Ley de cosenos

Propiedad de todos los triángulos en un plano euclidiano.

Fig. 1 – Un triángulo. Los ángulos α (o A ), β (o B ) y γ (o C ) son respectivamente opuestos a los lados a , b y c .

En trigonometría , la ley de los cosenos (también conocida como fórmula del coseno o regla del coseno ) relaciona las longitudes de los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos . Para un triángulo con lados y ángulos respectivos opuestos y (ver Fig. 1), la ley de los cosenos establece: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,\\[3mu]b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta .\end{aligned}}}$

La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras , que sólo es válido para triángulos rectángulos : si es un ángulo recto entonces y la ley de los cosenos se reduce a ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \cos \gamma =0,}$ ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

La ley de los cosenos es útil para resolver un triángulo cuando se dan los tres lados o dos lados y su ángulo incluido.

Uso para resolver triángulos.

Fig. 3 – Aplicaciones de la ley de los cosenos: lado desconocido y ángulo desconocido.

Dados los lados b y c del triángulo y el ángulo γ, a veces hay dos soluciones para a .

El teorema se utiliza en la solución de triángulos , es decir, para encontrar (ver Figura 3):

• el tercer lado de un triángulo si se conocen dos lados y el ángulo entre ellos:
  $${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}$$
• los ángulos de un triángulo si se conocen los tres lados:
  $${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}$$
• el tercer lado de un triángulo si se conocen dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos (este lado también se puede encontrar mediante dos aplicaciones de la ley de los senos ): ^[1]

$${\displaystyle a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}$$

Estas fórmulas producen altos errores de redondeo en cálculos de coma flotante si el triángulo es muy agudo, es decir, si c es pequeño en relación con a y b o γ es pequeño en comparación con 1. Incluso es posible obtener un resultado ligeramente mayor que uno. para el coseno de un ángulo.

La tercera fórmula que se muestra es el resultado de resolver para a en la ecuación cuadrática a ² − 2 ab cos γ + b ² − c ² = 0 . Esta ecuación puede tener 2, 1 o 0 soluciones positivas correspondientes al número de triángulos posibles dados los datos. Tendrá dos soluciones positivas si b sen γ < c < b , sólo una solución positiva si c = b sen γ y ninguna solución si c < b sen γ . Estos diferentes casos también se explican por la ambigüedad de la congruencia de ángulo lateral .

Historia

Libro II de los Elementos de Euclides , compilado c. 300 aC a partir de material de uno o dos siglos más antiguo, contiene un teorema geométrico correspondiente a la ley de los cosenos pero expresado en el lenguaje contemporáneo de las áreas rectangulares; La trigonometría helenística se desarrolló más tarde, y el seno y el coseno per se aparecieron por primera vez siglos después en la India.

Los casos de triángulos obtusos y triángulos agudos (correspondientes a los dos casos de coseno negativo o positivo) se tratan por separado, en las Proposiciones II.12 y II.13: ^[2]

Proposición 12.
En los triángulos de ángulos obtusos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que contienen el ángulo obtuso en el doble del rectángulo contenido por uno de los lados alrededor del ángulo obtuso, es decir, aquel en el que la perpendicular cae, y la recta cortada por fuera por la perpendicular hacia el ángulo obtuso.

—  Elementos de Euclides , traducción de Thomas L. Heath . ^[2]

La Proposición 13 contiene una afirmación análoga para los triángulos agudos. En su comentario (ahora perdido y sólo conservado a través de citas fragmentarias), Garza de Alejandría proporcionó pruebas de los conversos de II.12 y II.13. ^[3]

Fig. 2 – Triángulo obtuso ABC con BH perpendicular

Utilizando notación como en la figura 2, el enunciado de la proposición II.12 de Euclides puede representarse de manera más concisa (aunque anacrónica) mediante la fórmula

${\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).}$

Para transformar esto en la expresión familiar de la ley de los cosenos, sustituya y ${\displaystyle AB=c,}$ ${\displaystyle CA=b,}$ ${\displaystyle CB=a,}$ ${\displaystyle CH=a\cos(\pi -\gamma )\ }$ ${\displaystyle =-a\cos \gamma .}$

