Erizo (geometría)

Tipo de curva plana matemática

El astroide , construido como una envoltura de líneas. La función de soporte correspondiente varía desde un mínimo de 0 para los puntos de los ejes horizontal y vertical hasta un máximo en los cuatro puntos diagonales del círculo unitario.

Un hipocicloide que forma un erizo que se cruza a sí mismo.

En geometría diferencial , un erizo o erizo plano es un tipo de curva plana , la envolvente de una familia de líneas determinada por una función de soporte . De manera más intuitiva, los erizos que se portan suficientemente bien son curvas planas con una línea tangente en cada dirección orientada. Un erizo proyectivo es un tipo restringido de erizo, definido a partir de una función de soporte antisimétrica y (nuevamente cuando se porta lo suficientemente bien) forma una curva con una línea tangente en cada dirección, independientemente de la orientación.

Cada curva cerrada estrictamente convexa , la envolvente de sus líneas de soporte . El astroide forma un erizo no convexo y la curva deltoides forma un erizo proyectivo.

Los erizos también se pueden definir a partir de funciones de soporte de hiperplanos en dimensiones superiores.

Definiciones

Formalmente, una función de soporte plana se puede definir como una función continuamente diferenciable desde el círculo unitario en el plano hasta números reales, o de manera equivalente como una función desde ángulos hasta números reales. Para cada punto del círculo unitario, define una línea, cuyo conjunto de puntos . Esta línea es perpendicular al vector , pasa por el punto y está a distancia del origen . Una función de soporte es antisimétrica cuando, para todos , , o equivalentemente en términos de ángulos , de modo que y definen la misma línea entre sí. ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f(\theta )=h{\bigl (}(\cos \theta ,\sin \theta ){\bigr )}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\cdot q=h(q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle qh(q)}$ ${\displaystyle |h(q)|}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h(-q)=-h(q)}$ ${\displaystyle f(\theta )=-f(\theta +\pi )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle -q}$

Dada cualquier función de soporte , se denota su erizo . En cuanto a la función y el ángulo tiene las ecuaciones paramétricas ^[1] ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{h}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(\theta )\cos \theta -f'(\theta )\sin \theta \\y&=f(\theta )\sin \theta +f'(\theta )\cos \theta \end{aligned}}}$

Un erizo es no singular cuando tiene una recta tangente en cada uno de sus puntos. Un erizo proyectivo se define por una función de soporte antisimétrica. Los erizos también se pueden definir de la misma manera en dimensiones superiores, como envolventes de hiperplanos definidos por funciones de soporte. ^{[2] [3]}

Ejemplos

La función de soporte que describe las líneas de soporte para un conjunto convexo está definida por . El erizo de la función de soporte de cualquier conjunto estrictamente convexo es su límite, parametrizado por el ángulo de sus líneas de soporte. ^[4] Cuando un conjunto convexo no es estrictamente convexo (tiene un segmento de línea en su límite), su función de soporte es continua pero no continuamente diferenciable, y las ecuaciones paramétricas anteriores saltan discontinuamente a través del segmento de línea en lugar de definir una curva continua, por lo que no se define como erizo. El astroide proporciona un ejemplo de erizo no convexo. ^[5] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h(q)=\max\{p\cdot q\mid p\in K\}}$

El deltoides , un ejemplo de erizo proyectivo, que muestra segmentos de línea que giran a través de la familia de líneas cuya envoltura es el deltoides.

Un ejemplo de erizo proyectivo, definido a partir de una función de soporte antisimétrica, lo da la curva deltoides . El deltoides es una curva cerrada simple , pero otros erizos pueden intersectarse o comportarse mal. En particular, existen funciones de soporte antisimétricas basadas en la función de Weierstrass cuyos erizos proyectivos correspondientes son curvas fractales que son continuas pero en ninguna parte diferenciables y tienen una longitud infinita. ^[4]

Un triángulo de Reuleaux y su erizo medio, el lugar geométrico de los puntos medios de sus segmentos diamétricos. Aunque este erizo se parece a un deltoides, no lo es; en cambio, está formado por tres arcos circulares con la mitad del radio de los arcos exteriores del triángulo de Reuleaux.

Cada cuerpo estrictamente convexo en el plano define un erizo proyectivo, su erizo medio , la envoltura de líneas a medio camino entre cada par de líneas de soporte paralelas. Aunque los triángulos no son estrictamente convexos, la envoltura definida de esta manera para un triángulo es su triángulo medial . Los puntos del erizo del medio son los puntos medios de los segmentos de línea que conectan los pares de puntos donde cada par de líneas de soporte paralelas hacen contacto con el cuerpo. Tiene una longitud finita, igual a la mitad del perímetro del cuerpo dado. Cada punto extremo del casco convexo del erizo medio es un punto de convexidad , punto tal que la unión del cuerpo con su reflejo a través de este punto es convexa. Siempre hay al menos tres de esos puntos, y los triángulos y el triángulo de Reuleaux proporcionan ejemplos en los que hay exactamente tres. ^[6]

Propiedades

Un erizo no singular tiene una línea tangente única en cada dirección orientada, perteneciente a su familia de líneas definitoria. En consecuencia, cualquier erizo proyectivo que se comporte suficientemente bien tiene una línea tangente única en cada dirección sin tener en cuenta la orientación.

