Solución de triángulos

Problema de encontrar longitudes y ángulos desconocidos de un triángulo

La solución de triángulos ( en latín : solutio triangulorum ) es el principal problema trigonométrico que consiste en hallar las características de un triángulo (ángulos y longitudes de los lados), cuando se conocen algunas de ellas. El triángulo puede estar situado en un plano o en una esfera . Las aplicaciones que requieren soluciones de triángulos incluyen la geodesia , la astronomía , la construcción y la navegación .

Resolver triángulos planos

Notación estándar para un triángulo

Un triángulo en forma general tiene seis características principales (ver imagen): tres lineales (longitudes de los lados a, b, c ) y tres angulares ( α, β, γ ). El problema clásico de trigonometría plana consiste en especificar tres de las seis características y determinar las otras tres. Un triángulo puede determinarse de forma única en este sentido cuando se da cualquiera de las siguientes: ^{[1] [2]}

• Tres lados ( SSS )
• Dos lados y el ángulo incluido ( SAS , lado-ángulo-lado)
• Dos lados y un ángulo no incluido entre ellos ( SSA ), si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado.
• Un lado y los dos ángulos adyacentes a él ( ALA )
• Un lado, el ángulo opuesto a él y un ángulo adyacente a él ( AAL ).

Para todos los casos del plano, se debe especificar al menos una de las longitudes de los lados. Si solo se dan los ángulos, no se pueden determinar las longitudes de los lados, porque cualquier triángulo semejante es una solución.

Relaciones trigonométricas

Descripción general de los pasos y herramientas particulares que se utilizan al resolver triángulos planos

El método estándar para resolver el problema es utilizar relaciones fundamentales.

Ley de los cosenos $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \\b^{2}&=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$$

Ley de senos $${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$$

Suma de ángulos

$${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$$

Ley de las tangentes $${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}}.}$$

Existen otras relaciones universales (a veces útiles en la práctica): la ley de las cotangentes y la fórmula de Mollweide .

Notas

1. Para hallar un ángulo desconocido, la ley de los cosenos es más segura que la ley de los senos . La razón es que el valor del seno para el ángulo del triángulo no determina de forma única este ángulo. Por ejemplo, si sen β = 0,5 , el ángulo β puede ser igual a 30° o 150°. El uso de la ley de los cosenos evita este problema: dentro del intervalo de 0° a 180°, el valor del coseno determina inequívocamente su ángulo. Por otro lado, si el ángulo es pequeño (o cercano a 180°), entonces es más robusto numéricamente determinarlo a partir de su seno que de su coseno porque la función arcocoseno tiene una derivada divergente en 1 (o −1).
2. Suponemos que se conoce la posición relativa de las características especificadas. Si no es así, el reflejo especular del triángulo también será una solución. Por ejemplo, las longitudes de tres lados definen de forma única un triángulo o su reflejo.

Se dan tres lados (SSS)

Se dan tres lados

Sean tres lados de longitud a, b, c . Para hallar los ángulos α, β se puede utilizar la ley de los cosenos : ^[3] $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.\end{aligned}}}$$

Entonces el ángulo γ = 180° − α − β .

Algunas fuentes recomiendan encontrar el ángulo β a partir de la ley de los senos, pero (como indica la Nota 1 anterior) existe el riesgo de confundir un valor de ángulo agudo con uno obtuso.

Otro método para calcular los ángulos a partir de lados conocidos es aplicar la ley de las cotangentes .

Área utilizando la fórmula de Heron : donde ${\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Fórmula de Herón sin utilizar el semiperímetro: ${\displaystyle A={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{4}}}$

Se dan dos lados y el ángulo incluido (SAS)

Se dan dos lados y el ángulo incluido

Aquí se conocen las longitudes de los lados a, b y el ángulo γ entre estos lados. El tercer lado se puede determinar a partir de la ley de los cosenos: ^[4] Ahora usamos la ley de los cosenos para encontrar el segundo ángulo: Finalmente, β = 180° − α − γ . $${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$$ $${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$$

Se dan dos lados y un ángulo no incluido (SSA)