La proposición II.13 no se utilizó en la época de Euclides para la solución de triángulos, pero más tarde fue utilizada de esa manera en el curso de la resolución de problemas astronómicos por al-Bīrūnī (siglo XI) y Johannes de Muris (siglo XIV). ^[4] Algo equivalente a la ley esférica de los cosenos fue utilizado (pero no declarado en general) por al-Khwārizmī (siglo IX), al-Battānī (siglo IX) y Nīlakaṇṭha (siglo XV). ^[5]

Jamshīd al-Kāshī , un matemático y astrónomo persa del siglo XV que calculó las tablas trigonométricas más precisas de su época, escribió sobre la solución de triángulos en su Miftāḥ al-ḥisāb ( Clave de aritmética , 1427), incluido el siguiente método para encontrar la tercer lado dados dos lados y su ángulo incluido: ^[6]

Versión de Al-Kashi de la ley de los cosenos (caso en el que γ es obtuso), expresada con notación algebraica moderna.

Otro caso es cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos y el resto se desconoce. Multiplicamos uno de los lados por el seno del ángulo [conocido] una vez y por el seno de su complemento la otra vez convertido y restamos el segundo resultado del otro lado si el ángulo es agudo y lo sumamos si el ángulo es obtuso. Luego elevamos el resultado al cuadrado y le sumamos el cuadrado del primer resultado. Sacamos la raíz cuadrada de la suma para obtener el lado restante...

—  Miftāḥ al-ḥisāb de Al-Kāshī ,      traducción de Nuh Aydin, Lakhdar Hammoudi y Ghada Bakbouk ^[7]

Utilizando convenciones y notación algebraica moderna, esto podría escribirse

${\displaystyle c={\sqrt {(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}}}}$

cuando es agudo o ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle c={\sqrt {\left(b+a\left|\cos \gamma \right|\right)^{2}+\left(a\sin \gamma \right)^{2}}}}$

cuando es obtuso (cuando es obtuso, la convención moderna es que es negativo y positivo; históricamente, los senos y cosenos se consideraban segmentos de recta con longitudes no negativas). Al elevar al cuadrado ambos lados, expandir el binomio al cuadrado y luego aplicar la identidad trigonométrica pitagórica obtenemos la conocida ley de los cosenos: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \cos \gamma }$ ${\displaystyle \cos(\pi -\gamma )=-\cos \gamma }$ ${\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}-2ba\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\[5mu]&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

En Francia , la ley de los cosenos a veces se denomina teorème d'Al-Kashi . ^{[8] [9]}

El método de Al-Kāshī es esencialmente el mismo que el método recomendado para resolver tales triángulos por el Kitāb al-Shakl al-qattāʴ de Naṣīr al-Dīn al -Ṭūsī ( Libro sobre el cuadrilátero completo , c. 1250), pero con los pasos descritos. explícitamente en lugar de dejar los detalles al lector. ^[10]

El teorema fue escrito por primera vez utilizando notación algebraica por François Viète en el siglo XVI. A principios del siglo XIX, la notación algebraica moderna permitió escribir la ley de los cosenos en su forma simbólica actual. ^[11]

Pruebas

Usando el teorema de Pitágoras

Prueba de la ley de los cosenos en triángulos agudos y obtusos utilizando el teorema de Pitágoras

Triángulo obtuso ABC con altura BH

Caso de un ángulo obtuso

Euclides demostró este teorema aplicando el teorema de Pitágoras a cada uno de los dos triángulos rectángulos de la figura 2 ( AHB y CHB ). Usando d para denotar el segmento CH y h para la altura BH , el triángulo AHB nos da

${\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},}$

y el triángulo CHB da

${\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.}$

Desarrollando la primera ecuación se obtiene

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.}$

Sustituyendo la segunda ecuación en esta, se obtiene lo siguiente:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.}$

Esta es la Proposición 12 de Euclides del Libro 2 de los Elementos . ^[12] Para transformarlo a la forma moderna de la ley de los cosenos, tenga en cuenta que

${\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .}$

Caso de un ángulo agudo

La demostración de Euclides de su Proposición 13 sigue la misma línea que su demostración de la Proposición 12: aplica el teorema de Pitágoras a ambos triángulos rectángulos formados dejando caer la perpendicular sobre uno de los lados que encierra el ángulo γ y usa el cuadrado de una diferencia para simplificar. .

