Lema de Gauss (polinomios)

El máximo común divisor de los coeficientes es una función multiplicativa.

En álgebra , el lema de Gauss , ^[1] que lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , es un enunciado ^{[nota 1]} sobre polinomios sobre números enteros o, más generalmente, sobre un dominio de factorización único (es decir, un anillo que tiene una propiedad de factorización única similar al teorema fundamental de la aritmética ). El lema de Gauss subyace a toda la teoría de factorización y máximos comunes divisores de dichos polinomios .

El lema de Gauss afirma que el producto de dos polinomios primitivos es primitivo (un polinomio con coeficientes enteros es primitivo si tiene 1 como máximo común divisor de sus coeficientes).

Un corolario del lema de Gauss, a veces también llamado lema de Gauss , es que un polinomio primitivo es irreducible sobre los números enteros si y sólo si es irreducible sobre los números racionales . De manera más general, un polinomio primitivo tiene la misma factorización completa sobre números enteros y números racionales. En el caso de coeficientes en un dominio de factorización único R , se debe sustituir "números racionales" por " campo de fracciones de R ". Esto implica que, si R es un campo , el anillo de números enteros o un dominio de factorización único, entonces cada anillo polinomial (en uno o varios indeterminados) sobre R es un dominio de factorización único. Otra consecuencia es que la factorización y el cálculo del máximo común divisor de polinomios con números enteros o coeficientes racionales pueden reducirse a cálculos similares con números enteros y polinomios primitivos. Esto se utiliza sistemáticamente (explícita o implícitamente) en todos los algoritmos implementados (consulte Máximo común divisor polinómico y Factorización de polinomios ).

El lema de Gauss y todas sus consecuencias que no implican la existencia de una factorización completa siguen siendo válidas en cualquier dominio MCD (un dominio integral sobre el cual existen máximos comunes divisores). En particular, un anillo polinómico sobre un dominio GCD también es un dominio GCD. Si se llama primitivo a un polinomio tal que los coeficientes generan la unidad ideal , el lema de Gauss es verdadero en todo anillo conmutativo . ^[2] Sin embargo, se debe tener cierto cuidado al utilizar esta definición de primitivo , ya que, sobre un dominio de factorización único que no es un dominio ideal principal , hay polinomios que son primitivos en el sentido anterior y no primitivos en este nuevo sentido.

El lema sobre los números enteros.

Si es un polinomio con coeficientes enteros, entonces se llama primitivo si el máximo común divisor de todos los coeficientes es 1; en otras palabras, ningún número primo divide a todos los coeficientes. ${\displaystyle F(X)=a_{0}+a_{1}X+\dots +a_{n}X^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$

Lema de Gauss (primitividad)  :  si P ( X ) y Q ( X ) son polinomios primitivos sobre números enteros, su producto P ( X ) Q ( X ) también es primitivo.

Prueba: Claramente, el producto f ( x ) g ( x ) de dos polinomios primitivos tiene coeficientes enteros. Por tanto, si no es primitivo, debe haber un primo p que sea divisor común de todos sus coeficientes. Pero p no puede dividir todos los coeficientes de f ( x ) o g ( x ) (de lo contrario, no serían primitivos). Sea a _r x ^r el primer término de f ( x ) no divisible por p y sea b _s x ^s el primer término de g ( x ) no divisible por p . Consideremos ahora el término x ^{r + s} en el producto, cuyo coeficiente es

${\displaystyle \cdots +a_{r+2}b_{s-2}+a_{r+1}b_{s-1}+a_{r}b_{s}+a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\cdots .}$

El término a _r b _s no es divisible por p (porque p es primo), sin embargo, todos los restantes lo son, por lo que la suma completa no puede ser divisible por p . Se supone que todos los coeficientes del producto son divisibles por p , lo que lleva a una contradicción. Por tanto, los coeficientes del producto no pueden tener divisor común y, por tanto, son primitivos. ${\displaystyle \square }$

Lema de Gauss (irreducibilidad)  :  un polinomio no constante en Z [ X ] es irreducible en Z [ X ] si y sólo si es irreducible en Q [ X ] y primitivo en Z [ X ].

La prueba se da a continuación para el caso más general. Tenga en cuenta que un elemento irreducible de Z (un número primo) sigue siendo irreducible cuando se ve como un polinomio constante en Z [ X ]; esto explica la necesidad de "no constante" en la declaración.

Declaraciones para dominios de factorización únicos

El lema de Gauss se aplica de manera más general a dominios de factorización únicos arbitrarios . Allí el contenido c ( P ) de un polinomio P se puede definir como el máximo común divisor de los coeficientes de P (al igual que el mcd, el contenido es en realidad un conjunto de elementos asociados ). Entonces se dice que un polinomio P con coeficientes en una UFD R es primitivo si los únicos elementos de R que dividen todos los coeficientes de P a la vez son los elementos invertibles de R ; es decir, el mcd de los coeficientes es uno.

