Triángulo de Calabi

El triángulo de Calabi es un triángulo especial descubierto por Eugenio Calabi y definido por su propiedad de tener tres posiciones diferentes para el cuadrado más grande que contiene. ^[1] Es un triángulo isósceles que es obtuso con una razón irracional pero algebraica entre las longitudes de sus lados y su base. ^[2]

Definición

Consideremos el cuadrado más grande que se puede colocar en un triángulo arbitrario. Es posible que dicho cuadrado se pueda colocar en el triángulo de más de una manera. Si el cuadrado más grande se puede colocar de tres maneras diferentes, entonces el triángulo es un triángulo equilátero o un triángulo de Calabi. ^{[3] [4]} Por lo tanto, el triángulo de Calabi se puede definir como un triángulo que no es equilátero y tiene tres ubicaciones para su cuadrado más grande.

Forma

El triángulo △ ABC es isósceles y tiene la misma longitud de lados que AB = AC . Si la razón entre la base y cada cateto es x , podemos establecer que AB = AC = 1, BC = x . Entonces podemos considerar los tres casos siguientes:

caso 1) △ ABC es un triángulo agudo

La condición es . ${\displaystyle 0<x<{\sqrt {2}}}$

En este caso x = 1 es válido para el triángulo equilátero .

caso 2) △ ABC es un triángulo rectángulo

La condición es . ${\displaystyle x={\sqrt {2}}}$

En este caso ningún valor es válido.

caso 3) △ ABC es un triángulo obtuso

La condición es . ${\displaystyle {\sqrt {2}}<x<2}$

En este caso el triángulo de Calabi es válido para la raíz positiva más grande de at ( OEIS : A046095 ). ${\displaystyle 2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0}$ ${\displaystyle x=1.55138752454832039226...}$

Ejemplo de respuesta

Figura de ejemplo del triángulo de Calabi 01

Consideremos el caso de AB = AC = 1, BC = x . Entonces

${\displaystyle 0<x<2.}$

Sea un ángulo de base θ y un cuadrado □ DEFG sobre la base BC con una longitud de lado de a . Sea H el pie de la perpendicular trazada desde el vértice A hasta la base. Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}HB&=HC=\cos \theta ={\frac {x}{2}},\\AH&=\sin \theta ={\frac {x}{2}}\tan \theta ,\\0&<\theta <{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Entonces HB = ⁠incógnita/2⁠ y ÉL = ⁠a/2⁠ , entonces EB = ⁠x - a/2⁠ .

De △DEB ∽ △AHB,

${\displaystyle {\begin{aligned}&EB:DE=HB:AH\\&\Leftrightarrow {\bigg (}{\frac {x-a}{2}}{\bigg )}:a=\cos \theta :\sin \theta =1:\tan \theta \\&\Leftrightarrow a={\bigg (}{\frac {x-a}{2}}{\bigg )}\tan \theta \\&\Leftrightarrow a={\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}.\\\end{aligned}}}$

caso 1)△ Abecedarioes un triangulo agudo

Figura de ejemplo del triángulo de Calabi 02

Sea □ IJKL un cuadrado de lado AC con una longitud de lado b . De △ABC ∽ △IBJ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&AB:IJ=BC:BJ\\&\Leftrightarrow 1:b=x:BJ\\&\Leftrightarrow BJ=bx.\end{aligned}}}$

De △JKC ∽ △AHC,

${\displaystyle {\begin{aligned}&JK:JC=AH:AC\\&\Leftrightarrow b:JC={\frac {x}{2}}\tan \theta :1\\&\Leftrightarrow JC={\frac {2b}{x\tan \theta }}.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=BC=BJ+JC=bx+{\frac {2b}{x\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow x=b{\frac {x^{2}\tan \theta +2}{x\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow b={\frac {x^{2}\tan \theta }{x^{2}\tan \theta +2}}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, si dos cuadrados son congruentes,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=b\\&\Leftrightarrow {\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}={\frac {x^{2}\tan \theta }{x^{2}\tan \theta +2}}\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x^{2}\tan \theta +2)=x^{2}\tan \theta (\tan \theta +2)\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x(\tan \theta +2)-(x^{2}\tan \theta +2))=0\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x\tan \theta -2)\cdot (x-1)=0\\&\Leftrightarrow 2\sin \theta \cdot 2(\sin \theta -1)\cdot (x-1)=0.\end{aligned}}}$

