Método FOIL

Mnemónico para encontrar el producto de dos funciones binomiales

En álgebra elemental , FOIL es una regla mnemotécnica para el método estándar de multiplicación de dos binomios ^[1] , por lo que el método puede denominarse método FOIL . La palabra FOIL es un acrónimo de los cuatro términos del producto:

• Primero (los "primeros" términos de cada binomio se multiplican entre sí)
• O uter (los términos "externos" se multiplican, es decir, el primer término del primer binomio y el segundo término del segundo)
• I nner (los términos "internos" se multiplican: segundo término del primer binomio y primer término del segundo)
• L a ú ltimo (los "últimos" términos de cada binomio se multiplican)

La forma general es

${\displaystyle (a+b)(c+d)=\underbrace {ac} _{\text{first}}+\underbrace {ad} _{\text{outside}}+\underbrace {bc} _{\text{inside}}+\underbrace {bd} _{\text{last}}.}$

Tenga en cuenta que a es tanto un término "primero" como un término "externo"; b es tanto un término "último" como "interno", y así sucesivamente. El orden de los cuatro términos en la suma no es importante y no necesita coincidir con el orden de las letras en la palabra FOIL.

Historia

El método FOIL es un caso especial de un método más general para multiplicar expresiones algebraicas utilizando la ley distributiva . La palabra FOIL originalmente fue pensada únicamente como una regla mnemotécnica para estudiantes de secundaria que estaban aprendiendo álgebra. El término aparece en el texto de William Betz de 1929 Algebra for Today , donde afirma: ^[2]

... primeros términos, términos externos, términos internos, términos finales. (La regla enunciada anteriormente también puede recordarse por la palabra FOIL, sugerida por las primeras letras de las palabras first, outer, inner, last.)

William Betz participó activamente en el movimiento de reforma de las matemáticas en Estados Unidos en esa época, había escrito muchos textos sobre temas de matemáticas elementales y había "dedicado su vida a la mejora de la educación matemática". ^[3]

Muchos estudiantes y educadores en los EE. UU. ahora usan la palabra "FOIL" como verbo que significa "expandir el producto de dos binomios". ^[4]

Ejemplos

El método se utiliza con mayor frecuencia para multiplicar binomios lineales . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+3)(x+5)&=x\cdot x+x\cdot 5+3\cdot x+3\cdot 5\\&=x^{2}+5x+3x+15\\&=x^{2}+8x+15.\end{aligned}}}$

Si alguno de los dos binomios implica resta , los términos correspondientes deben ser negados . Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}(2x-3)(3x-4)&=(2x)(3x)+(2x)(-4)+(-3)(3x)+(-3)(-4)\\&=6x^{2}-8x-9x+12\\&=6x^{2}-17x+12.\end{aligned}}}$

La ley distributiva

El método FOIL es equivalente a un proceso de dos pasos que involucra la ley distributiva: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)(c+d)&=a(c+d)+b(c+d)\\&=ac+ad+bc+bd.\end{aligned}}}$

En el primer paso, ( c + d ) se distribuye sobre la suma del primer binomio. En el segundo paso, se utiliza la ley distributiva para simplificar cada uno de los dos términos. Nótese que este proceso implica un total de tres aplicaciones de la propiedad distributiva. A diferencia del método FOIL, el método que utiliza la distributividad se puede aplicar fácilmente a productos con más términos, como trinomios y números superiores.

FOIL inverso

La regla FOIL convierte un producto de dos binomios en una suma de cuatro (o menos, si se combinan los términos iguales ) monomios . ^[6] El proceso inverso se denomina factorización o factorización . En particular, si la prueba anterior se lee al revés, ilustra la técnica denominada factorización por agrupación .