Declaración de primitividad: si R es un UFD, entonces el conjunto de polinomios primitivos en R [ X ] está cerrado bajo multiplicación. De manera más general, el contenido de un producto de polinomios es el producto de sus contenidos individuales. ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle c(f)c(g)}$

Declaración de irreductibilidad: Sea R un dominio de factorización único y F su campo de fracciones . Un polinomio no constante en es irreducible en si y sólo si es irreducible en y primitivo en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle R[x]}$

(Para ver las pruebas, consulte la versión #General a continuación).

Sea un dominio de factorización único con campo de fracciones . Si es un polinomio terminado , entonces para algunos in tiene coeficientes in y, por lo tanto, factorizando el mcd de los coeficientes, podemos escribir para algún polinomio primitivo . Como se puede comprobar, este polinomio es único hasta la multiplicación por una unidad y se llama parte primitiva (o representante primitivo ) de y se denota por . El procedimiento es compatible con el producto: . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle df=qf'}$ ${\displaystyle f'\in R[x]}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (fg)=\operatorname {pp} (f)\operatorname {pp} (g)}$

La construcción se puede utilizar para mostrar la declaración:

• Un anillo polinomial sobre una UFD es una UFD.

En efecto, por inducción , basta con demostrar que es una UFD cuando lo es. Sea un polinomio distinto de cero. Ahora bien, es un dominio de factorización único (ya que es un dominio ideal principal) y, por lo tanto, como polinomio en , se puede factorizar como: ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in R[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=g_{1}g_{2}\dots g_{r}}$

donde son polinomios irreducibles de . Ahora, escribimos para el mcd de los coeficientes de (y es la parte primitiva) y luego: ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f=cf'}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

${\displaystyle f=cf'=c\operatorname {pp} (g_{1})\operatorname {pp} (g_{2})\cdots \operatorname {pp} (g_{r}).}$

Ahora, es un producto de elementos primos de (ya que es un UFD) y un elemento primo de es un elemento primo de , al igual que un dominio integral. Por tanto, admite una factorización prima (o una factorización única en irreducibles). A continuación, observe que es una factorización única en elementos irreducibles de , ya que (1) cada uno es irreducible según la declaración de irreducibilidad y (2) es único ya que la factorización de también puede verse como una factorización en y la factorización allí es única. Dado que y están determinados de forma única por hasta elementos unitarios, la factorización anterior de es una factorización única en elementos irreducibles. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle R[x]/(p)\cong R/(p)[x]}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'=\operatorname {pp} (g_{1})\cdots \operatorname {pp} (g_{r})}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle \operatorname {pp} (g_{i})}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \square }$

La condición de que " R es un dominio de factorización único" no es superflua porque implica que cada elemento irreducible de este anillo es también un elemento primo , lo que a su vez implica que cada elemento distinto de cero de R tiene como máximo una factorización en un producto. de elementos irreductibles y una unidad hasta el orden y relación de asociación. En un anillo donde la factorización no es única, digamos pa = qb con p y q elementos irreducibles que no dividen a ninguno de los factores del otro lado, el producto ( p + qX )( a + qX ) = pa + ( p + a ) qX + q ² X ² = q ( b + ( p + a ) X + qX ² ) muestra el fracaso del enunciado de primitividad. Como ejemplo concreto, se puede tomar R = Z [ i √5] , p = 1 + i √5 , a = 1 − i √5 , q = 2 , b = 3 . En este ejemplo, el polinomio 3 + 2 X + 2 X ² (obtenido dividiendo el lado derecho por q = 2 ) proporciona un ejemplo del fracaso del enunciado de irreducibilidad (es irreducible sobre R , pero reducible sobre su cuerpo de fracciones Q [ yo √5] ). Otro ejemplo bien conocido es el polinomio X ² − X − 1 , cuyas raíces son la proporción áurea φ = (1 + √5)/2 y su conjugado (1 − √5)/2 mostrando que es reducible en el campo Q [√5] , aunque es irreducible sobre el no UFD Z [√5] que tiene Q [√5] como campo de fracciones. En el último ejemplo, el anillo se puede convertir en un UFD tomando su cierre integral Z [φ] en Q [√5] (el anillo de los enteros de Dirichlet), sobre el cual X ² − X− 1 se vuelve reducible, pero en el ejemplo anterior R ya está integralmente cerrado.