Los pares de erizos se pueden combinar mediante la suma puntual de sus funciones de apoyo. Esta operación extiende la suma de Minkowski de cuerpos convexos y es análoga a la suma de Minkowski en múltiples formas. ^[7] Puede usarse para caracterizar curvas de ancho constante : un erizo convexo tiene ancho constante si y solo si su función de soporte se forma sumando a la función de soporte de un erizo proyectivo. Es decir, las curvas de ancho constante son exactamente los erizos convexos formados como sumas de erizos proyectivos y círculos. ^[1] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w/2}$

Cada erizo proyectivo tiene al menos tres singularidades (típicamente, cúspides ). Cuando un erizo proyectivo tiene una longitud finita, una construcción de Leonhard Euler muestra que sus involutas de radio suficientemente alto son curvas de ancho constante. ^[8]

Generalización

De manera más general, los erizos son los objetos geométricos naturales que representan las diferencias formales de los cuerpos convexos: dado (K,L) un par ordenado de cuerpos convexos en el espacio vectorial euclidiano , existe un, y sólo uno, erizo que representa la diferencia formal. K – L en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Caso poligonal en el plano:

Caso de cuerpos lisos convexos con curvatura de Gauss positiva:

Restar dos hipersuperficies convexas (con curvatura de Gauss positiva) restando los puntos correspondientes a una misma unidad normal exterior para obtener una hipersuperficie (posiblemente singular y autointersectada):

La idea de utilizar las diferencias de Minkowski de cuerpos convexos se remonta a un par de artículos de AD Alexandrov y H. Geppert ^[9] en la década de 1930. Muchas nociones clásicas sobre cuerpos convexos se extienden a los erizos y un buen número de resultados clásicos encuentran sus contrapartes. Por supuesto, son necesarias algunas adaptaciones. En particular, los volúmenes deben ser sustituidos por sus versiones algebraicas. ^[10]

En una larga serie de artículos, Y. Martínez-Maure estudió los erizos y sus extensiones bajo diversos aspectos. ^[11] El resultado más sorprendente de esta teoría del erizo fue la construcción de contraejemplos a una antigua caracterización conjeturada de la 2-esfera. ^{[12] [13] [14] [15] [10]}

Referencias

1. Martinez-Maure, Yves (1996), "Una nota sobre el teorema de la pelota de tenis", American Mathematical Monthly , 103 (4): 338–340, doi :10.2307/2975192, JSTOR  2975192, MR  1383672
2. Langevin, Rémi; Levitt, Gilbert; Rosenberg, Harold (1988), "Hérissons et multihérissons (enveloppes parametrées par leur application de Gauss)", Singularities (Varsovia, 1985) , Banach Centre Publ., vol. 20, PWN, Varsovia, págs. 245–253, doi : 10.7202/900597ar , MR  1101843
3. Lyubich, Mikhail; Radu, Remo; Tanase, Raluca (2020), "Erizos en dimensiones superiores y sus aplicaciones", Astérisque (416, Quelques aspectos de la théorie des systèmes dynamiques: un homenaje a Jean-Christophe Yoccoz.II): 213–251, doi :10.24033/ast , ISBN 978-2-85629-917-3, SEÑOR  4142461, S2CID  264192242
4. Martinez-Maure, Yves (2001), "Un erizo proyectivo fractal", Demonstratio Mathematica , 34 (1): 59–63, doi : 10.1515/dema-2001-0108 , MR  1823083, S2CID  118211962
5. Nishimura, Takashi; Sakemi, Yu (2011), "Vista desde dentro", Hokkaido Mathematical Journal , 40 (3): 361–373, doi : 10.14492/hokmj/1319595861 , SEÑOR  2883496
6. Schneider, Rolf (2017), "El erizo medio de un cuerpo convexo plano", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 58 (2): 235–245, arXiv : 1607.03014 , doi : 10.1007/s13366-016-0315-5, SEÑOR  3651650, S2CID  119131291
7. Martinez-Maure, Yves (2015), "Teoría del erizo mediante el cálculo de Euler", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 56 (2): 397–421, doi :10.1007/s13366-014-0196-4, MR  3391180, S2CID  8240198
8. Robertson, SA (1984), "Curvas suaves de ancho constante y transnormalidad", The Bulletin of the London Mathematical Society , 16 (3): 264–274, doi :10.1112/blms/16.3.264, MR  0738517
9. Geppert, H.: Über den Brunn-Minkowskischen Satz. Matemáticas. Z.42 , 238-254 (1937)
10. Y. Martinez-Maure, Una estimación de estabilidad para la desigualdad de Aleksandrov-Fenchel bajo supuestos de regularidad, Monatshefte für Mathematik 182 (2017), 65-76
11. R. Schneider.: Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, segunda edición ampliada. Universidad de Cambridge. Prensa (2014)
12. AD Aleksandrov, Sobre el teorema de unicidad para superficies cerradas (ruso), Doklady Akad. Nauk SSSR 22 (1939), 99-102
13. Koutroufiotis D., Sobre una caracterización conjeturada de la esfera, Mathematische Annalen. 205 (1973) 211–217
14. Y. Martinez-Maure, Contre-exemple à une caractérisation conjecturée de la sphère, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris 332, Série I, 2001, 41-44
15. Panina Gaiane, Nuevos contraejemplos a la hipótesis de AD Alexandrov. Adv. Geom 5 (2005), 301–317