Triángulos agudos y obtusos

Triángulos sin ángulo recto

Un triángulo acutángulo (o triángulo acutángulo ) es un triángulo con tres ángulos agudos (menores de 90°). Un triángulo obtusángulo (o triángulo obtusángulo ) es un triángulo con un ángulo obtuso (mayor de 90°) y dos ángulos agudos. Dado que los ángulos de un triángulo deben sumar 180° en geometría euclidiana , ningún triángulo euclidiano puede tener más de un ángulo obtuso.

Los triángulos agudos y obtusos son dos tipos diferentes de triángulos oblicuos : triángulos que no son triángulos rectángulos porque no tienen ángulos rectos (90°).

Propiedades

En todos los triángulos, el baricentro —la intersección de las medianas , cada una de las cuales conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto— y el incentro —el centro del círculo que es tangente internamente a los tres lados— están en el interior del triángulo. Sin embargo, mientras que el ortocentro y el circuncentro están en el interior de un triángulo acutángulo, son exteriores en un triángulo obtusángulo.

El ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo , cada una de las cuales conecta perpendicularmente un lado con el vértice opuesto . En el caso de un triángulo acutángulo, estos tres segmentos se encuentran completamente en el interior del triángulo, por lo que se intersecan en el interior. Pero en un triángulo obtusángulo, las alturas de los dos ángulos agudos intersecan solo las extensiones de los lados opuestos. Estas alturas quedan completamente fuera del triángulo, lo que hace que su intersección entre sí (y, por lo tanto, con la altura extendida desde el vértice obtusángulo) se produzca en el exterior del triángulo.

De la misma manera, el circuncentro de un triángulo (la intersección de las bisectrices perpendiculares de los tres lados , que es el centro del círculo que pasa por los tres vértices) cae dentro de un triángulo agudo pero fuera de un triángulo obtuso.

El triángulo rectángulo es el caso intermedio: tanto su circuncentro como su ortocentro se encuentran en su límite.

En cualquier triángulo, dos ángulos cualesquiera de las medidas A y B de los lados opuestos a y b respectivamente están relacionados según ^{[1] : p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.}$

Esto implica que el lado más largo de un triángulo obtuso es el opuesto al vértice obtuso.

Un triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos , cada uno de cuyos lados coincide con parte de un lado del triángulo y con los otros dos vértices del cuadrado en los dos lados restantes del triángulo. (En un triángulo rectángulo dos de estos se fusionan en el mismo cuadrado, por lo que solo hay dos cuadrados inscritos distintos). Sin embargo, un triángulo obtusángulo tiene solo un cuadrado inscrito, uno de cuyos lados coincide con parte del lado más largo del triángulo. ^{[2] : p. 115}

Todos los triángulos en los que la línea de Euler es paralela a un lado son agudos. ^[3] Esta propiedad se cumple para el lado BC si y solo si ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

Desigualdades

Lados

Si el ángulo C es obtuso entonces para los lados a , b y c tenemos ^{[4] : ​​p.1, #74}

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

con la desigualdad de la izquierda acercándose a la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se acerca a 180°, y con la desigualdad de la derecha acercándose a la igualdad solo cuando el ángulo obtuso se acerca a 90°.

Si el triángulo es agudo entonces

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Altitud

Si C es el ángulo mayor y h _c es la altura desde el vértice C , entonces para un triángulo agudo ^{[4] : p.135, #3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

con la desigualdad opuesta si C es obtuso.

Medianas

Con el lado más largo c y las medianas m _a y m _b de los otros lados, ^{[4] : p.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

para un triángulo agudo pero con la desigualdad invertida para un triángulo obtuso.

La mediana m _c del lado más largo es mayor o menor que el radio circunscrito para un triángulo agudo u obtuso respectivamente: ^{[4] : p.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

para triángulos agudos, y lo opuesto para triángulos obtusos.

Área

Desigualdad de Ono para el área A ,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

Se aplica a todos los triángulos agudos, pero no a todos los obtusos.

Funciones trigonométricas

Para un triángulo agudo tenemos, para los ángulos A , B y C , ^{[4] : ​​p.26, #954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

con la desigualdad inversa manteniéndose para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con radio circunscrito R , ^{[4] : p.141, #3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

y ^{[4] : p.155, #S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Para un triángulo agudo, ^{[4] : p.115, #2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, ^{[4] : p178, #241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Para cualquier triángulo, la identidad de la triple tangente establece que la suma de las tangentes de los ángulos es igual a su producto. Como un ángulo agudo tiene un valor de tangente positivo mientras que un ángulo obtuso tiene uno negativo, la expresión para el producto de las tangentes muestra que

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

para triángulos agudos, mientras que la dirección opuesta de la desigualdad es válida para triángulos obtusos.

Tenemos ^{[4] : p.26, #958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

para triángulos agudos, y lo inverso para triángulos obtusos.