En este caso, ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}<\theta <{\frac {\pi }{2}},2\sin \theta \cdot 2(\sin \theta -1)\neq 0.}$

Por lo tanto , significa que △ ABC es un triángulo equilátero. ${\displaystyle x=1}$

caso 2)△ Abecedarioes un triangulo rectángulo

Figura de ejemplo del triángulo de Calabi 03

En este caso, , entonces ${\displaystyle x={\sqrt {2}},\tan \theta =1}$ ${\displaystyle a={\frac {\sqrt {2}}{3}},b={\frac {1}{2}}.}$

Entonces ningún valor es válido.

caso 3)△ Abecedarioes un triangulo obtuso

Figura de ejemplo del triángulo de Calabi 04

Sea □ IJKA un cuadrado de base AC con una longitud lateral b .

De △AHC ∽ △JKC,

${\displaystyle {\begin{aligned}&AH:HC=JK:KC\\&\Leftrightarrow \sin \theta :\cos \theta =b:(1-b)\\&\Leftrightarrow b\cos \theta =(1-b)\sin \theta \\&\Leftrightarrow b=(1-b)\tan \theta \\&\Leftrightarrow b={\frac {\tan \theta }{1+\tan \theta }}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, si dos cuadrados son congruentes,

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=b\\&\Leftrightarrow {\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}={\frac {\tan \theta }{1+\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow {\frac {x}{\tan \theta +2}}={\frac {1}{1+\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow x(\tan \theta +1)=\tan \theta +2\\&\Leftrightarrow (x-1)\tan \theta =2-x.\end{aligned}}}$

En este caso,

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {(2+x)(2-x)}}{x}}.}$

Entonces, podemos ingresar el valor de tan θ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x-1)\tan \theta =2-x\\&\Leftrightarrow (x-1){\frac {\sqrt {(2+x)(2-x)}}{x}}=2-x\\&\Leftrightarrow (2-x)\cdot ((x-1)^{2}(2+x)-x^{2}(2-x))=0\\&\Leftrightarrow (2-x)\cdot (2x^{3}-2x^{2}-3x+2)=0.\end{aligned}}}$

En este caso , podemos obtener la siguiente ecuación: ${\displaystyle {\sqrt {2}}<x<2}$

${\displaystyle 2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0.}$

Raíz de la ecuación de Calabi

Si x es la raíz positiva más grande de la ecuación de Calabi:

${\displaystyle 2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0,{\sqrt {2}}<x<2}$

Podemos calcular el valor de x mediante los siguientes métodos.

El método de Newton

Podemos configurar la función de la siguiente manera: ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x^{3}-2x^{2}-3x+2,\\f'(x)&=6x^{2}-4x-3=6{\bigg (}x-{\frac {1}{3}}{\bigg )}^{2}-{\frac {11}{3}}.\end{aligned}}}$

La función f es continua y diferenciable en y ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f({\sqrt {2}})&={\sqrt {2}}-2<0,\\f(2)&=4>0,\\f'(x)&>0,\forall x\in [{\sqrt {2}},2].\end{aligned}}}$

Entonces f es una función monótonamente creciente y por el teorema del valor intermedio , la ecuación de Calabi f ( x ) = 0 tiene solución única en el intervalo abierto . ${\displaystyle {\sqrt {2}}<x<2}$

El valor de x se calcula mediante el método de Newton de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {2}},\\x_{n+1}&=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {4x_{n}^{3}-2x_{n}^{2}-2}{6x_{n}^{2}-4x_{n}-3}}.\end{aligned}}}$

El método de Cardano

El valor de x se puede expresar con números complejos utilizando el método de Cardano :

${\displaystyle x={1 \over 3}{\Bigg (}1+{\sqrt[{3}]{-23+3i{\sqrt {237}} \over 4}}+{\sqrt[{3}]{-23-3i{\sqrt {237}} \over 4}}{\Bigg )}.}$^{[3] [5] [a]}

El método de Viète

El valor de x también se puede expresar sin números complejos utilizando el método de Viète :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}\\&=1.55138752454832039226195251026462381516359170380389\cdots .\end{aligned}}}$^[2]

El método de Lagrange

El valor de x tiene representación fraccionaria continua por el método de Lagrange
de la siguiente manera: [1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, ...] =

