En matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado o . Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye en particular el concepto de rectas paralelas . También tiene propiedades métricas inducidas por la distancia , lo que permite definir círculos y medir ángulos .
Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesiano elegido se denomina plano cartesiano . El conjunto de pares ordenados de números reales (el plano de coordenadas reales ), dotado del producto escalar , suele denominarse plano euclidiano , ya que todo plano euclidiano es isomorfo a él.
Los libros I a IV y VI de los Elementos de Euclides trataron de la geometría bidimensional, desarrollando nociones como la similitud de formas, el teorema de Pitágoras (Proposición 47), la igualdad de ángulos y áreas , el paralelismo, la suma de los ángulos en un triángulo y los tres casos en los que los triángulos son "iguales" (tienen la misma área), entre muchos otros temas.
Más tarde, el plano se describió en el llamado sistema de coordenadas cartesiano , un sistema de coordenadas que especifica cada punto de forma única en un plano mediante un par de coordenadas numéricas , que son las distancias con signo desde el punto a dos líneas dirigidas perpendiculares fijas , medidas en la misma unidad de longitud . Cada línea de referencia se denomina eje de coordenadas o simplemente eje del sistema, y el punto donde se encuentran es su origen , generalmente en el par ordenado (0, 0). Las coordenadas también se pueden definir como las posiciones de las proyecciones perpendiculares del punto sobre los dos ejes, expresadas como distancias con signo desde el origen.
La idea de este sistema fue desarrollada en 1637 en escritos de Descartes e independientemente por Pierre de Fermat , aunque Fermat también trabajó en tres dimensiones, y no publicó el descubrimiento. [1] Ambos autores utilizaron un solo eje en sus tratamientos [ cita necesaria ] y tienen una longitud variable medida en referencia a este eje. El concepto de utilizar un par de ejes se introdujo más tarde, después de que Frans van Schooten y sus alumnos tradujeran al latín La Géométrie de Descartes en 1649 . Estos comentaristas introdujeron varios conceptos al intentar aclarar las ideas contenidas en la obra de Descartes. [2]
Más tarde, se pensó en el plano como un campo , donde dos puntos cualesquiera podían multiplicarse y, excepto 0, dividirse. Esto se conoció como plano complejo . El plano complejo a veces se denomina plano de Argand porque se utiliza en los diagramas de Argand. Estos llevan el nombre de Jean-Robert Argand (1768-1822), aunque fueron descritos por primera vez por el agrimensor y matemático danés-noruego Caspar Wessel (1745-1818). [3] Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los polos y ceros de una función en el plano complejo.
En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto del espacio bidimensional mediante dos coordenadas. Se dan dos ejes de coordenadas perpendiculares que se cruzan en el origen . Generalmente están etiquetados como x e y . En relación con estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio bidimensional está dada por un par ordenado de números reales, cada número da la distancia de ese punto desde el origen medida a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese punto desde el otro eje.
Otro sistema de coordenadas ampliamente utilizado es el sistema de coordenadas polares , que especifica un punto en términos de su distancia desde el origen y su ángulo con respecto a un rayo de referencia hacia la derecha.
En geometría euclidiana , un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente. Los planos euclidianos surgen a menudo como subespacios del espacio tridimensional . Un ejemplo prototípico es el de las paredes de una habitación, infinitamente extendidas y asumidas como infinitamente delgadas.
Si bien un par de números reales son suficientes para describir puntos en un plano, la relación con puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su integración en el espacio ambiental .En dos dimensiones existen infinitos politopos: los polígonos. Los primeros regulares se muestran a continuación:
El símbolo de Schläfli representa un n -gón regular .
El monógono regular (o henagón) {1} y el digon regular {2} pueden considerarse polígonos regulares degenerados y existen de forma no degenerada en espacios no euclidianos como un cilindro de 2 esferas , 2 toros o un cilindro circular recto .
