Función de soporte

En matemáticas , la función de soporte h _A de un conjunto convexo cerrado no vacío A en describe las distancias (con signo) de los hiperplanos de soporte de A desde el origen. La función de soporte es una función convexa en . Cualquier conjunto convexo cerrado no vacío A está determinado de forma única por h _A . Además, la función de soporte, como función del conjunto A , es compatible con muchas operaciones geométricas naturales, como escala, traslación, rotación y adición de Minkowski . Debido a estas propiedades, la función de soporte es uno de los conceptos básicos más centrales en geometría convexa. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definición

La función de soporte de un conjunto convexo cerrado no vacío A está dada por ${\displaystyle h_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle h_{A}(x)=\sup\{x\cdot a:a\in A\},}$

${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$; ver ^{[1] [2]} . ^[3] Su interpretación es más intuitiva cuando x es un vector unitario: por definición, A está contenido en el semiespacio cerrado

${\displaystyle \{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x\leqslant h_{A}(x)\}}$

y hay al menos un punto de A en el límite

${\displaystyle H(x)=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:y\cdot x=h_{A}(x)\}}$

de este semiespacio. Por lo tanto, el hiperplano H ( x ) se denomina hiperplano de soporte con vector normal unitario exterior (o externo ) x . La palabra exterior es importante aquí, ya que la orientación de x juega un papel, el conjunto H ( x ) es en general diferente de H (− x ). Ahora h _A ( x ) es la distancia (con signo) de H ( x ) desde el origen.

Ejemplos

La función de soporte de un singleton A = { a } es . ${\displaystyle h_{A}(x)=x\cdot a}$

La función de soporte de la bola unitaria euclidiana es donde es la norma 2. ${\displaystyle B=\{y\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\|y\|_{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle h_{B}(x)=\|x\|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

Si A es un segmento de línea que pasa por el origen con puntos finales − a y a , entonces . ${\displaystyle h_{A}(x)=|x\cdot a|}$

Propiedades

En función deincógnita

La función de soporte de un conjunto convexo compacto no vacío es de valor real y continua, pero si el conjunto es cerrado e ilimitado, su función de soporte es de valor real extendido (toma el valor ). Como cualquier conjunto convexo cerrado no vacío es la intersección de sus semiespacios de soporte, la función h _A determina A de forma única. Esto se puede utilizar para describir analíticamente ciertas propiedades geométricas de los conjuntos convexos. Por ejemplo, un conjunto A es simétrico respecto del origen si y solo si h _A es una función par . ${\displaystyle \infty }$

En general, la función de soporte no es diferenciable. Sin embargo, existen derivadas direccionales que dan lugar a funciones de soporte de conjuntos de soporte. Si A es compacto y convexo, y h _A '( u ; x ) denota la derivada direccional de h _A en u ≠ 0 en la dirección x , tenemos

${\displaystyle h_{A}'(u;x)=h_{A\cap H(u)}(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Aquí H ( u ) es el hiperplano de soporte de A con vector normal exterior u , definido anteriormente. Si A ∩ H ( u ) es un singleton { y }, por ejemplo, se deduce que la función de soporte es diferenciable en u y su gradiente coincide con y . Por el contrario, si h _A es diferenciable en u , entonces A ∩ H ( u ) es un singleton. Por lo tanto, h _A es diferenciable en todos los puntos u ≠ 0 si y solo si A es estrictamente convexo (el límite de A no contiene ningún segmento de línea).

De manera más general, cuando es convexo y cerrado entonces para cualquier , ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \partial h_{A}(u)=H(u)\cap A\,,}$

donde denota el conjunto de subgradientes de en . ${\displaystyle \partial h_{A}(u)}$ ${\displaystyle h_{A}}$ ${\displaystyle u}$

De su definición se deduce directamente que la función de soporte es homogénea positiva:

${\displaystyle h_{A}(\alpha x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n},}$

y subaditivo:

${\displaystyle h_{A}(x+y)\leq h_{A}(x)+h_{A}(y),\qquad x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}$

De ello se deduce que h _A es una función convexa . Es crucial en geometría convexa que estas propiedades caractericen a las funciones de soporte: Cualquier función positiva, homogénea, convexa y de valor real en es la función de soporte de un conjunto convexo compacto no vacío. Se conocen varias pruebas, ^[3] una de ellas utiliza el hecho de que la transformada de Legendre de una función positiva, homogénea, convexa y de valor real es la función indicadora (convexa) de un conjunto convexo compacto. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Muchos autores restringen la función de soporte a la esfera unitaria euclidiana y la consideran como una función en S ^{n -1} . La propiedad de homogeneidad muestra que esta restricción determina la función de soporte en , como se definió anteriormente. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En función deA

Las funciones de soporte de un conjunto dilatado o trasladado están estrechamente relacionadas con el conjunto original A :

${\displaystyle h_{\alpha A}(x)=\alpha h_{A}(x),\qquad \alpha \geq 0,x\in \mathbb {R} ^{n}}$

y

${\displaystyle h_{A+b}(x)=h_{A}(x)+x\cdot b,\qquad x,b\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Este último se generaliza a

${\displaystyle h_{A+B}(x)=h_{A}(x)+h_{B}(x),\qquad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

donde A + B denota la suma de Minkowski :

${\displaystyle A+B:=\{\,a+b\in \mathbb {R} ^{n}\mid a\in A,\ b\in B\,\}.}$

La distancia de Hausdorff d _H ( A , B ) de dos conjuntos convexos compactos no vacíos A y B se puede expresar en términos de funciones de soporte,

${\displaystyle d_{\mathrm {H} }(A,B)=\|h_{A}-h_{B}\|_{\infty }}$

donde, en el lado derecho, se utiliza la norma uniforme en la esfera unitaria.

Las propiedades de la función soporte en función del conjunto A se resumen a veces diciendo que : A h _A mapea la familia de conjuntos convexos compactos no vacíos al cono de todas las funciones continuas de valores reales sobre la esfera cuya extensión homogénea positiva es convexa. Abusando ligeramente de la terminología, a veces se llama lineal , ya que respeta la adición de Minkowski, aunque no está definida sobre un espacio lineal, sino más bien sobre un cono convexo (abstracto) de conjuntos convexos compactos no vacíos. La aplicación es una isometría entre este cono, dotado de la métrica de Hausdorff, y un subcono de la familia de funciones continuas sobre S ^{n -1} con la norma uniforme. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

Variantes

En contraste con lo anterior, las funciones de soporte a veces se definen en el límite de A en lugar de en S ^{n -1} , bajo el supuesto de que existe una unidad unitaria exterior única en cada punto límite. La convexidad no es necesaria para la definición. Para una superficie regular orientada , M , con un vector normal unitario , N , definido en todas partes en su superficie, la función de soporte se define entonces por

${\displaystyle {x}\mapsto {x}\cdot N({x})}$.

En otras palabras, para cualquier , esta función de soporte da la distancia con signo del hiperplano único que toca M en x . ${\displaystyle {x}\in M}$

Véase también

• Cono de barrera
• Soporte funcional

Referencias

1. T. Bonnesen, W. Fenchel, Theorie der konvexen Körper, Julius Springer, Berlín, 1934. Traducción al inglés: Teoría de los cuerpos convexos, BCS Associates, Moscú, ID, 1987.
2. RJ Gardner, Tomografía geométrica, Cambridge University Press, Nueva York, 1995. Segunda edición: 2006.
3. R. Schneider, Cuerpos convexos: la teoría de Brunn-Minkowski, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.