Problema de Snellius-Pothenot

Problema de trigonometría

En trigonometría , el problema de Snellius-Pothenot es un problema descrito por primera vez en el contexto de la topografía plana . Dados tres puntos conocidos A, B, C , un observador en un punto desconocido P observa que el segmento de línea AC subtiende un ángulo α y el segmento CB subtiende un ángulo β ; el problema consiste en determinar la posición del punto P. (Véase la figura; el punto denotado C está entre A y B visto desde P ).

Dado que implica la observación de puntos conocidos desde un punto desconocido, el problema es un ejemplo de resección . Históricamente, fue estudiado por primera vez por Snellius , quien encontró una solución alrededor de 1615.

Formulación de ecuaciones

Primera ecuación

Denotando los ángulos (desconocidos) ∠ CAP como x y ∠ CBP como y se obtiene:

$${\displaystyle x+y=2\pi -\alpha -\beta -C}$$

utilizando la fórmula de suma de ángulos para el cuadrilátero PACB . La variable C representa el ángulo interno (conocido) en este cuadrilátero en el punto C . (Tenga en cuenta que en el caso en que los puntos C y P estén en el mismo lado de la línea AB , el ángulo ∠ C será mayor que π ).

Segunda ecuación

Aplicando la ley de senos en los triángulos △ PAC y △ PBC , podemos expresar PC de dos formas diferentes:

$${\displaystyle {\overline {PC}}={\frac {{\overline {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}={\frac {{\overline {BC}}\sin y}{\sin \beta }}.}$$

Un truco útil en este punto es definir un ángulo auxiliar φ tal que

$${\displaystyle \tan \phi ={\frac {{\rm {BC}}\sin \alpha }{{\rm {AC}}\sin \beta }}.}$$

(Una nota menor: uno debe preocuparse por la división por cero, pero considere que el problema es simétrico, por lo que si uno de los dos ángulos dados es cero, uno puede, si es necesario, renombrar ese ángulo α y llamar al otro ángulo (distinto de cero) β , invirtiendo también los roles de A y B. Esto será suficiente para garantizar que la relación anterior esté bien definida. Un enfoque alternativo al problema del ángulo cero se da en el algoritmo a continuación).

Con esta sustitución la ecuación se convierte en

$${\displaystyle {\frac {\sin x}{\sin y}}=\tan \phi .}$$

Ahora se pueden utilizar dos identidades trigonométricas conocidas, a saber:

$${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\pi }{4}}-\phi \right)={\frac {1-\tan \phi }{\tan \phi +1}}\ ,\qquad {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(x-y)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(x+y)}}={\frac {\sin x-\sin y}{\sin x+\sin y}}\ ,}$$

para poner esto en la forma de la segunda ecuación;

$${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(x-y)=\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +C)\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}-\phi \right).}$$

Ahora , estas dos ecuaciones con dos incógnitas deben resolverse. Una vez que se conocen x e y , los distintos triángulos pueden resolverse directamente para determinar la posición de P. ^[1] El procedimiento detallado se muestra a continuación.

Algoritmo de solución

Dadas dos longitudes AC , BC y tres ángulos α, β, C , la solución procede de la siguiente manera.

• Calcular dónde es una función informática , también llamada arcotangente de dos argumentos, que devuelve el arcotangente del cociente de los dos valores dados. Tenga en cuenta que en Microsoft Excel los dos argumentos están invertidos, por lo que la sintaxis adecuada sería . La función maneja correctamente el caso en el que uno de los dos argumentos es cero. ${\displaystyle \phi ={\mathsf {atan2}}\left({\overline {BC}}\sin \alpha ,\ {\overline {AC}}\sin \beta \right),}$atan2= atan2(AC*\sin(beta), BC*\sin(alpha))atan2
• calcular ${\displaystyle K=2\pi -\alpha -\beta -C.}$
• calcular ${\displaystyle W=2\cdot \arctan \left[\tan({\tfrac {\pi }{4}}-\phi )\,\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +C)\right].}$
• encontrar ${\displaystyle x={\frac {K+W}{2}},\ y={\frac {K-W}{2}}.}$
• encontrar ${\displaystyle {\overline {PC}}={\begin{cases}{\dfrac {{\overline {BC}}\sin y}{\sin \beta }}&{\text{if }}|\sin \beta |>|\sin \alpha |,\\[4pt]{\dfrac {{\overline {AC}}\sin x}{\sin \alpha }}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$
• Encuentra (Esto viene de la ley de los cosenos ). ${\displaystyle {\overline {PA}}={\sqrt {{\overline {AC}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}-2\cdot {\overline {AC}}\cdot {\overline {PC}}\cdot \cos(\pi -\alpha -x)}}.}$
• encontrar ${\displaystyle {\overline {PB}}={\sqrt {{\overline {BC}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}-2\cdot {\overline {BC}}\cdot {\overline {PC}}\cdot \cos(\pi -\beta -y)}}.}$

