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Conjetura de Kepler

La conjetura de Kepler , llamada así en honor al matemático y astrónomo del siglo XVII Johannes Kepler , es un teorema matemático sobre el empaquetamiento de esferas en el espacio euclidiano tridimensional . Afirma que ninguna disposición de esferas de igual tamaño que llenen el espacio tiene una densidad promedio mayor que la de las disposiciones de empaquetamiento cerrado cúbico ( cúbico centrado en las caras ) y de empaquetamiento cerrado hexagonal . La densidad de estos arreglos ronda el 74,05%.

En 1998, Thomas Hales , siguiendo un enfoque sugerido por Fejes Tóth (1953), anunció que tenía una prueba de la conjetura de Kepler. La prueba de Hales es una prueba por agotamiento que implica la verificación de muchos casos individuales mediante complejos cálculos informáticos. Los árbitros dijeron que estaban "99% seguros" de la exactitud de la prueba de Hales, y la conjetura de Kepler fue aceptada como un teorema . En 2014, el equipo del proyecto Flyspeck, encabezado por Hales, anunció la finalización de una prueba formal de la conjetura de Kepler utilizando una combinación de los asistentes de prueba Isabelle y HOL Light . En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics, Pi . [1]

Fondo

Diagramas de empaque cerrado cúbico (izquierda) y empaque cerrado hexagonal (derecha).

Imagínese llenar un recipiente grande con pequeñas esferas del mismo tamaño: digamos una jarra de porcelana de un galón con canicas idénticas. La "densidad" del arreglo es igual al volumen total de todas las canicas, dividido por el volumen de la jarra. Maximizar el número de canicas en la jarra significa crear una disposición de canicas apiladas entre los lados y el fondo de la jarra, que tenga la mayor densidad posible, de modo que las canicas queden juntas lo más juntas posible.

Los experimentos muestran que dejar caer las canicas al azar, sin hacer ningún esfuerzo por colocarlas bien juntas, logrará una densidad de alrededor del 65%. [2] Sin embargo, se puede lograr una mayor densidad disponiendo cuidadosamente las canicas de la siguiente manera:

  1. Para la primera capa de canicas, colóquelas en una red hexagonal ( el patrón de panal ).
  2. Coloque la siguiente capa de canicas en los espacios más bajos que pueda encontrar arriba y entre las canicas de la primera capa, independientemente del patrón.
  3. Continúe con el mismo procedimiento de rellenar los espacios más bajos de la capa anterior, para la tercera y las restantes capas, hasta que las canicas lleguen al borde superior de la jarra.

En cada paso hay al menos dos opciones sobre cómo colocar la siguiente capa, por lo que este método no planificado de apilar las esferas crea un número infinito e incontable de empaquetamientos igualmente densos. Los más conocidos se denominan empaquetamiento cerrado cúbico y empaquetamiento cerrado hexagonal . Cada uno de estos arreglos tiene una densidad promedio de

La conjetura de Kepler dice que esto es lo mejor que se puede hacer: ningún otro arreglo de canicas tiene una densidad promedio más alta: a pesar de que hay asombrosamente muchos arreglos diferentes posibles que siguen el mismo procedimiento que los pasos 1 a 3, no se empaqueta (según la procedimiento o no) es posible que quepan más canicas en la misma jarra.

Orígenes

Uno de los diagramas de Strena Seu de Nive Sexangula , que ilustra la conjetura de Kepler.

La conjetura fue expuesta por primera vez por Johannes Kepler  (1611) en su artículo "Sobre el copo de nieve de seis puntas". Había comenzado a estudiar la disposición de esferas como resultado de su correspondencia con el matemático y astrónomo inglés Thomas Harriot en 1606. Harriot era amigo y asistente de Sir Walter Raleigh , quien le había pedido que encontrara fórmulas para contar balas de cañón apiladas, una tarea lo que a su vez llevó a un conocido matemático de Raleigh a preguntarse cuál era la mejor manera de apilar balas de cañón. [3] Harriot publicó un estudio de varios patrones de apilamiento en 1591 y desarrolló una versión temprana de la teoría atómica .

Siglo xix

Kepler no tenía una prueba de la conjetura, y el siguiente paso lo dio Carl Friedrich Gauss  (1831), quien demostró que la conjetura de Kepler es verdadera si las esferas tienen que estar dispuestas en una red regular .

Esto significaba que cualquier disposición de embalaje que refutara la conjetura de Kepler tendría que ser irregular. Pero eliminar todos los posibles arreglos irregulares es muy difícil, y esto es lo que hizo que la conjetura de Kepler fuera tan difícil de demostrar. De hecho, hay disposiciones irregulares que son más densas que la disposición cúbica cerrada en un volumen suficientemente pequeño, pero ahora se sabe que cualquier intento de extender estas disposiciones para llenar un volumen mayor siempre reduce su densidad.

