En geometría , un centro homotético (también llamado centro de semejanza o centro de similitud ) es un punto desde el cual al menos dos figuras geométricamente semejantes pueden verse como una dilatación o contracción una de la otra. Si el centro es externo , las dos figuras son directamente semejantes entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido de rotación. Si el centro es interno , las dos figuras son imágenes especulares a escala una de la otra; sus ángulos tienen sentido opuesto.
Si dos figuras geométricas poseen un centro homotético, son semejantes entre sí; en otras palabras, deben tener los mismos ángulos en los puntos correspondientes y solo se diferencian en su escala relativa. El centro homotético y las dos figuras no tienen por qué estar en el mismo plano; pueden relacionarse mediante una proyección desde el centro homotético.
Los centros homotéticos pueden ser externos o internos. Si el centro es interno, las dos figuras geométricas son imágenes especulares a escala una de la otra; en lenguaje técnico, tienen quiralidad opuesta . Un ángulo en el sentido de las agujas del reloj en una figura correspondería a un ángulo en el sentido contrario de las agujas del reloj en la otra. Por el contrario, si el centro es externo, las dos figuras son directamente similares entre sí; sus ángulos tienen el mismo sentido.
Los círculos son geométricamente similares entre sí y simétricos en espejo. Por lo tanto, un par de círculos tiene ambos tipos de centros homotéticos, interno y externo, a menos que los centros sean iguales o los radios sean iguales; estos casos excepcionales se tratan después de la posición general . Estos dos centros homotéticos se encuentran en la línea que une los centros de los dos círculos dados, que se llama línea de centros (Figura 3). También se pueden incluir círculos con radio cero (ver casos excepcionales), y también se puede usar radio negativo, intercambiando externo e interno.
Para un par dado de círculos, los centros homotéticos interno y externo se pueden encontrar de varias maneras. En geometría analítica , el centro homotético interno es el promedio ponderado de los centros de los círculos, ponderado por el radio del círculo opuesto: la distancia del centro del círculo al centro interno es proporcional a ese radio, por lo que la ponderación es proporcional al radio opuesto . Denotando los centros de los círculos C 1 , C 2 por ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) y sus radios por r 1 , r 2 y denotando el centro por ( x 0 , y 0 ) , esto es: El centro externo se puede calcular por la misma ecuación, pero considerando uno de los radios como negativo; cualquiera de los dos produce la misma ecuación, que es: De manera más general, tomando ambos radios con el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos) se obtiene el centro interno, mientras que tomando los radios con signos opuestos (uno positivo y el otro negativo) se obtiene el centro externo. Tenga en cuenta que la ecuación para el centro interno es válida para cualquier valor (a menos que ambos radios sean cero o uno sea el negativo del otro), pero la ecuación para el centro externo requiere que los radios sean diferentes, de lo contrario implica división por cero.
En geometría sintética se trazan dos diámetros paralelos, uno para cada circunferencia; estos forman el mismo ángulo α con la línea de centros. Las líneas A 1 A 2 , B 1 B 2 trazadas a través de los puntos finales correspondientes de esos radios, que son puntos homólogos, se intersecan entre sí y a la línea de centros en el centro homotético externo . Por el contrario, las líneas A 1 B 2 , B 1 A 2 trazadas a través de un punto final y el punto final opuesto de su homólogo se intersecan entre sí y a la línea de centros en el centro homotético interno .
Como caso límite de esta construcción, una línea tangente a ambos círculos (una línea bitangente) pasa por uno de los centros homotéticos, ya que forma ángulos rectos con ambos diámetros correspondientes, que son, por lo tanto, paralelos; consulte las líneas tangentes a dos círculos para obtener más detalles. Si los círculos caen en lados opuestos de la línea, pasa por el centro homotético interno, como en A 2 B 1 en la figura anterior. Por el contrario, si los círculos caen en el mismo lado de la línea, pasa por el centro homotético externo (no se muestra en la imagen).
Si los círculos tienen el mismo radio (pero diferentes centros), no tienen centro homotético externo en el plano afín : en geometría analítica esto da como resultado una división por cero, mientras que en geometría sintética las líneas A 1 A 2 , B 1 B 2 son paralelas a la línea de centros (tanto para las líneas secantes como para las líneas bitangentes) y, por lo tanto, no tienen intersección. Un centro externo puede definirse en el plano proyectivo como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de esta línea. Este es también el límite del centro externo si los centros de los círculos son fijos y los radios varían hasta que sean iguales.
