Polígono tangencial

En geometría euclidiana , un polígono tangencial , también conocido como polígono circunscrito , es un polígono convexo que contiene un círculo inscrito (también llamado incírculo ). Este es un círculo que es tangente a cada uno de los lados del polígono. El polígono dual de un polígono tangencial es un polígono cíclico , que tiene un círculo circunscrito que pasa por cada uno de sus vértices .

Todos los triángulos son tangentes, al igual que todos los polígonos regulares con cualquier número de lados. Un grupo de polígonos tangenciales muy estudiado son los cuadriláteros tangenciales , que incluyen los rombos y las cometas .

Caracterizaciones

Un polígono convexo tiene un incírculo si y solo si todas las bisectrices de sus ángulos internos son concurrentes . Este punto común es el incentro (el centro del incírculo). ^[1]

Existe un polígono tangencial de n lados consecutivos a ₁ , ..., a _n si y sólo si el sistema de ecuaciones

x_{1}+x_{2}=a_{1},\cuadrado x_{2}+x_{3}=a_{2},\cuadrado \ldots ,\cuadrado x_{n}+x_{1}=a_{n}

tiene una solución ( x ₁ , ..., x _n ) en reales positivos . ^[2] Si existe tal solución, entonces x ₁ , ..., x _n son las longitudes tangentes del polígono (las longitudes desde los vértices hasta los puntos donde el círculo inscrito es tangente a los lados).

Unicidad y no unicidad

Si el número de lados n es impar, entonces para cualquier conjunto dado de longitudes de lados que satisfacen el criterio de existencia anterior solo hay un polígono tangencial. Pero si n es par, hay una infinidad de ellos. ^[3]^{: p. 389} Por ejemplo, en el caso del cuadrilátero donde todos los lados son iguales, podemos tener un rombo con cualquier valor de los ángulos agudos, y todos los rombos son tangentes a un incírculo. $a_{1},\puntos ,a_{n}$

Inradio

Si los n lados de un polígono tangencial son a ₁ , ..., a _n , el radio interno ( radio del círculo inscrito) es ^[4]

r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}

donde K es el área del polígono y s es el semiperímetro . (Dado que todos los triángulos son tangenciales, esta fórmula se aplica a todos los triángulos).

Otras propiedades

En el caso de un polígono tangencial con un número impar de lados, todos los lados son iguales si y solo si todos los ángulos son iguales (por lo tanto, el polígono es regular). En un polígono tangencial con un número par de lados, todos los lados son iguales si y solo si los ángulos alternos son iguales (es decir, los ángulos A , C , E , ... son iguales y los ángulos B , D , F , ... son iguales). ^[5]
En un polígono tangencial con un número par de lados, la suma de las longitudes de los lados impares es igual a la suma de las longitudes de los lados pares. ^[2]
Un polígono tangencial tiene un área mayor que cualquier otro polígono con el mismo perímetro y los mismos ángulos interiores en la misma secuencia. ^[6]^{: p. 862}^[7]
El centroide de cualquier polígono tangencial, el centroide de sus puntos límite y el centro del círculo inscrito son colineales , con el centroide del polígono entre los otros y dos veces más lejos del incentro que del centroide del límite. ^[6]^{: pp. 858–9}

Triángulo tangencial

Si bien todos los triángulos son tangentes a algún círculo, un triángulo se denomina triángulo tangencial de un triángulo de referencia si las tangencias del triángulo tangencial con el círculo son también los vértices del triángulo de referencia.

Cuadrilátero tangencial

Hexágono tangencial

En un hexágono tangencial ABCDEF , las diagonales principales AD , BE y CF son concurrentes según el teorema de Brianchon .

Véase también

Circungono

Referencias

^ Owen Byer, Felix Lazebnik y Deirdre Smeltzer , Métodos para la geometría euclidiana , Asociación Matemática de América, 2010, pág. 77.
^ ab Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, Compendio de la OMI , Springer, 2006, p. 561.
^ Hess, Albrecht (2014), "Sobre un círculo que contiene los incentros de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389–396.
^ Alsina, Claudi y Nelsen, Roger, Iconos de las matemáticas. Una exploración de veinte imágenes clave , Mathematical Association of America, 2011, pág. 125.
^ De Villiers, Michael. "Polígonos cíclicos equiangulares y polígonos circunscritos equiláteros", Mathematical Gazette 95, marzo de 2011, 102–107.
^ ab Tom M. Apostol y Mamikon A. Mnatsakanian (diciembre de 2004). "Figures Circumscribing Circles" (PDF) . American Mathematical Monthly . 111 (10): 853–863. doi :10.2307/4145094. JSTOR 4145094 . Consultado el 6 de abril de 2016 .
^ Apostol, Tom (diciembre de 2005). "fe de erratas". American Mathematical Monthly . 112 (10): 946. doi :10.1080/00029890.2005.11920274. S2CID 218547110.