Corchetes gaussianos

En matemáticas , los corchetes gaussianos son una notación especial inventada por Carl Friedrich Gauss para representar los convergentes de una fracción continua simple en forma de fracción simple . Gauss utilizó esta notación en el contexto de la búsqueda de soluciones de las ecuaciones indeterminadas de la forma . ^[1] ${\displaystyle ax=by\pm 1}$

Esta notación no debe confundirse con el uso ampliamente extendido de corchetes para denotar la función entera más grande: denota el entero más grande menor o igual a . Esta notación también fue inventada por Gauss y se usó en la tercera prueba de la ley de reciprocidad cuadrática. La notación , que denota la función base , ahora se usa más comúnmente para denotar el entero más grande menor o igual a . ^[2] ${\displaystyle [x]}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x}$

La notación

La notación de corchetes gaussianos se define de la siguiente manera: ^{[3] [4]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad [\,\,]&=1\\[1mm][a_{1}]&=a_{1}\\[1mm][a_{1},a_{2}]&=[a_{1}]a_{2}+[\,\,]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3}]&=[a_{1},a_{2}]a_{3}+[a_{1}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}+a_{3}\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]&=[a_{1},a_{2},a_{3}]a_{4}+[a_{1},a_{2}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}+a_{1}a_{2}+a_{1}a_{4}+a_{3}a_{4}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}]&=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]a_{5}+[a_{1},a_{2},a_{3}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{5}+a_{1}a_{4}a_{5}+a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}+a_{3}+a_{5}\\[1mm]\vdots &\\[1mm][a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]&=[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}]a_{n}+[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-2}]\end{aligned}}}$

La forma expandida de la expresión puede describirse así: "El primer término es el producto de todos los n miembros; después vienen todos los productos posibles de ( n -2) miembros en los que los números tienen índices alternadamente impares y pares en orden ascendente, cada uno comenzando con un índice impar; luego todos los productos posibles de ( n -4) miembros tienen asimismo índices alternados impares y pares sucesivamente mayores, cada uno comenzando con un índice impar; y así sucesivamente. Si el paréntesis tiene un número impar de miembros, termina con la suma de todos los miembros de índice impar; si tiene un número par, termina con la unidad". ^[4] ${\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$

Con esta notación, se puede verificar fácilmente que ^[3]

${\displaystyle {\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots {\frac {\ddots }{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}={\frac {[a_{2},\ldots ,a_{n}]}{[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}}}$

Propiedades

1. La notación de corchetes también se puede definir mediante la relación de recursión : ${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]=a_{1}[a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]+[a_{3},\ldots ,a_{n}]}$
2. La notación es simétrica o reversible en los argumentos: ${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}]=[a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1}]}$
3. La expresión de los corchetes gaussianos se puede escribir mediante un determinante: ${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]={\begin{vmatrix}a_{1}&-1&0&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]1&a_{2}&-1&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]0&1&a_{3}&-1&\cdots &0&0&0\\[1mm]\vdots &&&&&&&\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &1&a_{n-1}&-1\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &0&1&a_{n}\end{vmatrix}}}$
4. La notación satisface la fórmula determinante (para ello se utiliza la convención de que ): ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle [a_{2},\ldots ,a_{0}]=0}$ ${\displaystyle \,\,{\begin{vmatrix}[a_{1},\ldots ,a_{n}]&[a_{1},\ldots ,a_{n-1}]\\[1mm][a_{2},\ldots ,a_{n}]&[a_{2},\ldots ,a_{n-1}]\end{vmatrix}}=(-1)^{n}}$
5. ${\displaystyle [-a_{1},-a_{2},\ldots ,-a_{n}]=(-1)^{n}[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$
6. Sea alternativamente 0 los elementos en la expresión del corchete gaussiano. Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\,\,\quad [a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1}]&=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2m+1}\\[1mm][a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1},0]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m}]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m},0]&=0\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Los diseñadores ópticos han utilizado ampliamente los corchetes gaussianos como un dispositivo que ahorra tiempo al calcular los efectos de los cambios en la potencia de la superficie, el espesor y la separación de la longitud focal, la ampliación y las distancias entre objetos e imágenes. ^{[4] [5]}

Referencias

1. Carl Friedrich Gauss (traducción al inglés de Arthur A. Clarke y revisada por William C. Waterhouse) (1986). Disquisitiones Arithmeticae . Nueva York: Springer-Verlag. pp. 10-11. ISBN 0-387-96254-9.
2. Weisstein, Eric W. "Función de piso". MathWorld--Un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de enero de 2023 .
3. Weisstein, Eric W. "Corchetes gaussianos". MathWorld - Un recurso web de Wolfram . Consultado el 24 de enero de 2023 .
4. M. Herzberger (diciembre de 1943). "Óptica gaussiana y corchetes gaussianos". Revista de la Sociedad Óptica de América . 33 (12). doi :10.1364/JOSA.33.000651.
5. Kazuo Tanaka (1986). Teoría paraxial en diseño óptico en términos de corchetes gaussianos . Progreso en Óptica. Vol. XXIII. págs. 63–111. Bibcode :1986PrOpt..23...63T. doi :10.1016/S0079-6638(08)70031-3. ISBN 9780444869821. {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )

Lectura adicional

Los siguientes artículos brindan detalles adicionales sobre las aplicaciones de los corchetes gaussianos en óptica.

• Chen Ma, Dewen Cheng, Q. Wang y Chen Xu (noviembre de 2014). "Diseño de sistema óptico de una cámara de fondo de ojo ajustable por líquido basado en el método de corchetes gaussianos". Acta Optica Sinica . 34 (11). doi :10.3788/AOS201434.1122001.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Yi Zhong, Herbert Gross (mayo de 2017). "Método de diseño inicial de sistemas no rotacionalmente simétricos basado en corchetes gaussianos y teoría de aberración nodal". Opt Express . 25 (9): 10016–10030. Bibcode :2017OExpr..2510016Z. doi : 10.1364/OE.25.010016 . PMID  28468369 . Consultado el 24 de enero de 2023 .
• Xiangyu Yuan y Xuemin Cheng (noviembre de 2014). Wang, Yongtian; Du, Chunlei; Sasián, José; Tatsuno, Kimio (eds.). "Diseño de lentes basado en parámetros de forma de lentes usando corchetes gaussianos". Proc. SPIE 9272, Diseño y pruebas ópticas VI, 92721L . Diseño y pruebas ópticas VI. 9272 : 92721L. Bibcode :2014SPIE.9272E..1LY. doi :10.1117/12.2073422. S2CID  121201008.