Se dan dos lados y un ángulo no incluido

Dos soluciones para el triángulo

Este caso no es solucionable en todos los casos; se garantiza que una solución sea única solo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado. Supongamos que se conocen dos lados b, c y el ángulo β . La ecuación para el ángulo γ se puede deducir de la ley de los senos : ^[5] Denotamos además D = ⁠ $${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$$do/b⁠ sen β (el lado derecho de la ecuación). Hay cuatro casos posibles:

1. Si D > 1 , no existe dicho triángulo porque el lado b no llega a la recta BC . Por la misma razón no existe solución si el ángulo β ≥ 90° y b ≤ c .
2. Si D = 1 , existe una única solución: γ = 90° , es decir, el triángulo es rectángulo .
3. Si D < 1 son posibles dos alternativas.
   1. Si b ≥ c , entonces β ≥ γ (el lado mayor corresponde a un ángulo mayor). Como ningún triángulo puede tener dos ángulos obtusos, γ es un ángulo agudo y la solución γ = arcsin D es única.
   2. Si b < c , el ángulo γ puede ser agudo: γ = arcsin D u obtuso: γ ′ = 180° − γ . La figura de la derecha muestra el punto C , el lado b y el ángulo γ como la primera solución, y el punto C ′ , el lado b ′ y el ángulo γ ′ como la segunda solución.

Una vez obtenido γ , el tercer ángulo α = 180° − β − ​​γ .

El tercer lado se puede encontrar a partir de la ley de los senos: $${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$$

o de la ley de los cosenos: $${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$$

Se dan un lado y dos ángulos adyacentes (ALA)

Se dan un lado y dos ángulos adyacentes

Las características conocidas son el lado c y los ángulos α, β . El tercer ángulo γ = 180° − α − β .

Se pueden calcular dos lados desconocidos a partir de la ley de los senos: ^[6] $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}\\[4pt]b&=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\end{aligned}}}$$

Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dados (AAS)

El procedimiento para resolver un triángulo AAS es el mismo que para un triángulo ASA: primero, encuentre el tercer ángulo usando la propiedad de suma de ángulos de un triángulo, luego encuentre los otros dos lados usando la ley de los senos .

Otras longitudes dadas

En muchos casos, los triángulos se pueden resolver si se dan tres datos, algunos de los cuales son las longitudes de las medianas , alturas o bisectrices de los triángulos . Posamentier y Lehmann ^[7] enumeran los resultados para la cuestión de la resolubilidad utilizando raíces no mayores que las cuadradas (es decir, constructibilidad ) para cada uno de los 95 casos distintos; 63 de ellos son construibles.

Resolver triángulos esféricos

Triángulo esférico

El triángulo esférico general está completamente determinado por tres de sus seis características (3 lados y 3 ángulos). Las longitudes de los lados a, b, c de un triángulo esférico son sus ángulos centrales , medidos en unidades angulares en lugar de unidades lineales. (En una esfera unitaria, el ángulo (en radianes ) y la longitud alrededor de la esfera son numéricamente iguales. En otras esferas, el ángulo (en radianes) es igual a la longitud alrededor de la esfera dividida por el radio).

La geometría esférica difiere de la geometría euclidiana plana , por lo que la solución de triángulos esféricos se construye sobre reglas diferentes. Por ejemplo, la suma de los tres ángulos α + β + γ depende del tamaño del triángulo. Además, los triángulos semejantes no pueden ser desiguales, por lo que el problema de construir un triángulo con tres ángulos especificados tiene una solución única. Las relaciones básicas utilizadas para resolver un problema son similares a las del caso plano: consulte Ley esférica de cosenos y Ley esférica de senos .

Entre otras relaciones que pueden ser útiles están la fórmula de la mitad del lado y las analogías de Napier : ^[8] $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a+\,b)\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )&=\tan {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \ \!\cos {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\cos {\tfrac {1}{2}}(a+b)\\\cot {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\sin {\tfrac {1}{2}}(a\ \!-\,b)&=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b).\end{aligned}}}$$

Se dan tres lados

Se dan tres lados (SSS esférico)

Se conocen: los lados a , b , c (en unidades angulares). Los ángulos del triángulo se calculan utilizando la ley esférica de los cosenos : $${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}},\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}},\\[4pt]\gamma &=\arccos {\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}.\end{aligned}}}$$