Otra prueba en el caso agudo

Fig. 6 – Una breve prueba usando trigonometría para el caso de un ángulo agudo

Usando más trigonometría, la ley de los cosenos se puede deducir usando el teorema de Pitágoras solo una vez. De hecho, utilizando el triángulo rectángulo del lado izquierdo de la Fig. 6 se puede demostrar que:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}$

usando la identidad trigonométrica ${\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.}$

Esta prueba necesita una ligera modificación si b < a cos( γ ) . En este caso, el triángulo rectángulo al que se aplica el teorema de Pitágoras se mueve fuera del triángulo ABC . El único efecto que esto tiene en el cálculo es que la cantidad b − a cos( γ ) se reemplaza por a cos( γ ) − b . Como esta cantidad entra en el cálculo sólo a través de su cuadrado, el resto de la prueba no se ve afectado. Sin embargo, este problema sólo ocurre cuando β es obtuso y puede evitarse reflejando el triángulo alrededor de la bisectriz de γ .

Con referencia a la Fig. 6, vale la pena señalar que si el ángulo opuesto al lado a es α entonces:

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}.}$

Esto es útil para el cálculo directo de un segundo ángulo cuando se dan dos lados y un ángulo incluido.

Desde tres altitudes

Fig. 5 – Un triángulo agudo con perpendicular

La altitud que pasa por el vértice C es un segmento perpendicular al lado c . La distancia desde el pie de la altitud hasta el vértice A más la distancia desde el pie de la altitud hasta el vértice B es igual a la longitud del lado c (ver Fig. 5). Cada una de estas distancias se puede escribir como uno de los otros lados multiplicado por el coseno del ángulo adyacente, ^[13]

${\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha .}$

(Esto sigue siendo cierto si α o β es obtuso, en cuyo caso la perpendicular cae fuera del triángulo). Multiplicar ambos lados por c produce

${\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .}$

Los mismos pasos funcionan igual de bien cuando se trata cualquiera de los otros lados como la base del triángulo:

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\\[3mu]b^{2}&=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Tomando la ecuación para y restando las ecuaciones para y ${\displaystyle c^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}-b^{2}&={\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}+{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-{\color {BlueGreen}{\cancel {\color {Black}ac\cos \beta }}}-{\color {Peach}{\cancel {\color {Black}bc\cos \alpha }}}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}}$

Esta prueba es independiente del teorema de Pitágoras , en la medida en que se basa únicamente en la definición de coseno del triángulo rectángulo y obtiene longitudes de los lados algebraicamente al cuadrado. Otras pruebas suelen invocar explícitamente el teorema de Pitágoras y son más geométricas, ya que tratan un  cos γ como una etiqueta para la longitud de un determinado segmento de línea. ^[13]

A diferencia de muchas pruebas, ésta maneja los casos de ángulos obtusos y agudos γ de forma unificada.

Coordenadas cartesianas

Fig. 4 – Prueba de geometría de coordenadas

Considere un triángulo con lados de longitud a , b , c , donde θ es la medida del ángulo opuesto al lado de longitud c . Este triángulo se puede colocar en el sistema de coordenadas cartesiano con el lado a alineado a lo largo del eje x y el ángulo θ colocado en el origen, trazando las componentes de los 3 puntos del triángulo como se muestra en la Fig. 4:

${\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),B=(a,0),{\text{ and }}C=(0,0).}$

Por la fórmula de la distancia ,

${\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}.}$

Cuadrar ambos lados y simplificar

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\&=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\&=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}$

Una ventaja de esta prueba es que no requiere la consideración de diferentes casos cuando el triángulo es agudo, rectángulo u obtuso.

