Triángulo dorado (matemáticas)

Triángulo isósceles en el que el lado duplicado está en proporción áurea con respecto al lado de la base

Un triángulo áureo. La razón a/b es la proporción áurea φ. El ángulo del vértice es . Los ángulos de la base son 72° cada uno. ${\displaystyle \theta =36^{\circ }}$

Gnomon dorado, cuyos lados tienen longitudes de 1, 1 y . ${\displaystyle \phi }$

Un triángulo áureo , también llamado triángulo sublime , ^[1] es un triángulo isósceles en el que el lado duplicado está en proporción áurea con respecto al lado base : ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618034~.}$

Anglos

• El ángulo del vértice es: ^[2]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi }=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Por lo tanto, el triángulo áureo es un triángulo agudo (isósceles).

• Como los ángulos de un triángulo suman radianes , cada uno de los ángulos base (CBX y CXB) es: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^[1]

Nota:

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\,{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• El triángulo áureo se identifica de forma única como el único triángulo que tiene sus tres ángulos en la proporción 1:2:2 (36°, 72°, 72°). ^[3]

En otras figuras geométricas

Un triángulo dorado en un decágono regular.

• Los triángulos dorados se pueden encontrar en las puntas de los pentagramas regulares .
• Los triángulos áureos también se pueden encontrar en un decágono regular, un polígono de diez lados equilátero y equiangular , uniendo dos vértices adyacentes al centro. Esto se debe a que: 180(10−2)/10 = 144° es el ángulo interior, y dividándolo por el vértice hasta el centro: 144/2 = 72°. ^[1]
• Además, se encuentran triángulos áureos en las redes de varias estelaciones de dodecaedros e icosaedros .

Espiral logarítmica

Triángulos áureos inscritos en una espiral logarítmica .

El triángulo áureo se utiliza para formar algunos puntos de una espiral logarítmica . Al bisecar uno de los ángulos de la base, se crea un nuevo punto que, a su vez, forma otro triángulo áureo. ^[4] El proceso de bisección puede continuar indefinidamente, creando un número infinito de triángulos áureos. Se puede dibujar una espiral logarítmica a través de los vértices. Esta espiral también se conoce como espiral equiangular, un término acuñado por René Descartes . "Si se dibuja una línea recta desde el polo hasta cualquier punto de la curva, corta la curva exactamente en el mismo ángulo", de ahí equiangular . ^[5] Esta espiral es diferente de la espiral áurea : la espiral áurea crece por un factor de la proporción áurea en cada cuarto de vuelta, mientras que la espiral a través de estos triángulos áureos toma un ángulo de 108° para crecer por el mismo factor. ^[6]

Gnomon dorado

Triángulo áureo dividido en triángulos de Robinson: un triángulo áureo y un gnomon áureo.

Un triángulo dorado (rojo) y gnomones dorados grandes (azules) y pequeños (verdes) en un pentagrama regular.

Estrechamente relacionado con el triángulo áureo está el gnomon áureo , que es el triángulo isósceles en el que la relación entre las longitudes de los lados iguales y la longitud de la base es el recíproco de la proporción áurea . ${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$ ${\displaystyle \varphi }$

"El triángulo áureo tiene una relación entre la longitud de la base y la longitud del lado igual a la sección áurea φ, mientras que el gnomon áureo tiene una relación entre la longitud del lado y la longitud de la base igual a la sección áurea φ." ^[7]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.}$

Anglos

(Las distancias AX y CX son ambas a ′ = a = φ , y la distancia AC es b ′ = φ², como se ve en la figura).

• El ángulo del vértice AXC es:

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}=2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.}$

Por lo tanto, el gnomon áureo es un triángulo obtuso (isósceles).

${\displaystyle (}$Nota: ${\displaystyle \theta '=\arccos \left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={3\pi \over 5}~{\text{rad}}=108^{\circ }.)}$

• Como los ángulos del triángulo AXC suman radianes, cada uno de los ángulos base CAX y ACX es: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}~{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

Nota: ${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos \left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\,{\text{rad}}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

• El gnomon áureo se identifica de forma única como un triángulo cuyos tres ángulos tienen una proporción de 1:1:3 (36°, 36°, 108°). Los ángulos de su base miden 36° cada uno, lo que equivale al vértice del triángulo áureo.

Bisecciones

• Al dividir en dos uno de sus ángulos base, un triángulo áureo puede subdividirse en un triángulo áureo y un gnomon áureo.
• Al trisecar su ángulo del vértice, un gnomon áureo se puede subdividir en un triángulo áureo y un gnomon áureo.
• Un gnomon áureo y un triángulo áureo con lados iguales que coinciden entre sí en longitud, también se conocen como triángulos de Robinson obtusos y agudos. ^[3]

Azulejos

• Un triángulo dorado y dos gnomones dorados forman un pentágono regular . ^[8]
• Estos triángulos isósceles se pueden utilizar para producir mosaicos de Penrose . Los mosaicos de Penrose se forman a partir de cometas y dardos. Una cometa se forma a partir de dos triángulos áureos y un dardo se forma a partir de dos gnomones.

Véase también

• Rectángulo dorado
• Rombo dorado
• El triángulo dorado de Kimberling
• Triángulo de Kepler
• Laúd de Pitágoras
• Pentagrama
• Triángulo dorado (composición)

Referencias

1. Elam, Kimberly (2001). Geometría del diseño . Nueva York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
2. Weisstein, Eric W. "Triángulo dorado". mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de diciembre de 2019 .
3. Tilings Encyclopedia. 1970. Archivado desde el original el 24 de mayo de 2009.
4. Huntley, HE (1970). La divina proporción: un estudio sobre la belleza matemática . Nueva York: Dover Publications Inc. ISBN 0-486-22254-3.
5. Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo. Nueva York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
6. Loeb, Arthur L.; Varney, William (marzo de 1992). "¿Existe la espiral áurea y, si no, dónde está su centro?". En Hargittai, István; Pickover, Clifford A. (eds.). Simetría espiral . World Scientific. págs. 47–61. doi :10.1142/9789814343084_0002.
7. Loeb, Arthur (1992). Conceptos e imágenes: matemáticas visuales. Boston: Birkhäuser Boston. pág. 180. ISBN 0-8176-3620-X.
8. Weisstein, Eric W. "Golden Gnomon". mathworld.wolfram.com . Consultado el 26 de diciembre de 2019 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Triángulo dorado". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "El gnomon dorado". MathWorld .
• Triángulos de Robinson en Tilings Encyclopedia
• Triángulo áureo según Euclides
• La extraordinaria reciprocidad de los triángulos dorados en Tartapelago de Giorgio Pietrocola