Versión general

Sea un anillo conmutativo. Si es un polinomio en , entonces escribimos para el ideal de generado por todos los coeficientes de ; se llama contenido de . Tenga en cuenta que para cada uno en . La siguiente proposición establece una propiedad más sustancial. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (af)=a\operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle R}$

Proposición ^[3]  —  Para cada par de polinomios en , ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$

donde denota el radical de un ideal . Además, si es un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización único), entonces ${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (fg))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f))\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (g))}$

donde denota el ideal principal mínimo único que contiene un ideal generado finitamente . ^{[nota 2]} ${\displaystyle \operatorname {gcd} (I)}$ ${\displaystyle I}$

Un polinomio se dice que es primitivo si es la unidad ideal . ^[4] Cuando (o más generalmente cuando es un dominio de Bézout ), esto concuerda con la definición habitual de un polinomio primitivo. (Pero si es solo una UFD, esta definición es inconsistente con la definición de primitividad en #Statements para dominios de factorización únicos). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle (1)}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Corolario ^[2]  —  Dos polinomios son primitivos si y sólo si el producto es primitivo. ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle fg}$

Prueba: Esto es fácil usando el hecho ^[5] que implica ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(1)}$ ${\displaystyle I=(1).}$ ${\displaystyle \square }$

Corolario ^[6]  —  Supongamos que es un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización único) con el campo de fracciones . Entonces un polinomio no constante in es irreducible si y sólo si es irreducible in y el mcd de los coeficientes de es 1. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f}$

Prueba: ( ) Primero observe que el mcd de los coeficientes de es 1 ya que, de lo contrario, podemos factorizar algún elemento de los coeficientes de para escribir , contradiciendo la irreductibilidad de . A continuación, supongamos algunos polinomios no constantes en . Entonces, para algunos , el polinomio tiene coeficientes en y entonces, al factorizar el mcd de los coeficientes, escribimos . Haz lo mismo y podremos escribir para algunos . Ahora, dejemos por algunos . Entonces . De esto, usando la proposición, obtenemos: ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=cf'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=gh}$ ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle d\in R}$ ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle dg=qg'}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f=cg'h'}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle c=a/b}$ ${\displaystyle a,b\in R}$ ${\displaystyle bf=ag'h'}$

${\displaystyle (b)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (bf))=(a)}$.

Es decir, divide . Así, y entonces la factorización constituye una contradicción a la irreductibilidad de . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c\in R}$ ${\displaystyle f=cg'h'}$ ${\displaystyle f}$

( ) Si es irreducible sobre , entonces o es irreducible sobre o contiene un polinomio constante como factor; la segunda posibilidad queda descartada por el supuesto. ${\displaystyle \Leftarrow }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \square }$

Prueba de la proposición: Claramente, . Si es un ideal primo que contiene , entonces módulo . Dado que es un anillo polinómico sobre un dominio integral y, por tanto, es un dominio integral, esto implica o módulo . Por lo tanto, o está contenido en . Dado que es la intersección de todos los ideales primos que los contienen y la elección de ellos fue arbitraria, . ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)\subset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$ ${\displaystyle fg\equiv 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle f\equiv 0}$ ${\displaystyle g\equiv 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (fg)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)\subset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}}$

Ahora demostramos la parte "más". Factorizando los mcd de los coeficientes, podemos escribir y donde los mcd de los coeficientes de son ambos 1. Claramente, es suficiente probar la afirmación cuando se reemplazan por ; por lo tanto, asumimos que los mcd de los coeficientes de son ambos 1. El resto de la prueba es fácil y transparente si es un dominio de factorización único; por lo tanto, damos aquí la prueba en ese caso (y vea ^{[nota 3]} para la prueba para el caso MCD). Si , entonces no hay nada que demostrar. Entonces, asuma lo contrario; entonces hay un elemento no unitario que divide los coeficientes de . Al factorizar ese elemento en un producto de elementos primos, podemos considerar que ese elemento es un elemento primo . Ahora tenemos: ${\displaystyle f=af'}$ ${\displaystyle g=bg'}$ ${\displaystyle f',g'}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle f',g'}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gcd(\operatorname {cont} (fg))=(1)}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle (\pi )={\sqrt {(\pi )}}\supset {\sqrt {\operatorname {cont} (fg)}}\supset \operatorname {cont} (f)\operatorname {cont} (g)}$.