Usando el teorema de Ptolomeo

Prueba de la ley de los cosenos utilizando el teorema de Ptolomeo

Con referencia al diagrama, el triángulo ABC con lados AB = c , BC = a y AC = b se dibuja dentro de su círculo circunstante como se muestra. El triángulo ABD se construye congruente con el triángulo ABC con AD = BC y BD = AC . Las perpendiculares de D y C se encuentran con la base AB en E y F respectivamente. Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}$

Ahora la ley de los cosenos se expresa mediante una aplicación sencilla del teorema de Ptolomeo al cuadrilátero cíclico ABCD :

${\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}$

Claramente, si el ángulo B es recto , entonces ABCD es un rectángulo y la aplicación del teorema de Ptolomeo produce el teorema de Pitágoras :

${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}.\quad }$

Comparando áreas

Fig. 7a – Demostración de la ley de los cosenos para el ángulo agudo γ mediante "cortar y pegar".

Fig. 7b – Prueba de la ley de los cosenos para el ángulo obtuso γ mediante "cortar y pegar".

También se puede probar la ley de los cosenos calculando áreas . El cambio de signo a medida que el ángulo γ se vuelve obtuso hace necesaria una distinción de casos.

Recordar que

• a ² , b ² y c ² son las áreas de los cuadrados con lados a , b y c , respectivamente;
• si γ es agudo, entonces ab cos γ es el área del paralelogramo cuyos lados a y b forman un ángulo de γ′ =π/2− γ ;
• si γ es obtuso, por lo que cos γ es negativo, entonces − ab cos γ es el área del paralelogramo cuyos lados a y b forman un ángulo de γ′ = γ −π/2.

Caso agudo. La Figura 7a muestra un heptágono cortado en trozos más pequeños (de dos maneras diferentes) para demostrar la ley de los cosenos. Las distintas piezas son

• en rosa, las áreas a ² , b ² a la izquierda y las áreas 2 ab cos γ y c ² a la derecha;
• en azul, el triángulo ABC , a la izquierda y a la derecha;
• en gris, triángulos auxiliares, todos congruentes con ABC , un número igual (es decir, 2) tanto a la izquierda como a la derecha.

La igualdad de áreas a la izquierda y a la derecha da

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma \,.}$

Caso obtuso. La Figura 7b corta un hexágono de dos maneras diferentes en pedazos más pequeños, lo que produce una prueba de la ley de los cosenos en el caso de que el ángulo γ sea obtuso. Tenemos

• en rosa, las áreas a ² , b ² y −2 ab cos γ a la izquierda y c ² a la derecha;
• en azul, el triángulo ABC dos veces, tanto a la izquierda como a la derecha.

La igualdad de áreas a la izquierda y a la derecha da

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )=c^{2}.}$

La prueba rigurosa deberá incluir pruebas de que varias formas son congruentes y, por tanto, tienen igual área. Para ello utilizaremos la teoría de triángulos congruentes .

Usando geometría circular

Fig. 8a – El triángulo ABC (rosa), un círculo auxiliar (azul claro) y un triángulo rectángulo auxiliar (amarillo)

Fig. 8b – El triángulo ABC (rosa), un círculo auxiliar (azul claro) y dos triángulos rectángulos auxiliares (amarillo)

Fig. 9 – Demostración de la ley de los cosenos utilizando el teorema de la potencia de un punto.

Utilizando la geometría del círculo , es posible dar una demostración más geométrica que utilizando únicamente el teorema de Pitágoras . Se evitan las manipulaciones algebraicas (en particular el teorema del binomio ).

Caso de ángulo agudo γ , donde a > 2 b cos γ . Deja caer la perpendicular desde A sobre a = BC , creando un segmento de recta de longitud b cos γ . Duplica el triángulo rectángulo para formar el triángulo isósceles ACP . Construya el círculo con centro A y radio b , y su tangente h = BH a través de B. La tangente h forma un ángulo recto con el radio b ( Elementos de Euclides : Libro 3, Proposición 18; o ver aquí ), por lo que el triángulo amarillo en la Figura 8 es recto. Aplicar el teorema de Pitágoras para obtener

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+h^{2}.}$

Luego use el teorema de la tangente secante ( Elementos de Euclides : Libro 3, Proposición 36), que dice que el cuadrado de la tangente que pasa por un punto B fuera del círculo es igual al producto de los dos segmentos de recta (de B ) creados por cualquier secante . del círculo que pasa por B . En el presente caso: BH ² = BC · BP , o

${\displaystyle h^{2}=a(a-2b\cos \gamma ).}$

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene la ley de los cosenos:

${\displaystyle c^{2}=b^{2}+a(a-2b\cos \gamma ).}$

Tenga en cuenta que h ² es la potencia del punto B con respecto al círculo. El uso del teorema de Pitágoras y del teorema de la tangente secante se puede sustituir por una única aplicación de la potencia de un teorema del punto .

