Sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados
En geometría euclidiana , una circuncónica es una sección cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo , [1] y una incónica es una sección cónica inscrita en los lados, posiblemente extendidos , de un triángulo. [2]
Supongamos que A, B, C son puntos distintos no colineales, y sea △ ABC el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no sólo el vértice sino también el ángulo ∠ BAC en el vértice A , y de manera similar para B y C como ángulos en △ ABC . Sean las longitudes laterales de △ ABC .
En coordenadas trilineales , la circuncónica general es el lugar geométrico de un punto variable que satisface una ecuación
por algún punto u : v : w . El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, distinto de A, B, C , es un punto de la recta
Esta recta corta la circunferencia circunscrita de △ ABC en 0,1 ó 2 puntos según que la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.
La incónica general es tangente a las tres líneas laterales de △ ABC y viene dada por la ecuación
Centros y rectas tangentes
circuncónico
El centro del circuncónico general es el punto.
Las rectas tangentes a la circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,
Incónico
El centro de la incónica general es el punto.
Las rectas tangentes a la incónica general son las líneas laterales de △ ABC , dadas por las ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 .
Otras características
circuncónico
- Cada circuncónico no circular se encuentra con el circuncírculo de △ ABC en un punto distinto de A, B, C , a menudo llamado cuarto punto de intersección , dado por coordenadas trilineales.
- Si es un punto de la circuncónica general, entonces la recta tangente a la cónica en P viene dada por
- El circuncónico general se reduce a una parábola si y sólo si
- y a una hipérbola rectangular si y sólo si
- De todos los triángulos inscritos en una elipse determinada, el centroide del que tiene mayor área coincide con el centro de la elipse. [3] : p.147 La elipse dada, que pasa por los tres vértices de este triángulo y está centrada en el centroide del triángulo, se llama circumelipse de Steiner del triángulo .
Incónico
- La incónica general se reduce a una parábola si y sólo si
- en cuyo caso es tangente exteriormente a uno de los lados del triángulo y es tangente a las extensiones de los otros dos lados .
- Supongamos que y son puntos distintos, y dejemos que
- Como el parámetro t abarca los números reales , el lugar geométrico de X es una recta. Definir
- El lugar geométrico de X 2 es la incónica, necesariamente una elipse , dada por la ecuación
- dónde
- que se maximiza por las coordenadas baricéntricas del centroide α = β = γ = ⅓ .
- Las rectas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son concurrentes. [3] : pág.148
Extensión a cuadriláteros
Todos los centros de las elipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de recta que conecta los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero. [3] : pág.136
Ejemplos
- circuncónicos
- Circuncírculo , el único círculo que pasa por los tres vértices de un triángulo.
- Circumelipse de Steiner , la elipse única que pasa por los tres vértices de un triángulo y está centrada en el centroide del triángulo.
- Hipérbola de Kiepert , la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro.
- Hipérbola de Jeřábek , una hipérbola rectangular centrada en el círculo de nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como por su circuncentro , ortocentro y varios otros centros notables.
- Hipérbola de Feuerbach , una hipérbola rectangular que pasa por el ortocentro de un triángulo, el punto de Nagel y varios otros puntos notables, y tiene centro en el círculo de nueve puntos.
- Incónicos
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Circumcónico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Circumconic.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Incónico". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Inconic.html
- ^ abcdefg Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Asociación Matemática de América, 1979.
enlaces externos
- Circuncónico en MathWorld
- Incónico en MathWorld