Si se conocen las coordenadas de y en algún sistema de coordenadas cartesianas apropiado, entonces también se pueden encontrar las coordenadas de P. ${\displaystyle A:x_{A},y_{A}}$ ${\displaystyle C:x_{C},y_{C}}$

Solución geométrica (gráfica)

Por el teorema del ángulo inscrito, el lugar geométrico de los puntos desde los cuales AC subtiende un ángulo α es un círculo que tiene su centro en la línea media de AC ; desde el centro O de este círculo, AC subtiende un ángulo 2 α . De manera similar, el lugar geométrico de los puntos desde los cuales CB subtiende un ángulo β es otro círculo. El punto buscado P está en la intersección de estos dos lugares geométricos.

Por tanto, sobre un mapa o carta náutica que muestre los puntos A, B, C , se puede utilizar la siguiente construcción gráfica:

• Traza el segmento AC , el punto medio M y la línea media, que corta a AC perpendicularmente en M . Sobre esta línea encuentra el punto O tal que Traza la circunferencia con centro en O que pasa por A y C . ${\displaystyle {\overline {MO}}={\tfrac {\overline {AC}}{2\tan \alpha }}.}$
• Repita la misma construcción con los puntos B, C y el ángulo β .
• Marque P en la intersección de los dos círculos (los dos círculos se intersecan en dos puntos; un punto de intersección es C y el otro es el punto deseado P ).

Este método de solución a veces se denomina método de Cassini .

Enfoque de trigonometría racional

La siguiente solución se basa en un artículo de NJ Wildberger. ^[2] Tiene la ventaja de que es casi puramente algebraica. El único lugar donde se utiliza la trigonometría es para convertir los ángulos en extensiones . Solo se requiere una raíz cuadrada .

• definir lo siguiente: $${\displaystyle {\begin{aligned}&s(x)=\sin ^{2}x\\[4pt]&A(x,y,z)=(x+y+z)^{2}-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[2pt]&{\begin{alignedat}{5}r_{1}&=s(\beta )&\qquad Q_{1}&={\overline {BC}}^{2}\\r_{2}&=s(\alpha )&Q_{2}&={\overline {AC}}^{2}\\r_{3}&=s(\alpha +\beta )&Q_{3}&={\overline {AB}}^{2}\end{alignedat}}\end{aligned}}}$$
• Ahora vamos: $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {r_{2}Q_{3}}{r_{3}}}\qquad R_{2}={\frac {r_{1}Q_{3}}{r_{3}}}\\[4pt]C_{0}&={\frac {(Q_{1}+Q_{2}+Q_{3})(r_{1}+r_{2}+r_{3})-2(Q_{1}r_{1}+Q_{2}r_{2}+Q_{3}r_{3})}{2r_{3}}}\\[4pt]D_{0}&={\frac {r_{1}r_{2}A(Q_{1},Q_{2},Q_{3})}{r_{3}}}\end{aligned}}}$$
• La siguiente ecuación da dos valores posibles para R ₃ : $${\displaystyle (R_{3}-C_{0})^{2}=D_{0}}$$
• Eligiendo el mayor de estos valores, sea: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=1-{\frac {(R_{1}+R_{3}-Q_{2})^{2}}{4R_{1}R_{3}}}\\[4pt]v_{2}&=1-{\frac {(R_{2}+R_{3}-Q_{1})^{2}}{4R_{2}R_{3}}}\end{aligned}}}$$

Ventura et al. ^[3] resuelven el problema de Snellius-Pothenot planar y tridimensional mediante el álgebra geométrica vectorial y el álgebra geométrica conforme. Los autores también caracterizan la sensibilidad de las soluciones a los errores de medición.