Si los círculos tienen el mismo centro pero radios diferentes, tanto el centro externo como el interno coinciden con el centro común de los círculos. Esto se puede ver en la fórmula analítica y también es el límite de los dos centros homotéticos, ya que los centros de los dos círculos se varían hasta que coinciden, manteniendo los radios iguales. Sin embargo, no hay una línea de centros y la construcción sintética falla ya que las dos líneas paralelas coinciden.
Si un radio es cero pero el otro es distinto de cero (un punto y un círculo), tanto el centro externo como el interno coinciden con el punto (centro del círculo de radio cero).
Si dos circunferencias son idénticas (mismo centro, mismo radio), el centro interno es su centro común, pero no hay un centro externo bien definido; propiamente, la función del espacio de parámetros de dos circunferencias en el plano al centro externo tiene una discontinuidad no removible en el lugar geométrico de las circunferencias idénticas. En el límite de dos circunferencias con el mismo radio pero centros distintos que pasan a tener el mismo centro, el centro externo es el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, que puede ser cualquier cosa, por lo que no existe límite para todos los pares posibles de tales circunferencias.
Por el contrario, si ambos radios son cero (dos puntos) pero los puntos son distintos, el centro externo puede definirse como el punto en el infinito correspondiente a la pendiente de la línea de centros, pero no existe un centro interno bien definido.
En general, una línea que pasa por un centro homotético intersecta cada uno de sus círculos en dos lugares. De estos cuatro puntos, se dice que dos son homólogos si los radios trazados hacia ellos forman el mismo ángulo con la línea que une los centros; por ejemplo, los puntos Q, Q' en la Figura 4. Los puntos que son colineales con respecto al centro homotético pero no son homólogos se dicen antihomólogos ; [1] por ejemplo, los puntos Q, P' en la Figura 4.
Cuando dos rayos del mismo centro homotético intersecan los círculos, cada conjunto de puntos antihomólogos se encuentra en un círculo.
Considérense los triángulos △ EQS , △ EQ'S' (Figura 4).
Son similares porque
dado que E es el centro homotético. De esa similitud, se deduce que
Por el teorema del ángulo inscrito ,
Como ∠ QSR' es suplementario a ∠ ESQ ,
En el cuadrilátero QSR'P' ,
lo que significa que puede inscribirse en un círculo . Del teorema de la secante , se deduce que
De la misma manera, se puede demostrar que PRS'Q' puede inscribirse en un círculo y
La prueba es similar para el centro homotético interno I : el segmento RQ' se ve en el mismo ángulo desde P y S' , lo que significa que R, P, S', Q' se encuentran en un círculo. Luego, a partir del teorema de las cuerdas que se cortan , de manera similar , QSP'R' puede inscribirse en un círculo y
Dos círculos tienen un eje radical , que es la línea de puntos desde los cuales las tangentes a ambos círculos tienen la misma longitud. De manera más general, cada punto en el eje radical tiene la propiedad de que sus potencias relativas a los círculos son iguales. El eje radical siempre es perpendicular a la línea de centros, y si dos círculos se intersecan, su eje radical es la línea que une sus puntos de intersección. Para tres círculos, se pueden definir tres ejes radicales, uno para cada par de círculos ( C 1 / C 2 , C 1 / C 3 , C 2 / C 3 ); notablemente, estos tres ejes radicales se intersecan en un solo punto, el centro radical . Las tangentes dibujadas desde el centro radical a los tres círculos tendrían todas la misma longitud.
Se pueden utilizar dos pares cualesquiera de puntos antihomólogos para encontrar un punto en el eje radical. Consideremos los dos rayos que emanan del centro homotético externo E en la Figura 4. Estos rayos intersecan los dos círculos dados (verde y azul en la Figura 4) en dos pares de puntos antihomólogos, Q, P' para el primer rayo, y S, R' para el segundo rayo. Estos cuatro puntos se encuentran en un solo círculo, que interseca ambos círculos dados. Por definición, la línea QS es el eje radical del nuevo círculo con el círculo verde dado, mientras que la línea P'R' es el eje radical del nuevo círculo con el círculo azul dado. Estas dos líneas se intersecan en el punto G , que es el centro radical del nuevo círculo y de los dos círculos dados. Por lo tanto, el punto G también se encuentra en el eje radical de los dos círculos dados.
Por cada par de puntos antihomólogos de dos circunferencias existe una tercera circunferencia que es tangente a las dadas y las toca en los puntos antihomólogos.
Lo inverso también es cierto: toda circunferencia que es tangente a otras dos circunferencias las toca en un par de puntos antihomólogos.
