En el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales , el principio de Harnack o teorema de Harnack es un corolario de la desigualdad de Harnack que trata de la convergencia de secuencias de funciones armónicas .
Dada una secuencia de funciones armónicas u 1 , u 2 , ... en un subconjunto conexo abierto G del espacio euclidiano R n , que son puntuales monótonamente no decrecientes en el sentido de que
para cada punto x de G , entonces el límite
existe automáticamente en la recta de números reales extendida para cada x . El teorema de Harnack dice que el límite es infinito en cada punto de G o finito en cada punto de G. En este último caso, la convergencia es uniforme en conjuntos compactos y el límite es una función armónica en G. [1]
El teorema es un corolario de la desigualdad de Harnack. Si u n ( y ) es una secuencia de Cauchy para cualquier valor particular de y , entonces la desigualdad de Harnack aplicada a la función armónica u m − u n implica, para un conjunto compacto arbitrario D que contiene y , que sup D | tu metro - tu norte | es arbitrariamente pequeño para m y n suficientemente grandes . Ésta es exactamente la definición de convergencia uniforme en conjuntos compactos. En palabras, la desigualdad de Harnack es una herramienta que propaga directamente la propiedad de Cauchy de una secuencia de funciones armónicas en un solo punto a la propiedad de Cauchy en todos los puntos.
Habiendo establecido una convergencia uniforme en conjuntos compactos, la armonía del límite es un corolario inmediato del hecho de que la propiedad del valor medio (conservada automáticamente por la convergencia uniforme) caracteriza completamente las funciones armónicas entre funciones continuas. [2]
La prueba de convergencia uniforme en conjuntos compactos es igualmente válida para cualquier ecuación diferencial parcial elíptica lineal de segundo orden , siempre que sea lineal de modo que u m − u n resuelva la misma ecuación. La única diferencia es que se debe utilizar la desigualdad de Harnack más general que se cumple para soluciones de PDE elíptica de segundo orden, en lugar de usarla solo para funciones armónicas. Habiendo establecido una convergencia uniforme en conjuntos compactos, la propiedad del valor medio no está disponible en este entorno más general, por lo que la prueba de convergencia a una nueva solución debe utilizar otras herramientas, como las estimaciones de Schauder .
Fuentes