El caso indeterminado

Cuando el punto P se encuentra en el mismo círculo que A, B, C , el problema tiene un número infinito de soluciones; la razón es que desde cualquier otro punto P' situado en el arco APB de este círculo el observador ve los mismos ángulos α y β que desde P ( teorema del ángulo inscrito ). Por lo tanto, la solución en este caso no está unívocamente determinada.

El círculo que pasa por ABC se conoce como "círculo de peligro" y se deben evitar las observaciones realizadas en este círculo (o muy cerca de él). Es útil trazar este círculo en un mapa antes de realizar las observaciones.

Un teorema sobre cuadriláteros cíclicos es útil para detectar la situación indeterminada. El cuadrilátero APBC es cíclico sólo si un par de ángulos opuestos (como el ángulo en P y el ángulo en C ) son suplementarios, es decir, sólo si . Si se observa esta condición, los cálculos de la computadora/hoja de cálculo deben detenerse y debe devolverse un mensaje de error ("caso indeterminado"). ${\displaystyle \alpha +\beta +C=k\pi ,(k=1,2,\cdots )}$

Ejemplos resueltos

(Forma adaptada de Bowser, ^[4] ejercicio 140, página 203). A, B, C son tres objetos tales que AC  = 435 ( yardas ), CB  = 320 y ∠ C  = 255,8 grados. Desde una estación P se observa que ∠ APC  = 30 grados y ∠ CPB  = 15 grados. Halla las distancias de P desde A, B, C . (Observa que en este caso los puntos C y P están en el mismo lado de la línea AB , una configuración diferente de la que se muestra en la figura).

Respuesta: PA  = 790, PB  = 777, PC  = 502.

Un caso de prueba un poco más desafiante para un programa de computadora utiliza los mismos datos pero esta vez con ∠ CPB  = 0. El programa debería devolver las respuestas 843, 1157 y 837.

Controversia sobre el nombre

Placa en la casa de Snellius en Leiden

La autoridad británica en geodesia, George Tyrrell McCaw (1870-1942), escribió que el término adecuado en inglés era problema de Snellius , mientras que Snellius-Pothenot era el uso en Europa continental. ^[5]

McCaw pensó que el nombre de Laurent Pothenot (1650-1732) no merecía ser incluido ya que no había hecho ninguna contribución original, sino que simplemente repitió a Snellius 75 años después.

Véase también

• Solución de triángulos
• Triangulación (topografía)

Notas

1. Bowser: Un tratado
2. Norman J. Wildberger (2010). "Geometría griega, trigonometría racional y el problema topográfico de Snellius-Pothenot" (PDF) . Chamchuri Journal of Mathematics . 2 (2): 1–14.
3. Ventura, Jorge; Martinez, Fernando; Manzano-Agugliaro, Francisco; Návrat, Aleš; Hrdina, Jaroslav; Eid, Ahmad H.; Montoya, Francisco G. (2024-05-27). "Un nuevo método geométrico basado en álgebra geométrica conforme aplicado al problema de resección en dos y tres dimensiones". Journal of Geodesy . 98 (6): 47. doi : 10.1007/s00190-024-01854-1 . ISSN  1432-1394.
4. Bowser: Un tratado
5. McCaw, GT (1918). "Resección en la encuesta". The Geographical Journal . 52 (2): 105–126. doi :10.2307/1779558. JSTOR  1779558.

• Gerhard Heindl: Análisis de la fórmula de Willerding para resolver el problema de resección de tres puntos planar , Journal of Applied Geodesy, tomo 13, número 1, páginas 27-31, ISSN (en línea) 1862-9024, ISSN (impreso) 1862-9016, DOI: [1]

Referencias

• Edward A. Bowser: Tratado sobre trigonometría plana y esférica , Washington DC, Heath & Co., 1892, página 188 Google books