Después de Gauss, no se hicieron más avances hacia la demostración de la conjetura de Kepler en el siglo XIX. En 1900 David Hilbert lo incluyó en su lista de veintitrés problemas de matemáticas no resueltos ; forma parte del decimoctavo problema de Hilbert .

Siglo veinte

El siguiente paso hacia una solución lo dio László Fejes Tóth . Fejes Tóth (1953) demostró que el problema de determinar la densidad máxima de todos los arreglos (regulares e irregulares) podía reducirse a un número finito (pero muy grande) de cálculos. Esto significaba que, en principio, era posible una prueba por agotamiento. Como se dio cuenta Fejes Tóth, una computadora lo suficientemente rápida podría convertir este resultado teórico en una aproximación práctica al problema.

Mientras tanto, se intentó encontrar un límite superior para la densidad máxima de cualquier posible disposición de esferas. El matemático inglés Claude Ambrose Rogers (ver Rogers (1958)) estableció un valor límite superior de aproximadamente el 78%, y los esfuerzos posteriores de otros matemáticos redujeron este valor ligeramente, pero aún era mucho mayor que la densidad cúbica de empaquetamiento cerrado de aproximadamente el 74%.

En 1990, Wu-Yi Hsiang afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler. La prueba fue elogiada por Encyclopædia Britannica y Science y Hsiang también fue honrado en reuniones conjuntas de AMS-MAA. [4] Wu-Yi Hsiang (1993, 2001) afirmó haber demostrado la conjetura de Kepler utilizando métodos geométricos. Sin embargo, Gábor Fejes Tóth (hijo de László Fejes Tóth) afirmó en su reseña del artículo: "En lo que respecta a los detalles, mi opinión es que muchas de las afirmaciones clave no tienen pruebas aceptables". Hales (1994) hizo una crítica detallada del trabajo de Hsiang, a la que respondió Hsiang (1995). El consenso actual es que la prueba de Hsiang es incompleta. [5]

La prueba de Hales

Siguiendo el enfoque sugerido [6] por László Fejes Tóth , en 1953, Thomas Hales , entonces en la Universidad de Michigan , determinó que la densidad máxima de todos los arreglos se podía encontrar minimizando una función con 150 variables. En 1992, con la ayuda de su estudiante de posgrado Samuel Ferguson, se embarcó en un programa de investigación para aplicar sistemáticamente métodos de programación lineal para encontrar un límite inferior del valor de esta función para cada una de un conjunto de más de 5.000 configuraciones diferentes de esferas. Si se pudiera encontrar un límite inferior (para el valor de la función) para cada una de estas configuraciones que fuera mayor que el valor de la función para la disposición cúbica cerrada, entonces se demostraría la conjetura de Kepler. Encontrar límites inferiores para todos los casos implicó resolver alrededor de 100.000 problemas de programación lineal.

Al presentar los avances de su proyecto en 1996, Hales dijo que el final estaba a la vista, pero que podría llevar "uno o dos años" completarlo. En agosto de 1998, Hales anunció que la prueba estaba completa. En esa etapa, constaba de 250 páginas de notas y 3 gigabytes de programas informáticos, datos y resultados.

A pesar de la naturaleza inusual de la prueba, los editores de Annals of Mathematics acordaron publicarla, siempre que fuera aceptada por un panel de doce árbitros. En 2003, después de cuatro años de trabajo, el jefe del panel de árbitros, Gábor Fejes Tóth, informó que el panel estaba "99% seguro" de la exactitud de la prueba, pero no podían certificar la exactitud de todos los cálculos informáticos. .

Hales (2005) publicó un artículo de 100 páginas que describe en detalle la parte no informática de su prueba. Hales y Ferguson (2006) y varios artículos posteriores describieron las partes computacionales. Hales y Ferguson recibieron el Premio Fulkerson por trabajos destacados en el área de matemáticas discretas en 2009.

Una prueba formal

En enero de 2003, Hales anunció el inicio de un proyecto colaborativo para producir una prueba formal completa de la conjetura de Kepler. El objetivo era eliminar cualquier incertidumbre restante sobre la validez de la prueba mediante la creación de una prueba formal que pueda verificarse mediante software de verificación de pruebas automatizado como HOL Light e Isabelle . Este proyecto se llamó Flyspeck , una ampliación del acrónimo FPK que significa Prueba formal de Kepler . Al inicio de este proyecto, en 2007, Hales estimó que producir una prueba formal completa requeriría alrededor de 20 años de trabajo. [7] Hales publicó un "plan" para la prueba formal en 2012; [8] la finalización del proyecto se anunció el 10 de agosto de 2014. [9] En enero de 2015, Hales y 21 colaboradores publicaron un artículo titulado "Una prueba formal de la conjetura de Kepler" en arXiv , afirmando haber probado la conjetura. [10] En 2017, la prueba formal fue aceptada por la revista Forum of Mathematics . [1]