Se dan dos lados y el ángulo incluido

Se dan dos lados y el ángulo incluido (SAS esférico)

Se conocen: los lados a, b y el ángulo γ que forman. El lado c se puede hallar a partir de la ley esférica de los cosenos : $${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$$

Los ángulos α, β se pueden calcular como se indicó anteriormente o utilizando las analogías de Napier:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b+a)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(b-a)}},\\[4pt]\beta &=\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a+b)+\cot {\frac {1}{2}}\gamma \,\sin(a-b)}}.\end{aligned}}}$$

Este problema surge en el problema de navegación de encontrar el círculo máximo entre dos puntos de la Tierra especificados por su latitud y longitud; en esta aplicación, es importante utilizar fórmulas que no sean susceptibles a errores de redondeo. Para este propósito, se pueden utilizar las siguientes fórmulas (que pueden derivarse mediante álgebra vectorial): donde los signos de los numeradores y denominadores en estas expresiones deben usarse para determinar el cuadrante de la arcotangente. $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\[4pt]\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\[4pt]\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$$

Se dan dos lados y un ángulo no incluido

Se dan dos lados y un ángulo no incluido (SSA esférico)

Este problema no es solucionable en todos los casos; se garantiza que una solución sea única solo si la longitud del lado adyacente al ángulo es más corta que la longitud del otro lado. Conocidos: los lados b, c y el ángulo β no entre ellos. Existe una solución si se cumple la siguiente condición: El ángulo γ se puede encontrar a partir de la ley esférica de los senos : En cuanto al caso del plano, si b < c entonces hay dos soluciones: γ y 180° - γ . $${\displaystyle b>\arcsin \!{\bigl (}\sin c\,\sin \beta {\bigr )}.}$$ $${\displaystyle \gamma =\arcsin {\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}.}$$

Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(b-c)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )}{\sin {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(b+c)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(b-c)}}\right].\end{aligned}}}$$

Se dan un lado y dos ángulos adyacentes

Se dan un lado y dos ángulos adyacentes (ALA esférico)

Se conocen: el lado c y los ángulos α, β . Primero determinamos el ángulo γ utilizando la ley esférica de los cosenos : $${\displaystyle \gamma =\arccos \!{\bigl (}\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta {\bigr )}.\,}$$

Podemos encontrar los dos lados desconocidos a partir de la ley esférica de los cosenos (usando el ángulo calculado γ ):

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }},\end{aligned}}}$$

o utilizando las analogías de Napier: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan {\frac {2\sin \alpha }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta +\alpha )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\beta -\alpha )}},\\[4pt]b&=\arctan {\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}c\,\sin(\alpha -\beta )}}.\end{aligned}}}$$

Un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto dado

Se dan un lado, un ángulo adyacente y el ángulo opuesto (AAS esférico)

Se conocen: el lado a y los ángulos α, β . El lado b se puede hallar a partir de la ley esférica de senos : $${\displaystyle b=\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Si el ángulo del lado a es agudo y α > β , existe otra solución: $${\displaystyle b=\pi -\arcsin {\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}.}$$

Podemos encontrar otras características utilizando las analogías de Napier: $${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(a-b)\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\sin {\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\ {\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(a+b)}{\sin {\frac {1}{2}}(a-b)}}\right].\end{aligned}}}$$

Se dan tres ángulos

Se dan tres ángulos (AAA esférico)

Se conocen los ángulos α, β, γ . De la ley esférica de los cosenos se infiere: $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arccos {\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }},\\[4pt]b&=\arccos {\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }},\\[4pt]c&=\arccos {\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}.\end{aligned}}}$$

Resolver triángulos esféricos rectángulos

Los algoritmos anteriores se vuelven mucho más simples si uno de los ángulos de un triángulo (por ejemplo, el ángulo C ) es el ángulo recto. Un triángulo esférico de este tipo está completamente definido por sus dos elementos, y los otros tres se pueden calcular utilizando el pentágono de Napier o las siguientes relaciones.

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$(de la ley esférica de los senos )

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$(de la ley esférica de los cosenos )

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$(también de la ley esférica de los cosenos)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

Algunas aplicaciones

Triangulación

Medición de distancias por triangulación

Si se desea medir la distancia d desde la costa hasta un barco alejado mediante triangulación, se marcan en la costa dos puntos con una distancia l conocida entre ellos (la línea de base). Sean α, β los ángulos entre la línea de base y la dirección hacia el barco.

