Teorema de la media geométrica

Teorema sobre los triángulos rectángulos

área del cuadrado gris = área del rectángulo gris: ${\displaystyle h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}}$

En geometría euclidiana , el teorema de la media geométrica o teorema de la altura del triángulo rectángulo es una relación entre la altura de la hipotenusa en un triángulo rectángulo y los dos segmentos de línea que crea en la hipotenusa. Establece que la media geométrica de los dos segmentos es igual a la altura.

Expresado como fórmula matemática, si h denota la altitud en un triángulo rectángulo y p y q denotan los segmentos que la altitud crea en la hipotenusa, se puede expresar como: ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {pq}}}$

o en términos de áreas:

${\displaystyle h^{2}=pq}$.

La afirmación inversa también es cierta: cualquier triángulo cuya altura sea igual a la media geométrica de los dos segmentos de recta que lo forman es un triángulo rectángulo.

Aplicaciones

Construcción con regla y compás

El teorema se utiliza en las siguientes construcciones con regla y compás .

Cuadrar un rectángulo

La versión de la fórmula produce un método para construir un cuadrado de área igual a un rectángulo dado a través de los siguientes pasos: ${\displaystyle h^{2}=pq}$

(La imagen en la sección Demostración > Basado en semejanza representa los vértices y arcos mencionados)
Para un rectángulo con lados p y q denotamos su vértice superior izquierdo con D . Ahora extendemos el segmento q hacia su izquierda por p (usando el arco AE centrado en D ) y dibujamos un semicírculo con puntos finales A y B con el nuevo segmento p + q como su diámetro. Luego erigimos una línea perpendicular al diámetro en D que interseca el semicírculo en C . Según el teorema de Thales el ángulo entre AC y CB es un ángulo recto , el es un triángulo rectángulo , y por lo tanto se aplica el teorema: su identidad muestra directamente que un cuadrado con el área del rectángulo (igual a ) se puede dibujar usando exactamente DC como lado del cuadrado, porque DC es h . ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle pq}$

Construyendo una raíz cuadrada

Construcción de ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ estableciendo q en 1 (tenga en cuenta que algunas letras son diferentes a las utilizadas en el resto del artículo, en particular, el DC de los artículos es BF en la imagen)

El método anterior de Cuadrar un rectángulo también permite la construcción de raíces cuadradas (ver número construible ) comenzando con un rectángulo cuyo lado q es 1, ya que entonces la primera versión de la fórmula se convierte en , lo que demuestra que DC ( h en la fórmula) será fácilmente la raíz de p . ^[1] ${\displaystyle h={\sqrt {p\times 1}}}$

Relación con otros teoremas

Desigualdad AM-GM

Otra aplicación del teorema proporciona una prueba geométrica de la desigualdad AM-GM en el caso de dos números. Para los números p y q se construye un semicírculo con diámetro p + q . Ahora la altura representa la media geométrica y el radio la media aritmética de los dos números. Como la altura siempre es menor o igual que el radio, esto produce la desigualdad. ^[2]

Teorema de la media geométrica como caso especial del teorema de la cuerda :
${\displaystyle |CD||DE|=|AD||DB|\Leftrightarrow h^{2}=pq}$

El teorema también puede considerarse como un caso especial del teorema de las cuerdas que se cruzan para un círculo, ya que el inverso del teorema de Tales asegura que la hipotenusa del triángulo rectángulo es el diámetro de su círculo circunscrito . ^[1]

Historia

El teorema se atribuye generalmente a Euclides (ca. 360–280 a. C.), quien lo enunció como corolario de la proposición 8 en el libro VI de sus Elementos . En la proposición 14 del libro II, Euclides da un método para elevar al cuadrado un rectángulo, que coincide esencialmente con el método dado aquí. Sin embargo, Euclides proporciona una prueba ligeramente más complicada de la corrección de la construcción en lugar de basarse en el teorema de la media geométrica. ^{[1] [3]}

Prueba

Basado en la similitud

${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ADC\sim \triangle DBC}$

Prueba del teorema :

Los triángulos △ ADC , △ BCD son semejantes , ya que:

• Consideremos los triángulos △ ABC , △ ACD ; aquí tenemos por tanto por el postulado AA $${\displaystyle \angle ACB=\angle ADC=90^{\circ },\quad \angle BAC=\angle CAD;}$$ $${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACD.}$$
• Además, consideremos los triángulos △ ABC , △ BCD ; aquí tenemos por tanto por el postulado AA $${\displaystyle \angle ACB=\angle BDC=90^{\circ },\quad \angle ABC=\angle CBD;}$$ $${\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

Por lo tanto, ambos triángulos △ ACD , △ BCD son semejantes a △ ABC y a ellos mismos, es decir $${\displaystyle \triangle ACD\sim \triangle ABC\sim \triangle BCD.}$$

Debido a la similitud obtenemos la siguiente igualdad de razones y su reordenamiento algebraico produce el teorema: ^[1]

${\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\,\Leftrightarrow \,h^{2}=pq\,\Leftrightarrow \,h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}$

Prueba de recíproco:

Para el caso inverso, tenemos un triángulo △ ABC en el que se cumple y necesitamos demostrar que el ángulo en C es un ángulo recto. Ahora, debido a que también tenemos Junto con los triángulos △ ADC , △ BDC tienen un ángulo de igual tamaño y tienen pares de catetos correspondientes con la misma razón. Esto significa que los triángulos son similares, lo que da como resultado: ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle h^{2}=pq}$ ${\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}.}$ ${\displaystyle \angle ADC=\angle CDB}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ACB&=\angle ACD+\angle DCB\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle DBC)\\&=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)\\&=90^{\circ }\end{aligned}}}$

Basado en la razón trigonométrica

${\displaystyle \tan \alpha \cdot \tan \beta ={\frac {h}{p}}\cdot {\frac {h}{q}}\,\implies \tan \alpha \cdot \cot \alpha ={\frac {h^{2}}{pq}}\implies 1={\frac {h^{2}}{pq}}\implies h={\sqrt {pq}}}$

Basado en el teorema de Pitágoras

Demostración con el teorema de Pitágoras

En el marco del teorema de la media geométrica hay tres triángulos rectángulos △ ABC , △ ADC y △ DBC en los que el teorema de Pitágoras da como resultado:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-q^{2}\\h^{2}&=b^{2}-p^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}\end{aligned}}}$

Sumando las dos primeras ecuaciones y luego utilizando la tercera obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}2h^{2}&=a^{2}+b^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=c^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=(p+q)^{2}-p^{2}-q^{2}\\&=2pq\\\therefore \ h^{2}&=pq.\end{aligned}}}$

Lo que finalmente produce la fórmula del teorema de la media geométrica. ^[4]

Basado en disección y reordenamiento

Diseccionando el triángulo rectángulo a lo largo de su altura h se obtienen dos triángulos semejantes, que pueden ampliarse y ordenarse de dos maneras alternativas para formar un triángulo rectángulo más grande con lados perpendiculares de longitudes p + h y q + h . Una de estas disposiciones requiere un cuadrado de área h ² para completarse, la otra un rectángulo de área pq . Dado que ambas disposiciones dan como resultado el mismo triángulo, las áreas del cuadrado y del rectángulo deben ser idénticas.

Basado en mapeos de cizallamiento

El cuadrado de la altitud se puede transformar en un rectángulo de área igual con lados p y q con la ayuda de tres aplicaciones de corte (las aplicaciones de corte preservan el área):

Mapeos de cizallamiento con sus líneas fijas asociadas (punteadas), comenzando con el cuadrado original como preimagen, cada paralelogramo muestra la imagen de un mapeo de cizallamiento de la figura a su izquierda

Referencias

1. Wellstein, Hartmut; Kirsche, Peter (16 de junio de 2009). Elementargeometrie (en alemán). Springer-Verlag. ISBN 978-3-8348-0856-1.
2. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (4 de agosto de 2011). Iconos de las matemáticas: una exploración de veinte imágenes clave. MAA. ISBN 978-0-88385-352-8.
3. "Elementos de Euclides, Introducción". aleph0.clarku.edu . Consultado el 17 de septiembre de 2024 .
4. Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4347-5.

Enlaces externos

• Media geométrica en el punto de corte del nudo