Problemas relacionados

Teorema de Thue
El empaquetamiento hexagonal regular es el empaquetamiento circular más denso del plano (1890). La densidad es π ⁄ √ 12 .
El análogo bidimensional de la conjetura de Kepler; la prueba es elemental. Henk y Ziegler atribuyen este resultado a Lagrange, en 1773 (véanse las referencias, pág. 770).
Una prueba sencilla de Chau y Chung de 2010 utiliza la triangulación de Delaunay para el conjunto de puntos que son centros de círculos en un paquete de círculos saturado. [11]
La conjetura del panal hexagonal
La partición más eficaz del plano en áreas iguales es el mosaico hexagonal regular. [12]
Relacionado con el teorema de Thue.
Conjetura dodecaédrica
El volumen del poliedro de Voronoi de una esfera en un conjunto de esferas iguales es al menos el volumen de un dodecaedro regular con radio 1. Prueba de McLaughlin, [13] por la que recibió el Premio Morgan en 1999 .
Un problema relacionado, cuya prueba utiliza técnicas similares a la prueba de la conjetura de Kepler de Hales. Conjetura de L. Fejes Tóth en los años 1950.
El problema de Kelvin
¿Cuál es la espuma más eficiente en 3 dimensiones? Se conjeturó que esto se resolvería mediante la estructura Kelvin , y así se creyó ampliamente durante más de 100 años, hasta que fue refutado en 1993 por el descubrimiento de la estructura Weaire-Phelan . El sorprendente descubrimiento de la estructura de Weaire-Phelan y la refutación de la conjetura de Kelvin es una de las razones de la cautela al aceptar la prueba de Hales de la conjetura de Kepler.
Embalaje de esferas en dimensiones superiores.
En 2016, Maryna Viazovska anunció pruebas del empaquetamiento óptimo de las esferas en las dimensiones 8 y 24. [14] Sin embargo, la cuestión del empaquetamiento óptimo de las esferas en dimensiones distintas a 1, 2, 3, 8 y 24 aún está abierta.
La conjetura del embalaje de Ulam
Se desconoce si existe un sólido convexo cuya densidad de empaquetamiento óptima sea menor que la de la esfera.

Referencias

  1. ^ ab Hales, Thomas ; Adams, Marcos; Bauer, Gertrud; Maldita sea, tat dat; Harrison, Juan; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cézary; Magrón, Víctor; McLaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobías; Obua, Steven; Pleso, José; Ruta, Jason; Soloviev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urbano, José; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (29 de mayo de 2017). "Una prueba formal de la conjetura de Kepler". Foro de Matemáticas, Pi . 5 : e2. doi : 10.1017/fmp.2017.1 . hdl : 2066/176365 .
  2. ^ Li, Shuixiang; Zhao, Liang; Liu, Yuewu (abril de 2008). "Simulación por computadora del embalaje de esferas aleatorias en un contenedor de forma arbitraria". Computadoras, Materiales y Continua . 7 : 109-118.
  3. ^ Leutwyler, Kristin (14 de septiembre de 1998). "Apílalos bien". Científico americano . Consultado el 15 de noviembre de 2021 .
  4. ^ Hales, Thomas C. (junio de 1994). "El estado de la conjetura de Kepler". El inteligente matemático . 16 (3): 47–58. doi :10.1007/BF03024356. S2CID  123375854.
  5. ^ Singh, Simón (1997). El último teorema de Fermat . Nueva York: caminante. ISBN 978-0-80271-331-5.
  6. ^ Fejes Tóth 1953, pag. 238.
  7. ^ Bails, Jennifer (otoño de 2007). "Thomas Hales: la prueba de la prueba". Pittsburgh trimestral .
  8. ^ Hales, Thomas C. (2012). Empaquetaduras de esferas densas: un modelo para pruebas formales . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 400. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-61770-3.
  9. ^ "Proyecto Flyspeck". Código de Google .
  10. ^ Hales, Thomas ; et al. (9 de enero de 2015). "Una prueba formal de la conjetura de Kepler". arXiv : 1501.02155 [matemáticas.MG].
  11. ^ Chang, Hai-Chau; Wang, Lih-Chung (22 de septiembre de 2010). "Una prueba simple del teorema de Thue sobre el embalaje circular". arXiv : 1009.4322 [matemáticas.MG].
  12. ^ Hales, Thomas C. (20 de mayo de 2002). "La conjetura del panal". Geometría discreta y computacional . 25 : 1–22. arXiv : matemáticas/9906042 . doi :10.1007/s004540010071. S2CID  14849112.
  13. ^ Hales, Thomas C.; McLaughlin, Sean (2010). "La conjetura del dodecaédrico". Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense . 23 (2): 299–344. arXiv : math.MG/9811079 . Código Bib : 2010JAMS...23..299H. doi :10.1090/S0894-0347-09-00647-X.
  14. ^ Klarreich, Erica (30 de marzo de 2016), "Embalaje de esferas resuelto en dimensiones superiores", Revista Quanta

Publicaciones

enlaces externos