Por tanto, contiene o ; contradiciendo los mcd de los coeficientes de son ambos 1. ${\displaystyle (\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (g)}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \square }$

• Observación : sobre un dominio MCD (por ejemplo, un dominio de factorización único), el mcd de todos los coeficientes de un polinomio , único hasta los elementos unitarios, también se denomina contenido de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Aplicaciones

Del lema de Gauss se deduce que para cada dominio de factorización único , el anillo polinómico también es un dominio de factorización único (consulte #Declaraciones para dominios de factorización únicos). El lema de Gauss también puede utilizarse para mostrar el criterio de irreductibilidad de Eisenstein . Finalmente, se puede utilizar para demostrar que los polinomios ciclotómicos (unidades unitarias con coeficientes enteros) son irreducibles. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$

El lema de Gauss implica la siguiente afirmación:

• Si hay un polinomio mónico en una variable con coeficientes en un dominio de factorización único (o más generalmente un dominio MCD), entonces una raíz de eso está en el campo de fracciones de está en . ^{[nota 4]} ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Si , entonces dice que una raíz racional de un polinomio mónico sobre números enteros es un número entero (cf. el teorema de la raíz racional ). Para ver el enunciado, sea una raíz de in y supongamos que son primos relativos . En podemos escribir con para algunos . Entonces ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle f=(x-a/b)g}$ ${\displaystyle cg\in R[x]}$ ${\displaystyle c\in R}$

${\displaystyle cbf=(bx-a)cg}$

es una factorización en . Pero es primitivo (en el sentido UFD) y por lo tanto divide los coeficientes de por el lema de Gauss, y así ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle bx-a}$ ${\displaystyle cb}$ ${\displaystyle cg}$

${\displaystyle f=(bx-a)h}$

dentro . _ Como es mónico, esto sólo es posible cuando es una unidad. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b}$

Un argumento similar muestra:

• Sea un dominio MCD con el campo de fracciones y . Si para algún polinomio que es primitivo en el sentido UFD y , entonces . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f\in R[x]}$ ${\displaystyle f=gh}$ ${\displaystyle g\in R[x]}$ ${\displaystyle h\in F[x]}$ ${\displaystyle h\in R[x]}$

El enunciado de irreductibilidad también implica que el polinomio mínimo sobre los números racionales de un entero algebraico tiene coeficientes enteros.

Notas

1. Este teorema se llama lema por razones históricas. ^{[ cita necesaria ]}
2. Un generador del ideal principal es un mcd de algunos generadores de I (y existe porque es un dominio MCD). ${\displaystyle R}$
3. Prueba para el caso GCD : la prueba aquí está adoptada de Mines, R.; Richman, F.; Ruitenburg, W. (1988). Un curso de álgebra constructiva . Texto universitario. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96640-4.Necesitamos el siguiente lema simple sobre mcd:
   • Si entonces . ${\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a,c)=1}$ ${\displaystyle \gcd(a,bc)=1}$
   (La prueba del lema no es trivial pero se realiza mediante álgebra elemental). Argumentamos por inducción sobre la suma de los números de los términos en ; es decir, asumimos que la proposición se ha establecido para cualquier par de polinomios con un número total menos de términos. Dejar ; es decir, es el mcd de los coeficientes de . Asumir ; de lo contrario, hemos terminado. Denotemos los términos de mayor grado en términos de ordenamiento lexicográfico de monomios . Entonces es precisamente el término principal de y por lo tanto divide el coeficiente (único) de (ya que divide todos los coeficientes de ). Ahora, si no tiene un factor común con el coeficiente (único) de y no tiene un factor común con el de , entonces, según el lema anterior ,. Pero divide el coeficiente de ; entonces esto es una contradicción. Así, o tiene un factor común con el coeficiente de o lo tiene con el de ; digamos, lo primero es el caso. Dejar . Dado que divide los coeficientes de , por hipótesis inductiva, ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle (c)=\gcd(\operatorname {cont} (fg))}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle (c)\neq (1)}$ ${\displaystyle f_{0},g_{0}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle \gcd(c,\operatorname {cont} (f_{0}g_{0}))=(1)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}g_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle (d)=\operatorname {gcd} (c,\operatorname {cont} (f_{0}))}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle fg-f_{0}g=(f-f_{0})g}$

   ${\displaystyle (d)\supset \operatorname {gcd} (\operatorname {cont} ((f-f_{0})g))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f-f_{0}))\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (g))=\operatorname {gcd} (\operatorname {cont} (f-f_{0}))}$.

   Como contiene , contiene ; es decir, una contradicción. ${\displaystyle (d)}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f_{0})}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} (f)}$ ${\displaystyle (d)=(1)}$ ${\displaystyle \square }$
4. En otras palabras, dice que un dominio de factorización único está integralmente cerrado .

Referencias

1. Artículo 42 de las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss (1801)
2. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 1., Ejercicio 2. (iv) y Ejercicio 3.
3. Eisenbud 1995, Ejercicio 3.4. (a)
4. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 1., Ejercicio 2. (iv)
5. Atiyah y Macdonald 1969, cap. 1., Ejercicio 1.13.
6. Eisenbud 1995, Ejercicio 3.4.c; El caso en el que R es un UFD.

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, SEÑOR  1322960, ISBN 978-0-387-94269-8