Caso de ángulo agudo γ , donde a < 2 b cos γ . Deja caer la perpendicular desde A sobre a = BC , creando un segmento de recta de longitud b cos γ . Duplica el triángulo rectángulo para formar el triángulo isósceles ACP . Construya el círculo con centro A y radio b , y una cuerda que pasa por B perpendicular a c = AB , la mitad de la cual es h = BH . Aplicar el teorema de Pitágoras para obtener

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+h^{2}.}$

Ahora use el teorema de cuerdas ( Elementos de Euclides : Libro 3, Proposición 35), que dice que si dos cuerdas se cruzan, el producto de los dos segmentos de línea obtenidos en una cuerda es igual al producto de los dos segmentos de línea obtenidos en la otra cuerda. . En el presente caso: BH ² = BC · BP , o

${\displaystyle h^{2}=a(2b\cos \gamma -a).}$

Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene la ley de los cosenos:

${\displaystyle b^{2}=c^{2}+a(2b\cos \gamma -a)\,.}$

Tenga en cuenta que la potencia del punto B con respecto al círculo tiene el valor negativo − h ² .

Caso de ángulo obtuso γ . Esta prueba utiliza la potencia de un teorema del punto directamente, sin los triángulos auxiliares obtenidos al construir una tangente o una cuerda. Construya un círculo con centro B y radio a ( ver Figura 9), que corte a la secante que pasa por A y C en C y K. La potencia del punto A con respecto al círculo es igual a AB ² − BC ² y AC · AK . Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}-a^{2}&{}=b(b+2a\cos(\pi -\gamma ))\\&{}=b(b-2a\cos \gamma ),\end{aligned}}}$

que es la ley de los cosenos.

Usando medidas algebraicas para segmentos de línea (permitiendo números negativos como longitudes de segmentos), el caso de ángulo obtuso ( CK > 0 ) y ángulo agudo ( CK < 0 ) se puede tratar simultáneamente.

Usando la ley de los senos

Usando la ley de los senos y sabiendo que los ángulos de un triángulo deben sumar 180 grados, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones (las tres incógnitas son los ángulos):

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\sin \beta }},}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }},}$

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi .}$

Luego, usando la tercera ecuación del sistema, obtenemos un sistema de dos ecuaciones en dos variables:

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\sin(\alpha +\gamma )}},}$

${\displaystyle {\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }},}$

donde hemos utilizado la propiedad trigonométrica de que el seno de un ángulo suplementario es igual al seno del ángulo.

Usando la identidad (ver Identidades de suma y diferencia de ángulos )

${\displaystyle \sin(\alpha +\gamma )=\sin \alpha \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha }$

lleva a

${\displaystyle c(\sin \alpha \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha )=b\sin \gamma ,}$

${\displaystyle c\sin \alpha =a\sin \gamma .}$

Dividiendo todo el sistema por cos γ , tenemos:

${\displaystyle c(\sin \alpha +\tan \gamma \cos \alpha )=b\tan \gamma ,}$

${\displaystyle {\frac {c\sin \alpha }{\cos \gamma }}=a\tan \gamma ,}$

${\displaystyle {\frac {c^{2}\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\gamma }}=a^{2}\tan ^{2}\gamma .}$

Por tanto, de la primera ecuación del sistema, podemos obtener

${\displaystyle {\frac {c\sin \alpha }{b-c\cos \alpha }}=\tan \gamma }$

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación y usando

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\gamma ={\frac {1}{\cos ^{2}\gamma }}}$

podemos obtener una ecuación con una variable:

${\displaystyle c^{2}\sin ^{2}\alpha \left[1+{\frac {c^{2}\sin ^{2}\alpha }{(b-c\cos \alpha )^{2}}}\right]=a^{2}\cdot {\frac {c^{2}\sin ^{2}\alpha }{(b-c\cos \alpha )^{2}}}}$

