En geometría , una forma plana o sólida inscrita es aquella que está encerrada y "encaja perfectamente" dentro de otra forma geométrica o sólido. [1] Decir que "la figura F está inscrita en la figura G" significa precisamente lo mismo que "la figura G está circunscrita a la figura F". Un círculo o elipse inscrito en un polígono convexo (o una esfera o elipsoide inscrito en un poliedro convexo ) es tangente a cada lado o cara de la figura exterior (pero consulte Esfera inscrita para conocer variantes semánticas). Un polígono inscrito en un círculo, elipse o polígono (o un poliedro inscrito en una esfera, elipsoide o poliedro) tiene cada vértice en la figura exterior; si la figura exterior es un polígono o poliedro, debe haber un vértice del polígono o poliedro inscrito a cada lado de la figura exterior. Una figura inscrita no tiene necesariamente una orientación única; esto se puede ver fácilmente, por ejemplo, cuando la figura exterior dada es un círculo, en cuyo caso una rotación de una figura inscrita da otra figura inscrita que es congruente con la original.
Ejemplos familiares de figuras inscritas incluyen círculos inscritos en triángulos o polígonos regulares , y triángulos o polígonos regulares inscritos en círculos. Una circunferencia inscrita en cualquier polígono se llama circunferencia , en cuyo caso se dice que el polígono es tangencial . Un polígono inscrito en un círculo se dice que es un polígono cíclico , y el círculo se dice que es su círculo circunscrito o circuncírculo .
El radio interno o radio de relleno de una figura exterior dada es el radio del círculo o esfera inscrito, si existe.
Para conocer un uso alternativo del término "inscrito", consulte el problema del cuadrado inscrito , en el que se considera que un cuadrado está inscrito en otra figura (incluso una no convexa) si sus cuatro vértices están en esa figura.
Propiedades
Cada círculo tiene un triángulo inscrito con tres medidas de ángulos dadas (que suman, por supuesto, 180°), y cada triángulo puede inscribirse en algún círculo (que se llama círculo circunscrito o circuncírculo).
Todo triángulo tiene una circunferencia inscrita, llamada incircunferencia .
Todo círculo tiene inscrito un polígono regular de n lados, para cualquier n ≥ 3, y todo polígono regular puede inscribirse en algún círculo (llamado circuncírculo).
Todo polígono regular tiene un círculo inscrito (llamado incírculo), y cada círculo puede inscribirse en algún polígono regular de n lados, para cualquier n ≥ 3.
No todo polígono de más de tres lados tiene un círculo inscrito; aquellos polígonos que lo hacen se llaman polígonos tangenciales . No todo polígono con más de tres lados es un polígono inscrito de un círculo; aquellos polígonos que están así inscritos se llaman polígonos cíclicos .
Todo triángulo puede estar inscrito en una elipse, llamada circumelipse de Steiner o simplemente elipse de Steiner, cuyo centro es el centroide del triángulo .
Todo triángulo tiene una infinidad de elipses inscritas . Uno de ellos es un círculo y el otro es la inelipse de Steiner que es tangente al triángulo en los puntos medios de los lados.
Todo triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos . En un triángulo rectángulo dos de ellos se fusionan y coinciden entre sí, por lo que sólo quedan dos cuadrados inscritos distintos. Un triángulo obtuso tiene un solo cuadrado inscrito, cuyo lado coincide con parte del lado más largo del triángulo.
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