con el mundo que las rodea, que fue el resultado de este cambio de paradigma. ^[23]

La geometría no euclidiana es un ejemplo de revolución científica en la historia de la ciencia , en la que matemáticos y científicos cambiaron la forma en que veían a sus sujetos. ^[24] Algunos geómetras llamaron a Lobachevsky el " Copérnico de la Geometría" debido al carácter revolucionario de su obra. ^[25]^[26]

La existencia de geometrías no euclidianas impactó la vida intelectual de la Inglaterra victoriana de muchas maneras ^[27] y, en particular, fue uno de los principales factores que provocó un reexamen de la enseñanza de la geometría basada en los Elementos de Euclides . Esta cuestión curricular fue objeto de acalorados debates en su momento e incluso fue el tema de un libro, Euclides y sus rivales modernos , escrito por Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), más conocido como Lewis Carroll , el autor de Alicia en el país de las maravillas .

Álgebras planas

En geometría analítica un plano se describe con coordenadas cartesianas : C = { ( x,y ) : x , y ∈ ℝ }. Los puntos a veces se identifican con números complejos $z = x + y ε$ donde ε ² ∈ { –1, 0, 1}.

El plano euclidiano corresponde al caso $ε 2 = -1$ ya que el módulo de $z$ viene dado por

zz^{\ast }=(x+y\epsilon )(x-y\epsilon )=x^{2}+y^{2}

y esta cantidad es el cuadrado de la distancia euclidiana entre $z$ y el origen. Por ejemplo, ${z | zz * = 1}$ es el círculo unitario .

Para el álgebra plana, en los demás casos surge la geometría no euclidiana. Cuando $ε 2 = +1$ , entonces $z$ es un número complejo dividido y convencionalmente $j$ reemplaza a épsilon. Entonces

zz^{\ast }=(x+y\mathbf {j} )(x-y\mathbf {j} )=x^{2}-y^{2}\!

y ${z | zz * = 1}$ es la hipérbola unitaria .

Cuando $ε 2 = 0$ , entonces $z$ es un número dual . ^[28]

Este enfoque de la geometría no euclidiana explica los ángulos no euclidianos: los parámetros de pendiente en el plano numérico dual y el ángulo hiperbólico en el plano complejo dividido corresponden al ángulo en la geometría euclidiana. De hecho, cada uno de ellos surge en la descomposición polar de un número complejo $z$ . ^[29]

Geometrías cinemáticas

La geometría hiperbólica encontró una aplicación en cinemática con la cosmología física introducida por Hermann Minkowski en 1908. Minkowski introdujo términos como línea mundial y tiempo propio en la física matemática . Se dio cuenta de que la subvariedad , de eventos en un momento del tiempo propio en el futuro, podría considerarse un espacio hiperbólico de tres dimensiones. ^[30]^[31] Ya en la década de 1890, Alexander Macfarlane estaba trazando esta subvariedad a través de su Álgebra de física y cuaterniones hiperbólicos , aunque Macfarlane no usó lenguaje cosmológico como lo hizo Minkowski en 1908. La estructura relevante ahora se llama modelo hiperboloide de geometría hiperbólica. .

Las álgebras planas no euclidianas admiten geometrías cinemáticas en el plano. Por ejemplo, el número complejo dividido z = e ^{a j} puede representar un evento espaciotemporal un momento en el futuro de un marco de referencia de rapidez a . Además, la multiplicación por z equivale a un impulso de Lorentz que asigna el marco con rapidez cero al marco con rapidez a .

El estudio cinemático utiliza números duales para representar la descripción clásica del movimiento en tiempo y espacio absolutos : las ecuaciones son equivalentes a un mapeo de corte en álgebra lineal: $z=x+y\epsilon ,\quad \epsilon ^{2}=0,$ $x^{\prime }=x+vt,\quad t^{\prime }=t$

{\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}.

Con números duales el mapeo es ^[32] $t^{\prime }+x^{\prime }\epsilon =(1+v\epsilon )(t+x\epsilon )=t+(x+vt)\epsilon .$

EB Wilson y Gilbert Lewis propusieron otra visión de la relatividad especial como geometría no euclidiana en Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences en 1912. Renovaron la geometría analítica implícita en el álgebra de números complejos divididos y la convirtieron en geometría sintética de premisas. y deducciones. ^[33]^[34]

Ficción

La geometría no euclidiana aparece a menudo en obras de ciencia ficción y fantasía .