Multiplicando por ( b − c cos α ) ² , podemos obtener la siguiente ecuación:

${\displaystyle (b-c\cos \alpha )^{2}+c^{2}\sin ^{2}\alpha =a^{2}.}$

Esto implica

${\displaystyle b^{2}-2bc\cos \alpha +c^{2}\cos ^{2}\alpha +c^{2}\sin ^{2}\alpha =a^{2}.}$

Recordando la identidad pitagórica , obtenemos la ley de los cosenos:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha .}$

Usando vectores

Denotar

${\displaystyle {\overrightarrow {CB}}={\vec {a}},\ {\overrightarrow {CA}}={\vec {b}},\ {\overrightarrow {AB}}={\vec {c}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}}$

Tomando el producto escalar de cada lado consigo mismo:

${\displaystyle {\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})}$

${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2\,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Usando la identidad

${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\Vert {\vec {u}}\Vert \,\Vert {\vec {v}}\Vert \cos \angle ({\vec {u}},\ {\vec {v}})}$

lleva a

${\displaystyle \Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}+{\Vert {\vec {b}}\Vert }^{2}-2\,\Vert {\vec {a}}\Vert \!\;\Vert {\vec {b}}\Vert \cos \angle ({\vec {a}},\ {\vec {b}})}$

El resultado sigue.

caso isósceles

Cuando a = b , es decir, cuando el triángulo es isósceles con los dos lados incidentes en el ángulo γ iguales, la ley de los cosenos se simplifica significativamente. Es decir, debido a que a ² + b ² = 2 a ² = 2 ab , la ley de los cosenos se convierte en

${\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}$

o

${\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).}$

Análogo de tetraedros

Una afirmación análoga comienza tomando α , β , γ , δ como las áreas de las cuatro caras de un tetraedro . Denota los ángulos diédricos por etc. Entonces ^[14] ${\displaystyle {\widehat {\beta \gamma }}}$

${\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left[\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right].}$

Versión adaptada a ángulos pequeños

Cuando el ángulo, γ , es pequeño y los lados adyacentes, a y b , tienen longitud similar, el lado derecho de la forma estándar de la ley de los cosenos está sujeto a una cancelación catastrófica en aproximaciones numéricas. En situaciones en las que esto es una preocupación importante, una versión matemáticamente equivalente de la ley de los cosenos, similar a la fórmula de haverseno , puede resultar útil:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a-b)^{2}+4ab\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\&=(a-b)^{2}+4ab\operatorname {haversin} (\gamma ).\end{aligned}}}$

En el límite de un ángulo infinitesimal, la ley de los cosenos degenera en la fórmula de la longitud del arco circular , c = a γ .

En geometría esférica e hiperbólica

Triángulo esférico resuelto por la ley de los cosenos.

Versiones similares a la ley de los cosenos para el plano euclidiano también se aplican en una esfera unitaria y en un plano hiperbólico. En geometría esférica , un triángulo está definido por tres puntos u , v y w en la esfera unitaria, y los arcos de círculos máximos que conectan esos puntos. Si estos círculos máximos forman ángulos A , B y C con lados opuestos a , b , c, entonces la ley esférica de los cosenos afirma que se cumplen las dos relaciones siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}}$

En geometría hiperbólica , un par de ecuaciones se conocen colectivamente como ley hiperbólica de los cosenos . El primero es

${\displaystyle \cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A}$

donde sinh y cosh son el seno y el coseno hiperbólicos , y el segundo es

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.}$

Como en la geometría euclidiana, se puede utilizar la ley de los cosenos para determinar los ángulos A , B , C a partir del conocimiento de los lados a , b , c . A diferencia de la geometría euclidiana, en ambos modelos no euclidianos también es posible lo contrario: los ángulos A , B , C determinan los lados a , b , c .

Ver también

• Fórmula de medio lado
• ley de los senos
• ley de las tangentes
• Ley de cotangentes
• Lista de identidades trigonométricas
• La fórmula de Mollweide.