Mesa como alternativa al FOIL

Una herramienta de memoria visual puede reemplazar la regla FOIL para un par de polinomios con cualquier número de términos. Haz una tabla con los términos del primer polinomio en el borde izquierdo y los términos del segundo en el borde superior, luego completa la tabla con productos de multiplicación. La tabla equivalente a la regla FOIL se ve así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &c&d\\\hline a&ac&ad\\b&bc&bd\end{array}}}$

En el caso de que sean polinomios, ( ax + b )( cx + d ) , los términos de un grado dado se encuentran sumando a lo largo de las antidiagonales :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cc}\times &cx&d\\\hline ax&acx^{2}&adx\\b&bcx&bd\end{array}}}$

entonces ${\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}$

Para multiplicar ( a + b + c )( w + x + y + z ) , la tabla quedaría así:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &w&x&y&z\\\hline a&aw&ax&ay&az\\b&bw&bx&by&bz\\c&cw&cx&cy&cz\end{array}}}$

La suma de las entradas de la tabla es el producto de los polinomios. Por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c)(w+x+y+z)&=(aw+ax+ay+az)\\&+(bw+bx+by+bz)\\&+(cw+cx+cy+cz).\end{aligned}}}$

De manera similar, para multiplicar ( ax ² + bx + c )( dx ³ + ex ² + fx + g ) , se escribe la misma tabla:

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}\times &d&e&f&g\\\hline a&ad&ae&af&ag\\b&bd&be&bf&bg\\c&cd&ce&cf&cg\end{array}}}$

y suma a lo largo de las antidiagonales:

${\displaystyle {\begin{aligned}(ax^{2}&+bx+c)(dx^{3}+ex^{2}+fx+g)\\&=adx^{5}+(ae+bd)x^{4}+(af+be+cd)x^{3}+(ag+bf+ce)x^{2}+(bg+cf)x+cg.\end{aligned}}}$

Generalizaciones

La regla FOIL no se puede aplicar directamente a la expansión de productos con más de dos multiplicandos o multiplicandos con más de dos sumandos. Sin embargo, la aplicación de la ley asociativa y la multiplicación recursiva permite desarrollar dichos productos. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=((a+b)+(c+d))((x+y)+(z+w))\\&=(a+b)(x+y)+(a+b)(z+w)\\&+(c+d)(x+y)+(c+d)(z+w)\\&=ax+ay+bx+by+az+aw+bz+bw\\&+cx+cy+dx+dy+cz+cw+dz+dw.\end{aligned}}}$

Los métodos alternativos basados ​​en la distribución prescinden del uso de la regla FOIL, pero pueden ser más fáciles de recordar y aplicar. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b+c+d)(x+y+z+w)&=(a+(b+c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+(b+(c+d))(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +(c+d)(x+y+z+w)\\&=a(x+y+z+w)+b(x+y+z+w)\\&\qquad +c(x+y+z+w)+d(x+y+z+w)\\&=ax+ay+az+aw+bx+by+bz+bw\\&\qquad +cx+cy+cz+cw+dx+dy+dz+dw.\end{aligned}}}$

Véase también

• Teorema del binomio
• Factorización

Referencias

1. "Simplificando con las lecciones del método FOIL" . Consultado el 10 de mayo de 2018 .
2. Betz, William (1929), Álgebra para hoy (vol. 1) , Ginn and Company, pág. 291.
3. WDR (noviembre de 1937), "Revisión de álgebra para hoy: primer año", The Mathematics Teacher , 30 (7), Consejo Nacional para la Enseñanza de las Matemáticas: 348.
4. McCrea, Emma (1 de mayo de 2019). Cómo hacer que cada lección de matemáticas cuente: seis principios para apoyar una enseñanza excelente de las matemáticas (serie Cómo hacer que cada lección cuente). Crown House Publishing Ltd. ISBN 978-1-78583-421-9.
5. Khare, Apoorva; Lachowska, Anna (2015). Bella, simple, exacta, loca: matemáticas en el mundo real. Yale University Press. p. 3. ISBN 978-0-300-19089-2A esto a veces se le llama el método "FOIL": esencialmente, es simplemente la ley distributiva aplicada dos veces..
6. Kirkland, Carla C.; Cleveland, Chan (29 de enero de 2020). Praxis Core para principiantes con exámenes de práctica en línea. John Wiley & Sons. pág. 78. ISBN 978-1-119-62047-1... la operación FOIL inversa te puede llevar en la dirección opuesta desde una expresión a expresiones de dos términos multiplicados entre sí. Es una forma de factorización.

Lectura adicional

• Steege, Ray; Bailey, Kerry (1997). Esquema de teoría y problemas de álgebra intermedia de Schaum . Serie de esquemas de Schaum. Nueva York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-060839-9.