Existen infinitos politopos regulares no convexos en dos dimensiones, cuyos símbolos de Schläfli consisten en números racionales {n/m}. Se llaman polígonos en estrella y comparten la misma disposición de vértices que los polígonos regulares convexos.
En general, para cualquier número natural n, existen estrellas poligonales regulares no convexas de n puntas con símbolos de Schläfli { n / m } para todo m tales que m < n /2 (estrictamente hablando { n / m } = { n / ( n − m )}) y my n son coprimos .
La hiperesfera en 2 dimensiones es un círculo , a veces llamado 1-esfera ( S 1 ) porque es una variedad unidimensional . En un plano euclidiano, tiene una longitud de 2π r y el área de su interior es
¿ Dónde está el radio?
Hay infinidad de otras formas curvas en dos dimensiones, entre las que destacan las secciones cónicas : la elipse , la parábola y la hipérbola .
Otra forma matemática de ver el espacio bidimensional se encuentra en el álgebra lineal , donde la idea de independencia es crucial. El plano tiene dos dimensiones porque la longitud de un rectángulo es independiente de su ancho. En el lenguaje técnico del álgebra lineal, el plano es bidimensional porque cada punto del plano puede describirse mediante una combinación lineal de dos vectores independientes .
El producto escalar de dos vectores A = [ A 1 , A 2 ] y B = [ B 1 , B 2 ] se define como: [4]
Un vector se puede representar como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección que señala la flecha. La magnitud de un vector A se denota por . Desde este punto de vista, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B está definido por [5]
donde θ es el ángulo entre A y B.
El producto escalar de un vector A por sí mismo es
lo que da
la fórmula para la longitud euclidiana del vector.
En un sistema de coordenadas rectangular, el gradiente viene dado por
Para algún campo escalar f : U ⊆ R 2 → R , la integral de línea a lo largo de una curva suave por tramos C ⊂ U se define como
donde r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de C y .
Para un campo vectorial F : U ⊆ R 2 → R 2 , la integral de recta a lo largo de una curva suave por tramos C ⊂ U , en la dirección de r , se define como
donde · es el producto escalar y r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos finales de C.
Una integral doble se refiere a una integral dentro de una región D en R 2 de una función y generalmente se escribe como:
El teorema fundamental de las integrales de línea dice que una integral de línea a través de un campo gradiente se puede evaluar evaluando el campo escalar original en los puntos finales de la curva.
Dejar . Entonces
siendo p , q los puntos finales de la curva γ.
Sea C una curva cerrada simple , lisa por tramos y orientada positivamente en un plano , y sea D la región limitada por C. Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene D y tienen derivadas parciales continuas allí, entonces [6] [7]
donde el camino de integración a lo largo de C es en sentido antihorario .
En topología , el plano se caracteriza por ser la única variedad 2 contráctil .
Su dimensión se caracteriza por el hecho de que quitando un punto del plano se deja un espacio que está conectado, pero no simplemente conectado .
En teoría de grafos , un gráfico plano es un gráfico que puede incrustarse en el plano, es decir, que puede dibujarse en el plano de tal manera que sus aristas se crucen sólo en sus puntos finales. En otras palabras, se puede dibujar de tal manera que ningún borde se cruce. [8] Un dibujo de este tipo se denomina gráfico plano o incrustación plana del gráfico . Un gráfico plano se puede definir como un gráfico plano con un mapeo de cada nodo a un punto en un plano, y de cada borde a una curva plana en ese plano, de modo que los puntos extremos de cada curva son los puntos mapeados desde su extremo. nodos, y todas las curvas son disjuntas excepto en sus puntos extremos.
Así, un gráfico plano, cuando se dibuja sobre una superficie plana, no tiene cruces de aristas o se puede volver a dibujar sin ellas.
![{\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _ {\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ] }\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a21102b51e23ffb1a4d827e19f973c2b9baa5a)