${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{390+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$. ^{[3] [6] [7] [b]}

ángulo de la base y ángulo del vértice

El triángulo de Calabi es obtuso con ángulo de base θ y ángulo de vértice ψ como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}(x/2)\\&=39.13202614232587442003651601935656349795831966723206\cdots ^{\circ },\\\psi &=180-2\theta \\&=101.73594771534825115992696796128687300408336066553587\cdots ^{\circ }.\\\end{aligned}}}$

Véase también

• El polígono pequeño más grande
• Ecuación cúbica

Notas al pie

Notas

1. Si establecemos la forma polar del número complejo, podemos calcular el valor de x de la siguiente manera:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )={\frac {-23+3i{\sqrt {237}}}{4}},\\r&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-23)^{2}+9\cdot 237}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot 11^{3}}}={\Bigg (}{\sqrt {\frac {11}{2}}}{\Bigg )}^{3},\\\cos \varphi &=-{\frac {23}{4}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {23\cdot 2{\sqrt {2}}}{4\cdot 11{\sqrt {11}}}}=-{\frac {23}{11{\sqrt {22}}}},\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}&={\sqrt[{3}]{r}}e^{\frac {i\varphi }{3}}={\sqrt[{3}]{r}}{\Big (}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}{\Big )},\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}&=2{\sqrt[{3}]{r}}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}={\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )},\\x&={\frac {1}{3}}{\bigg (}1+{\sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}{\bigg )}={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.\end{aligned}}}$

   Entonces el método de Cardano es equivalente al método de Viète.
2. Si se encuentra una fracción continua [ a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...] , con numeradores h ₁ , h ₂ , ... y denominadores k ₁ , k ₂ , ... entonces la relación recursiva relevante es la de los corchetes gaussianos :

   h _n = a _n h _{n − 1} + h _{n − 2} ,

   k _n = a _n k _{n − 1} + k _{n − 2} .

   Los convergentes sucesivos vienen dados por la fórmula

   ⁠h- _n/k- _n⁠ = ⁠a _n h _{n − 1} + h _{n − 2}/a _n k _{n − 1} + k _{n − 2}⁠ .

   Si la fracción continua es
   

   [1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, 1, 1, 2, 11, 6, 2, 1, 1, 56, 1 , 4, 3, 1, 1, 6, 9, 3, 2, 1, 8, 10, 9, 25, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 35, 1, 1, 1, 41 , 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 4, 11, 1, 2, 2, 1 , 1, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 7, 2, 2, 2, 36, 7, 22, 1, 2, 1, ...], ^[8]

   Podemos calcular la aproximación racional de x de la siguiente manera:

   La aproximación racional de x es95º_​/k95_​⁠ y un límite de error ε es el siguiente:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}x&\approx {\frac {h_{95}}{k_{95}}}\\&={\frac {10264770284430115358350493989796951584352149694}{6616509493602288551995313304988866597070326335}}\\&=1.5513875245483203922619525102646238151635917038038871995280071201179267425542569572957604536135484903\cdots ,\\\varepsilon &={\frac {1}{k_{95}(k_{95}+k_{94})}}\\&=1.82761...\times 10^{-91}.\end{aligned}}}$

Citas

1. Calabi, Eugenio (3 de noviembre de 1997). «Esquema de la demostración de los cuadrados encajados en un triángulo». Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2012. Consultado el 3 de mayo de 2018 .
2. Stewart 2004, pág. 15.
3. Weisstein, Eric W. "El triángulo de Calabi". MathWorld .
4. Conway, JH ; Guy, RK (1996). "El triángulo de Calabi". El libro de los números . Nueva York: Springer-Verlag. pág. 206.
5. Stewart 2004, págs. 7-10.
6. Joseph-Louis, Lagrange (1769), "Sur la résolution des équations numériques", Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-lettres de Berlin , 23- Obras II, p.539-578.
7. Joseph-Louis, Lagrange (1770), "Additions au mémoire sur la résolution des équations numériques", Mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-lettres de Berlin , 24- Obras II, p.581-652.
8. (secuencia A046096 en la OEIS )

Referencias

• Stewart, Ian (2004), Teoría de Galois (3.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-393-7- Erratas de la teoría de Galois.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "El triángulo de Calabi". MathWorld .