En 1895, HG Wells publicó el cuento "El notable caso de los ojos de Davidson". Para apreciar esta historia es necesario saber cómo se identifican los puntos antípodas de una esfera en un modelo del plano elíptico. En la historia, en medio de una tormenta, Sidney Davidson ve "olas y una goleta extraordinariamente cuidada" mientras trabaja en un laboratorio eléctrico en Harlow Technical College. Al final de la historia, Davidson demuestra haber presenciado el HMS Fulmar frente a la isla Antípodas .
La geometría no euclidiana a veces se relaciona con la influencia del escritor de ficción de terror del siglo XX HP Lovecraft . En sus obras, muchas cosas antinaturales siguen sus propias leyes únicas de geometría: en Cthulhu Mythos de Lovecraft , la ciudad hundida de R'lyeh se caracteriza por su geometría no euclidiana. Se da a entender que esto se logra como un efecto secundario de no seguir las leyes naturales de este universo en lugar de simplemente usar un modelo geométrico alternativo, ya que se dice que su pura maldad innata es capaz de volver locos a quienes lo miran. ^[35]
El personaje principal de Zen y el arte del mantenimiento de motocicletas de Robert Pirsig mencionó la geometría de Riemann en múltiples ocasiones.
En Los hermanos Karamazov , Dostoievski analiza la geometría no euclidiana a través de su personaje Iván.
La novela Inverted World de Christopher Priest describe la lucha de vivir en un planeta con la forma de una pseudoesfera giratoria .
El número de la bestia de Robert Heinlein utiliza geometría no euclidiana para explicar el transporte instantáneo a través del espacio y el tiempo y entre universos paralelos y ficticios.
HyperRogue de Zeno Rogue es un juego roguelike ambientado en el plano hiperbólico , que permite al jugador experimentar muchas propiedades de esta geometría. Muchas mecánicas, misiones y ubicaciones dependen en gran medida de las características de la geometría hiperbólica. ^[36]
En el escenario de ciencia ficción de Renegade Legion para el juego de guerra , el juego de rol y la ficción de FASA , los viajes y las comunicaciones más rápidos que la luz son posibles mediante el uso de la Geometría polidimensional no euclidiana de Hsieh Ho, publicada en algún momento a mediados del siglo XIX. Siglo XXII.
En Flatterland de Ian Stewart, la protagonista Victoria Line visita todo tipo de mundos no euclidianos.

