universo grothendieck

En matemáticas , un universo de Grothendieck es un conjunto U con las siguientes propiedades:

1. Si x es un elemento de U y si y es un elemento de x , entonces y también es un elemento de U. ( U es un conjunto transitivo ).
2. Si x e y son elementos de U , entonces es un elemento de U. ${\displaystyle \{x,y\}}$
3. Si x es un elemento de U , entonces P ( x ), el conjunto potencia de x , también es un elemento de U.
4. Si es una familia de elementos de U , y si I es un elemento de U , entonces la unión es un elemento de U. ${\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}$

Un universo de Grothendieck está destinado a proporcionar un conjunto en el que se puedan realizar todas las matemáticas. (De hecho, innumerables universos de Grothendieck proporcionan modelos de teoría de conjuntos con la relación ∈ natural, la operación de conjunto de poderes natural, etc.). Los elementos de un universo de Grothendieck a veces se denominan conjuntos pequeños . La idea de universos se debe a Alexander Grothendieck , quien los utilizó como forma de evitar clases propias de geometría algebraica .

La existencia de un universo de Grothendieck no trivial va más allá de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ; en particular implicaría la existencia de cardenales fuertemente inaccesibles .La teoría de conjuntos de Tarski-Grothendieck es un tratamiento axiomático de la teoría de conjuntos, utilizada en algunos sistemas de prueba automática, en los que cada conjunto pertenece a un universo de Grothendieck. El concepto de universo de Grothendieck también puede definirse en un topos . ^[1]

Propiedades

Como ejemplo, demostraremos una proposición sencilla.

Proposición . Si y , entonces . ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle y\subseteq x}$ ${\displaystyle y\in U}$

Prueba. porque . porque sí . ${\displaystyle y\in P(x)}$ ${\displaystyle y\subseteq x}$ ${\displaystyle P(x)\in U}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle y\in U}$

Es igualmente fácil demostrar que cualquier universo U de Grothendieck contiene:

• Todos los singleton de cada uno de sus elementos,
• Todos los productos de todas las familias de elementos de U indexados por un elemento de U ,
• Todas las uniones disjuntas de todas las familias de elementos de U indexadas por un elemento de U ,
• Todas las intersecciones de todas las familias de elementos de U indexadas por un elemento de U ,
• Todas las funciones entre dos elementos cualesquiera de U , y
• Todos los subconjuntos de U cuyo cardinal es un elemento de U.

En particular, del último axioma se deduce que si U no está vacío, debe contener todos sus subconjuntos finitos y un subconjunto de cada cardinalidad finita. También se puede probar inmediatamente a partir de las definiciones que la intersección de cualquier clase de universos es un universo.

Universos de Grothendieck y cardenales inaccesibles

Hay dos ejemplos simples de universos de Grothendieck:

• El conjunto vacío y
• El conjunto de todos los conjuntos hereditariamente finitos . ${\displaystyle V_{\omega }}$

Otros ejemplos son más difíciles de construir. En términos generales, esto se debe a que los universos de Grothendieck son equivalentes a cardinales fuertemente inaccesibles . Más formalmente, los dos axiomas siguientes son equivalentes:

(U) Para cada conjunto x , existe un universo Grothendieck U tal que x ∈ U.

(C) Para cada cardinal κ, existe un cardinal λ fuertemente inaccesible que es estrictamente mayor que κ.