Referencias

1. Los lados y ángulos dados se pueden encontrar usando la ley de los senos, dejando hasta dos posibilidades para el ángulo . Cualquiera de las dos opciones determina porque la suma de los tres ángulos interiores forma un ángulo llano. Finalmente se puede encontrar mediante otra aplicación de la ley de los senos. ${\displaystyle b,c}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \sin \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c,\gamma ,\alpha }$
2. Euclides. Thomas L. Heath (ed.). "Elementos". Traducido por Thomas L. Heath . Consultado el 24 de enero de 2023 .
3. Heath, Thomas (1956) [1908]. "Introducción" . Los trece libros de los elementos de Euclides (2ª ed.).
4. Kennedy, ES; Muruwwa, Ahmad (1958). "Bīrūnī sobre la ecuación solar". Revista de estudios del Cercano Oriente . 17 (2): 112-121. JSTOR  542617.
   Johannes de Muris atribuye a un autor anónimo la sección pertinente de su obra De Arte Mesurandi . Véase Van Brummelen, Glen (2009). Las Matemáticas de los Cielos y la Tierra . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 240-241.
5. Van Brummelen, Glen (2012). Matemáticas celestiales: el arte olvidado de la trigonometría esférica . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 98.
6. Azarian, Mohammad K. (2000). "Meftab Al-Hesab: un resumen". Revista de Ciencias Matemáticas de Missouri . 12 (2): 75–95. doi : 10.35834/2000/1202075 .
7. Aydin, Nuh; Hammoudi, Lakhdar; Bakbouk, Ghada (2020). Miftah al-Hisab de Al-Kashi, Volumen II: Geometría . Birkhäuser. pag. 31.doi : 10.1007 /978-3-030-61330-3.
8. Recogida, Clifford A. (2009). El libro de matemáticas: de Pitágoras a la 57ª dimensión. Sterling Publishing Company, Inc. pág. 106.ISBN _ 9781402757969.
9. Program de mathématiques de première générale (en francés). Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. 2022. págs.11, 12.
10. Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1891). "Cap. 3.2: Sur la manière de calculer les côtés et les angles d'un Triangle les uns par les autres". Traité du quadrilatère attribué a Nassiruddinel-Toussy (en francés). Traducido por Caratheodory, Alexandre Pacha . Tipografía y litografía Osmanié. pag. 69. Sobre donne deux côtés et un ángulo. [...] Que si el ángulo donné est comprendido entre les deux côtés donnés, como el ángulo A est comprendido entre les deux côtés AB AC, abaissez de B sur AC la perpendicular BE. Vous aurez ainsi le Triangle rectángulo [BEA] dont nous connaissons le côté AB et l'angle A; on en tirera BE, EA, et l'on retombera ainsi dans un des cas précédents; C. a. d. dans le cas où BE, CE sont connus; on connaîtra dès lors BC et l'angle C, comme nous l'avons expliqué [Dado [...] que el ángulo A está incluido entre los dos lados AB AC, deje caer de B a AC la perpendicular BE. Tendrás así el triángulo rectángulo [BEA] del que conocemos el lado AB y el ángulo A; en ese triángulo se calcula BE, EA, y el problema se reduce a uno de los casos anteriores; es decir, al caso en que se conozcan BE, CE; conoceremos así BC y el ángulo C, como hemos explicado.]
11. Por ejemplo en Carnot, Lazare (1803). Geometría de posición. JBM Duprat. pag. 202.
12. Versión del subprograma de Java del Prof. DE Joyce de la Universidad de Clark.
13. Alexander Bogomolny atribuye esta prueba al maestro John Molokach (2011), pero puede que sea más antigua. Bogomolny, Alejandro . "La ley de los cosenos (independiente del teorema de Pitágoras)". Cortar el nudo . Consultado el 9 de enero de 2024 .
14. Casey, Juan (1889). Un tratado sobre trigonometría esférica: y su aplicación a la geodesia y la astronomía con numerosos ejemplos . Londres: Longmans, Green y Company. pag. 133.

enlaces externos

• "Teorema del coseno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Varias derivaciones de la ley del coseno, incluida la de Euclides al cortar el nudo
• Applet interactivo de la Ley de los Cosenos