A partir de las fórmulas anteriores (caso ASA, asumiendo geometría plana) se puede calcular la distancia como la altura del triángulo : $${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$$

Para el caso esférico, primero se puede calcular la longitud del lado desde el punto en α hasta el barco (es decir, el lado opuesto a β ) a través de la fórmula ASA e insertar esto en la fórmula AAS para el subtriángulo rectángulo que contiene el ángulo α y los lados b y d : (La fórmula plana es en realidad el primer término de la expansión de Taylor de d de la solución esférica en potencias de ℓ ). $${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha +\beta )+\tan {\frac {1}{2}}\ell \,\sin(\alpha -\beta )}},}$$ $${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$$

Este método se utiliza en cabotaje . Los ángulos α, β se definen mediante la observación de puntos de referencia conocidos desde el barco.

Cómo medir la altura de una montaña

Como otro ejemplo, si se desea medir la altura h de una montaña o de un edificio alto, se especifican los ángulos α, β desde dos puntos del suelo hasta la cima. Sea ℓ la distancia entre estos puntos. De las mismas fórmulas del caso ASA obtenemos: $${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$$

La distancia entre dos puntos del globo

Para calcular la distancia entre dos puntos del globo,

Punto A: latitud λ _A , longitud L _A , y

Punto B: latitud λ _B , longitud L _B

Consideremos el triángulo esférico ABC , donde C es el Polo Norte. Algunas características son: Si se dan dos lados y el ángulo que lo incluye, obtenemos de las fórmulas Aquí R es el radio de la Tierra . $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=90^{\circ }-\lambda _{B},\\b&=90^{\circ }-\lambda _{A},\\\gamma &=L_{A}-L_{B}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\overline {AB}}=R\arccos \!{\Bigr [}\sin \lambda _{A}\sin \lambda _{B}+\cos \lambda _{A}\cos \lambda _{B}\cos(L_{A}-L_{B}){\Bigr ]}.}$$

Véase también

• Congruencia
• El problema de Hansen
• Teorema de la bisagra
• Esfera de Lénárt
• Problema de Snellius-Pothenot

Referencias

1. "Resolver triángulos". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 4 de abril de 2012 .
2. "Resolución de triángulos". web.horacemann.org. Archivado desde el original el 7 de enero de 2014. Consultado el 4 de abril de 2012 .
3. "Resolver triángulos LLL". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
4. "Resolver triángulos SAS". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
5. "Resolver triángulos SSA". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 9 de marzo de 2013 .
6. "Resolución de triángulos ASA". Las matemáticas son divertidas . Consultado el 13 de enero de 2015 .
7. Alfred S. Posamentier e Ingmar Lehmann, Los secretos de los triángulos , Prometheus Books, 2012: págs. 201–203.
8. Analogías de Napier en MathWorld

• Euclides (1956) [1925]. Sir Thomas Heath (ed.). Los trece libros de los elementos. Volumen I. Traducido con introducción y comentario. Dover. ISBN 0-486-60088-2.

Enlaces externos

• Delicias trigonométricas, de Eli Maor , Princeton University Press, 1998. Versión de libro electrónico, en formato PDF, texto completo presentado.
• Trigonometría de Alfred Monroe Kenyon y Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. En imágenes, texto completo presentado. Libro de Google.
• Trigonometría esférica en Math World.
• Introducción a la trigonometría esférica. Incluye un análisis del círculo de Napier y las reglas de Napier.
• Trigonometría esférica: para uso de universidades y escuelas por I. Todhunter, MA, FRS Monografía histórica de matemáticas publicada por la biblioteca de la Universidad de Cornell.
• Triangulator – Solucionador de triángulos. Resuelve cualquier problema de triángulo plano con el mínimo de datos de entrada. Dibujo del triángulo resuelto.
• TriSph – Software libre para resolver triángulos esféricos, configurable para diferentes aplicaciones prácticas y configurado para gnomónico.
• Calculadora de triángulos esféricos : resuelve triángulos esféricos.
• TrianCal – Solucionador de triángulos por Jesús S.