Para probar este hecho, introducimos la función c ( U ). Definir:

${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\sup _{x\in U}|x|}$

donde por | x | nos referimos a la cardinalidad de x . Entonces, para cualquier universo U , c ( U ) es cero o fuertemente inaccesible. Suponiendo que es distinto de cero, es un cardinal límite fuerte porque el conjunto potencia de cualquier elemento de U es un elemento de U y cada elemento de U es un subconjunto de U. Para ver que es regular, supongamos que c _λ es un conjunto de cardinales indexados por I , donde la cardinalidad de I y de cada c _λ es menor que c ( U ). Entonces, por la definición de c ( U ), I y cada c _λ pueden reemplazarse por un elemento de U . La unión de elementos de U indexados por un elemento de U es un elemento de U , por lo que la suma de c _λ tiene la cardinalidad de un elemento de U , por lo tanto es menor que c ( U ). Invocando el axioma de fundamento, de que ningún conjunto está contenido en sí mismo, se puede demostrar que c ( U ) es igual a | U |; cuando no se asume el axioma de fundamento, hay contraejemplos (podemos tomar, por ejemplo, U como el conjunto de todos los conjuntos finitos de conjuntos finitos, etc. de los conjuntos x _α donde el índice α es cualquier número real, y x _α = { x _α } para cada α . Entonces U tiene la cardinalidad del continuo, pero todos sus miembros tienen cardinalidad finita y así  (ver el artículo de Bourbaki para más detalles). ${\displaystyle \mathbf {c} (U)=\aleph _{0}}$

Sea κ un cardenal fuertemente inaccesible. Digamos que un conjunto S es estrictamente de tipo κ si para cualquier secuencia s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _norte | < κ . ( S en sí corresponde a la secuencia vacía.) Entonces el conjunto u ( κ ) de todos los conjuntos estrictamente de tipo κ es un universo de Grothendieck de cardinalidad κ . La prueba de este hecho es larga, por lo que para más detalles nos remitimos nuevamente al artículo de Bourbaki, que figura en las referencias.

Para demostrar que el axioma cardinal grande (C) implica el axioma universal (U), elija un conjunto x . Sea x ₀ = x , y para cada n , sea la unión de los elementos de x _n . Sea y = . Por (C), existe un cardinal κ fuertemente inaccesible tal que |y| < κ . Sea u ( κ ) el universo del párrafo anterior. x es estrictamente de tipo κ, entonces x ∈ u ( κ ) . Para demostrar que el axioma del universo (U) implica el axioma cardinal grande (C), elija un cardinal κ . κ es un conjunto, por lo que es un elemento de un universo de Grothendieck U. La cardinalidad de U es fuertemente inaccesible y estrictamente mayor que la de κ . ${\displaystyle x_{n+1}=\bigcup x_{n}}$ ${\displaystyle \bigcup _{n}x_{n}}$

De hecho, cualquier universo de Grothendieck tiene la forma u ( κ ) para algún κ . Esto da otra forma de equivalencia entre los universos de Grothendieck y los cardinales fuertemente inaccesibles:

Para cualquier universo de Grothendieck U , | U | es cero, o un cardinal fuertemente inaccesible. Y si κ es cero, o un cardinal fuertemente inaccesible, entonces existe un universo de Grothendieck . Además, u (| U |) = U , y | tu ( κ )| = k . ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle u(\kappa )}$

Dado que la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles no se puede probar a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), la existencia de universos distintos del conjunto vacío tampoco se puede probar a partir de la ZFC. Sin embargo, los cardenales fuertemente inaccesibles se encuentran en el extremo inferior de la lista de cardenales importantes ; por lo tanto, la mayoría de las teorías de conjuntos que utilizan cardenales grandes (como "ZFC más hay un cardenal mensurable ", "ZFC más hay infinitos cardenales de Woodin ") demostrarán que los universos de Grothendieck existen. ${\displaystyle V_{\omega }}$

Ver también

• Universo construible
• Universo (matemáticas)
• Universo von Neumann

Notas

1. Streicher, Thomas (2006). «Universos en toposes» (PDF) . De conjuntos y tipos a topología y análisis: hacia fundamentos practicables para la matemática constructiva . Prensa de Clarendon. págs. 78–90. ISBN 9780198566519.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1972). "Universo". En Michael Artín ; Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – 1963–64 – Théorie des topos et cohomologie étale des schémas – (SGA 4) – vol. 1 (Apuntes de clase de matemáticas 269 ) (en francés). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . págs. 185-217.