Sean nuestros dos círculos centros O 1 , O 2 (Figura 5). E es su centro homotético externo. Construimos un rayo arbitrario desde E que interseca los dos círculos en P, Q, P' y Q' . Extendemos O 1 Q , O 2 P' hasta que se intersequen en T 1 . Se demuestra fácilmente que los triángulos △ O 1 PQ , △ O 2 P'Q' son semejantes debido a la homotecia . También son isósceles porque ( radio ), por lo tanto Por lo tanto △ T 1 P'Q también es isósceles y se puede construir un círculo con centro T 1 y radio Este círculo es tangente a los dos círculos dados en los puntos Q, P' .
La prueba para el otro par de puntos antihomólogos ( P, Q' ), así como en el caso del centro homotético interno, es análoga.
Si construimos los círculos tangentes para cada par posible de puntos antihomólogos obtenemos dos familias de círculos, una para cada centro homotético. La familia de círculos del centro homotético externo es tal que cada círculo tangente contiene ambos círculos dados o ninguno (Figura 6). Por otra parte, los círculos de la otra familia siempre contienen sólo uno de los círculos dados (Figura 7).
Todas las circunferencias de una familia tangente tienen un centro radical común y éste coincide con el centro homotético.
Para demostrarlo, considérense dos semirrectas que parten del centro homotético y que intersecan las circunferencias dadas (Figura 8). Existen dos circunferencias tangentes T 1 , T 2 que tocan las circunferencias dadas en los puntos antihomólogos. Como ya hemos demostrado, estos puntos se encuentran en una circunferencia C y, por tanto, las dos semirrectas son ejes radicales para C / T 1 , C / T 2 . Entonces, el punto de intersección de los dos ejes radicales también debe pertenecer al eje radical de T 1 / T 2 . Este punto de intersección es el centro homotético E .
Si los dos círculos tangentes tocan pares colineales de puntos antihomólogos —como en la Figura 5— entonces, debido a la homotecia , las potencias de E con respecto a los dos círculos tangentes son iguales, lo que significa que E pertenece al eje radical.
Cualquier par de círculos tiene dos centros de semejanza, por lo tanto, tres círculos tendrían seis centros de semejanza, dos por cada par distinto de círculos dados. Sorprendentemente, estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas, tres puntos en cada línea. He aquí una forma de demostrarlo.
Consideremos el plano de los tres círculos (Figura 9). Desplacemos cada punto central perpendicularmente al plano por una distancia igual al radio correspondiente. Los centros pueden estar desplazados hacia cualquier lado del plano. Los tres puntos desplazados definen un único plano. En ese plano construimos tres líneas a través de cada par de puntos. Las líneas perforan el plano de los círculos en los puntos H AB , H BC , H AC . Dado que el lugar geométrico de los puntos que son comunes a dos planos distintos y no paralelos es una línea, entonces necesariamente estos tres puntos se encuentran en dicha línea. De la semejanza de los triángulos △ H AB AA', △ H AB BB' vemos que
(donde r A , r B son los radios de los círculos) y por lo tanto H AB es de hecho el centro homotético de los dos círculos correspondientes. Podemos hacer lo mismo para H BC y H AC .
Si repetimos el procedimiento anterior para diferentes combinaciones de centros homotéticos (en nuestro método esto está determinado por el lado al cual desplazamos los centros de los círculos), obtendremos un total de cuatro líneas: tres centros homotéticos en cada línea (Figura 10).
He aquí otra forma de demostrarlo.
Sea C 1 , C 2 un par conjugado de círculos tangentes a los tres círculos dados (Figura 11). Por conjugado implicamos que ambos círculos tangentes pertenecen a la misma familia con respecto a cualquiera de los pares de círculos dados. Como ya hemos visto, el eje radical de cualesquiera dos círculos tangentes de la misma familia pasa por el centro homotético de los dos círculos dados. Dado que los círculos tangentes son comunes para los tres pares de círculos dados, entonces sus centros homotéticos pertenecen todos al eje radical de C 1 , C 2 , es decir, se encuentran en una sola línea.
Esta propiedad se explota en la solución general de Joseph Diaz Gergonne al problema de Apolonio . Dados los tres círculos, se pueden encontrar los centros homotéticos y, por lo tanto, el eje radical de un par de círculos solución. Por supuesto, hay infinitos círculos con el mismo eje radical, por lo que se realiza un trabajo adicional para averiguar exactamente cuáles dos círculos son la solución.
