Hipotenusa

Lado más largo de un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto

Un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

En geometría , una hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto . ^[1] Es el lado más largo de cualquier triángulo de este tipo. La longitud de la hipotenusa se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras , que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos catetos. Matemáticamente, esto se puede escribir como , donde a es la longitud de un cateto, b es la longitud de otro cateto y c es la longitud de la hipotenusa. ^[2] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Por ejemplo, si uno de los otros lados tiene una longitud de 3 (al cuadrado, 9) y el otro tiene una longitud de 4 (al cuadrado, 16), entonces sus cuadrados suman 25. La longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de 25, es decir, 5. En otras palabras, si y , entonces . ${\displaystyle a=3}$ ${\displaystyle b=4}$ ${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=5}$

Etimología

La palabra hipotenusa se deriva del griego ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. γραμμή o πλευρά ), que significa "[lado] que subtiende el ángulo recto" ( Apolodoro ), ^[3] ὑπ οτείνουσα hupoteinousa siendo el participio presente activo femenino del verbo ὑποτείνω hupo -teinō "estirar debajo, subtender", de τείνω teinō "estirar, extender". El participio nominalizado, ἡ ὑποτείνουσα , se usó para la hipotenusa de un triángulo en el siglo IV a. C. (atestiguado en Platón , Timeo 54d). El término griego fue prestado al latín tardío , como hipotēnūsa . ^{[4] [ se necesita mejor fuente ] [5]} La ortografía en -e , como hipotenusa , es de origen francés ( Estienne de La Roche 1520). ^[6]

Calcular la hipotenusa

La longitud de la hipotenusa se puede calcular utilizando la función de raíz cuadrada implícita en el teorema de Pitágoras . Usando la notación común de que la longitud de los dos catetos (o catetos ) del triángulo (los lados perpendiculares entre sí) son a y b y la de la hipotenusa es c , tenemos

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

El teorema de Pitágoras, y por tanto esta longitud, también se puede derivar de la ley de los cosenos observando que el ángulo opuesto a la hipotenusa es de 90° y notando que su coseno es 0:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Muchos lenguajes informáticos admiten la función estándar ISO C hipot ( x , y ), que devuelve el valor anterior. ^[7] La ​​función está diseñada para no fallar cuando el cálculo sencillo pueda desbordarse o no y puede ser un poco más precisa y, a veces, significativamente más lenta.

Algunas calculadoras científicas ^{[ ¿cuáles? ]} proporciona una función para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares . Esto proporciona tanto la longitud de la hipotenusa como el ángulo que forma la hipotenusa con la línea base ( c ₁ arriba) al mismo tiempo cuando se dan x e y . El ángulo devuelto normalmente viene dado por atan2 ( y , x ).

Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de dos ángulos agudos, y , del triángulo rectángulo. ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

Dada la longitud de la hipotenusa y de un cateto , la relación es: ${\displaystyle c\,}$ ${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

La función inversa trigonométrica es:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

en el cual está el ángulo opuesto al cateto . ${\displaystyle \beta \,}$ ${\displaystyle b\,}$

El ángulo adyacente de los catetos es = 90° – ${\displaystyle b\,}$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \beta \,}$

También se puede obtener el valor del ángulo mediante la ecuación: ${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

en el cual está el otro cateto. ${\displaystyle a\,}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• cateto
• Triángulo
• Diagonal del espacio
• número sin hipotenusa
• Geometría del taxi
• Trigonometría
• Triángulos rectángulos especiales
• Pitágoras
• Norma_(matemáticas)#Norma_euclidiana

Notas

1. Chisholm, Hugh, ed. (1911). «Triángulo (geometría)»  . Encyclopædia Britannica (undécima ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge - vía Wikisource .
2. Jr, Jesse Moland (agosto de 2009). ¡Odio la trigonometría!: Una guía práctica para comprender la trigonometría. Jesse Moland. pag. 1.ISBN​ 978-1-4486-4707-1.
3. u(po/, tei/nw, pleura/. Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; Un léxico griego-inglés en el Proyecto Perseus
4. "hipotenusa | Origen y significado de hipotenusa según el Diccionario de Etimología en línea". www.etymonline.com . Consultado el 14 de mayo de 2019 .
5. "definición de hipotenusa y origen de la palabra". Diccionario Collins . Collins . Consultado el 12 de abril de 2022 .
6. Estienne de La Roche, l'Arismetique (1520), fol. 221r (citado después de TLFi).
7. "hipotético (3)". Manual del programador de Linux . Consultado el 4 de diciembre de 2021 .

Referencias

• Hipotenusa en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Hipotenusa". MundoMatemático .