Ver también

Notas

^ Eder, Michelle (2000), Opiniones sobre el postulado paralelo de Euclides en la antigua Grecia y en el Islam medieval, Universidad de Rutgers , consultado el 23 de enero de 2008
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch, "Geometría", p. 470, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la Historia de la Ciencia Árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , Londres y Nueva York:
"Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría, cuya importancia no fue plenamente reconocida hasta el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones relativas a las propiedades del cuadrilátero... que consideraron suponiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos, encarnaban los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas demostraron que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es extremadamente importante. que estos estudiosos establecieron la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero. Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. el postulado en líneas paralelas – formulado por Witelo , los científicos polacos del siglo XIII, mientras revisaban el Libro de la óptica de Ibn al-Haytham ( Kitab al-Manazir ) – fue sin duda inspirado en fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson , que vivió en el sur de Francia, y por el ya mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la demostración de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de la teoría de las líneas paralelas tanto de J. Wallis como de G. Saccheri ."
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", p. 467, en Roshdi Rashed & Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la Historia de la Ciencia Árabe , vol. 2, págs. 447–494, Routledge , ISBN 0-415-12411-5
^ ab Victor J. Katz (1998), Historia de las matemáticas: una introducción , págs. 270–271, Addison–Wesley , ISBN 0-321-01618-1 :
"Pero en un manuscrito probablemente escrito por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en los pensamientos posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La La importancia de este último trabajo es que fue publicado en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos, en particular, se convirtió en el punto de partida para el trabajo de Saccheri y, en última instancia, para el descubrimiento de la geometría no euclidiana.
^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, págs. 447–494 [469], Routledge , Londres y Nueva York:
"En la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi , [...] se utiliza otra afirmación en lugar de un postulado. Era independiente del postulado euclidiano V y fácil de demostrar. [...] Básicamente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados y pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".
^ Giovanni Girolamo Saccheri de MacTutor
^ O'Connor, JJ; Robertson, EF "Johann Heinrich Lambert" . Consultado el 16 de septiembre de 2011 .
^ Una excepción notable es David Hume, quien ya en 1739 consideró seriamente la posibilidad de que nuestro universo no fuera euclidiano; véase David Hume (1739/1978) Tratado de la naturaleza humana , LA Selby-Bigge, ed. (Oxford: Oxford University Press), págs. 51–52.
^
En una carta de diciembre de 1818, Ferdinand Karl Schweikart (1780-1859) esbozó algunas ideas sobre la geometría no euclidiana. La carta fue enviada a Gauss en 1819 por el antiguo alumno de Gauss, Gerling. En su respuesta a Gerling, Gauss elogió a Schweikart y mencionó sus propias investigaciones anteriores sobre geometría no euclidiana. Ver:
- Carl Friedrich Gauss, Werke (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1900), vol. 8, págs. 180-182.
- Las traducciones al inglés de la carta de Schweikart y la respuesta de Gauss a Gerling aparecen en: Notas del curso: "Gauss and non-Euclidean Geometry", Universidad de Waterloo, Ontario, Canadá; véanse especialmente las páginas 10 y 11.
- Las cartas de Schweikart y los escritos de su sobrino Franz Adolph Taurinus , que también se interesó por la geometría no euclidiana y que en 1825 publicó un breve libro sobre el axioma de las paralelas, aparecen en: Paul Stäckel y Friedrich Engel, Die theorie der Parallellinien von Euklid. bis auf Gauss, eine Urkundensammlung der nichteuklidischen Geometrie (La teoría de las líneas paralelas de Euclides a Gauss, un archivo de geometría no euclidiana), (Leipzig, Alemania: BG Teubner, 1895), páginas 243 y siguientes.
^ Bonola, R. (1912). Geometría no euclidiana: un estudio crítico e histórico de su desarrollo. Chicago: Corte abierta.
↑ En la carta a Wolfgang (Farkas) Bolyai del 6 de marzo de 1832, Gauss afirma haber trabajado en el problema durante treinta o treinta y cinco años (Faber 1983, p. 162). En su carta de 1824 a Taurino (Faber 1983, p. 158) afirmó que había estado trabajando en el problema durante más de 30 años y proporcionó suficientes detalles para demostrar que realmente había resuelto los detalles. Según Faber (1983, p. 156) no fue hasta alrededor de 1813 que Gauss llegó a aceptar la existencia de una nueva geometría.
^ Sin embargo, se deben cambiar otros axiomas además del postulado de las paralelas para que esta sea una geometría factible.
^ Felix Klein, Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado: geometría , Dover, 1948 (Reimpresión de la traducción al inglés de la tercera edición, 1940. Primera edición en alemán, 1908.) p. 176.
^ Por ejemplo: Kulczycki, Stefan (1961). Geometría no euclidiana . Pérgamo. pag. 53.
Iwasawa, Kenkichi (1993). Funciones algebraicas . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 140.ISBN 9780821845950.
^ F. Klein, Über die sogenannte nichteuklidische Geometrie, Mathematische Annalen , 4 (1871).
^ El plano euclidiano todavía se conoce como parabólico en el contexto de la geometría conforme : consulte el teorema de uniformización .
^ por ejemplo, Manning 1963 y Yaglom 1968
↑ apareció un axioma número 21 en la traducción francesa de Grundlagen der Geometrie de Hilbert según Smart 1997, p. 416
^ (Inteligente 1997, pag.366)
^ aunque sólo se postulan dos líneas, se demuestra fácilmente que debe haber un número infinito de tales líneas.
^ Libro I Proposición 27 de los Elementos de Euclides
^ * William Thurston . Geometría y topología tridimensional. vol. 1 . Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1997. x+311 págs. ISBN 0-691-08304-5 (explicación detallada de las ocho geometrías y la prueba de que sólo hay ocho)
^ Imre Toth, "Gott und Geometrie: Eine viktorianische Kontroverse", Evolutionstheorie und ihre Evolution , Dieter Henrich, ed. (Schriftenreihe der Universität Regensburg, banda 7, 1982) págs.
^ ver Trudeau 1987, págs. vii-viii
^ Bell, et (1986). Hombres de Matemáticas . Libros de piedra de toque. pag. 294.ISBN 978-0-671-62818-5.El autor atribuye esta cita a otro matemático, William Kingdon Clifford .
^ Esta es una cita del prefacio del traductor de GB Halsted a su traducción de 1914 de La teoría de los paralelos : "Lo que Vesalio fue para Galeno , lo que Copérnico fue para Ptolomeo , eso fue Lobachevsky para Euclides ". -WK Clifford
^ (Richards 1988)
^ Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , traducido por E. Primrose del original ruso de 1963, apéndice "Geometrías no euclidianas en el plano y números complejos", págs. 195-219, Academic Press , Nueva York
^ Richard C. Tolman (2004) Teoría de la relatividad del movimiento, página 194, §180 Ángulo no euclidiano, §181 Interpretación cinemática del ángulo en términos de velocidad
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Referencias

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enlaces externos

Medios relacionados con la geometría no euclidiana en Wikimedia Commons

Wikiquote tiene citas relacionadas con la geometría no euclidiana .

Roberto Bonola (1912) Geometría no euclidiana, Open Court, Chicago.
Artículo de MacTutor Archive sobre geometría no euclidiana
Geometría no euclidiana en PlanetMath .
Geometrías no euclidianas de la Enciclopedia de Matemáticas de la Sociedad Matemática Europea y Springer Science+Business Media
Espacio-tiempo sintético, un resumen de los axiomas utilizados y los teoremas demostrados por Wilson y Lewis. Archivado por WebCite .