Para todos los triángulos agudos, ^{[4] : p.40, #1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Para todos los triángulos agudos con radio interno r y radio circunscrito R , ^{[4] : p.53, #1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Para un triángulo agudo con área K , ^{[4] : p.103, #2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

Circunradio, inradio y exradio

En un triángulo agudo, la suma del circunradio R y el inradio r es menor que la mitad de la suma de los lados más cortos a y b : ^{[4] : p.105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

Mientras que la desigualdad inversa es válida para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con medianas m _a , m _b y m _c y radio circunscrito R , tenemos ^{[4] : p.26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

Mientras que la desigualdad opuesta es válida para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface ^{[4] : p.26, #954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

en términos de los radios del círculo extraído r _a , r _b y r _c , nuevamente con la desigualdad inversa vigente para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con semiperímetro s , ^{[4] : p.115, #2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

y la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con área K , ^{[4] : p.185, #291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Distancias que involucran centros de triángulos

Para un triángulo agudo la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface ^{[4] : p.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

con la desigualdad opuesta manteniéndose para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo la distancia entre el centro del círculo inscrito I y el ortocentro H satisface ^{[4] : p.26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

donde r es el radio interno , con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Cuadrado inscrito

Si uno de los cuadrados inscritos de un triángulo agudo tiene un lado de longitud x _a y otro tiene un lado de longitud x _b con x _a < x _b , entonces ^{[2] : p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

Dos triangulos

Si dos triángulos obtusos tienen lados ( a, b, c ) y ( p, q, r ), siendo c y r los lados más largos respectivos, entonces ^{[4] : p.29, #1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

Ejemplos

Triángulos con nombres especiales

El triángulo de Calabi , que es el único triángulo no equilátero en el que el cuadrado más grande que cabe en el interior se puede colocar de tres maneras diferentes, es obtuso e isósceles con ángulos de base 39,1320261...° y tercer ángulo 101,7359477...°.

El triángulo equilátero , con tres ángulos de 60°, es agudo.

El triángulo de Morley , formado a partir de cualquier triángulo por las intersecciones de sus trisectrices de ángulos adyacentes, es equilátero y, por lo tanto, agudo.

El triángulo áureo es el triángulo isósceles en el que la razón entre el lado duplicado y el lado de la base es igual a la proporción áurea . Es agudo, con ángulos de 36°, 72° y 72°, lo que lo convierte en el único triángulo con ángulos en las proporciones 1:2:2. ^[5]

El triángulo heptagonal , cuyos lados coinciden con un lado, la diagonal menor y la diagonal mayor de un heptágono regular , es obtuso, con ángulos y ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7.}$

Triángulos con lados enteros

El único triángulo con números enteros consecutivos para la altura y los lados es agudo, teniendo los lados (13,14,15) y la altura del lado 14 igual a 12.

El triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros en progresión aritmética, y el triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros y lados distintos, es obtuso: es decir, el que tiene lados (2, 3, 4).

Los únicos triángulos cuyos ángulos son el doble de los de otro y cuyos lados son enteros en progresión aritmética son agudos: es decir, el triángulo (4,5,6) y sus múltiplos. ^[6]

No hay triángulos agudos de lados enteros con área = perímetro , pero hay tres obtusos, cuyos lados ^[7] son ​​(6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17).

El triángulo más pequeño de lados enteros con tres medianas racionales es agudo, con lados ^[8] (68, 85, 87).

Los triángulos de Heron tienen lados y área enteros. El triángulo de Heron oblicuo con el perímetro más pequeño es acutángulo, con lados (6, 5, 5). Los dos triángulos de Heron oblicuo que comparten el área más pequeña son el acutángulo con lados (6, 5, 5) y el obtusángulo con lados (8, 5, 5), siendo el área de cada uno 12.

Véase también

• Triángulo de plata

Referencias

1. Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012.
2. Oxman, Victor, y Stupel, Moshe. "¿Por qué las longitudes de los lados de los cuadrados inscritos en un triángulo están tan próximas entre sí?" Forum Geometricorum 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
3. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi y Bogdan D. Suceava, "El perspector de Gossard y las consecuencias proyectivas", Forum Geometricorum , volumen 13 (2013), 169–184. [1]
4. Desigualdades propuestas en “ Crux Mathematicorum ” , [2].
5. Elam, Kimberly (2001). Geometría del diseño . Nueva York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
6. Mitchell, Douglas W., "Los triángulos 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 y 3:5:7", Mathematical Gazette 92, julio de 2008.
7. LE Dickson , Historia de la teoría de los números , vol. 2 , 181.
8. Sierpiński, Wacław. Triángulos pitagóricos , Dover Publ., 2003 (orig. 1962).

• Weisstein, Eric W. "Triángulo agudo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Triángulo obtuso". MathWorld .