En geometría algebraica y geometría computacional , la posición general es una noción de genericidad para un conjunto de puntos u otros objetos geométricos. Significa la situación del caso general , a diferencia de algunos casos más especiales o coincidentes que son posibles, lo que se conoce como posición especial . Su significado preciso difiere en diferentes entornos.
Por ejemplo, de manera genérica, dos rectas en el plano se cortan en un único punto (no son paralelas ni coincidentes). También se dice "dos rectas genéricas se cortan en un punto", lo que se formaliza con la noción de punto genérico . De manera similar, tres puntos genéricos en el plano no son colineales ; si tres puntos son colineales (más aún, si dos coinciden), se trata de un caso degenerado .
Esta noción es importante en matemáticas y sus aplicaciones, porque los casos degenerados pueden requerir un tratamiento excepcional; por ejemplo, al enunciar teoremas generales o dar enunciados precisos de los mismos, y al escribir programas de ordenador (véase complejidad genérica ).
Un conjunto de puntos en un espacio afín de dimensión d ( el espacio euclidiano de dimensión d es un ejemplo común) está en posición lineal general (o simplemente posición general ) si no k de ellos se encuentra en un plano de dimensión ( k − 2) para k = 2, 3, ..., d + 1. Estas condiciones contienen una redundancia considerable ya que, si la condición se cumple para algún valor k 0, entonces también debe cumplirse para todos los k con 2 ≤ k ≤ k 0. Por lo tanto, para que un conjunto que contenga al menos d + 1 puntos en un espacio afín de dimensión d esté en posición general, basta con que ningún hiperplano contenga más de d puntos, es decir, los puntos no satisfacen más relaciones lineales de las que deben. [1]
También se dice que un conjunto de como máximo d + 1 puntos en posición lineal general es afínmente independiente (este es el análogo afín de la independencia lineal de los vectores, o más precisamente de rango máximo), y d + 1 puntos en posición lineal general en el d -espacio afín son una base afín . Consulte la transformación afín para obtener más información.
De manera similar, n vectores en un espacio vectorial n -dimensional son linealmente independientes si y solo si los puntos que definen en el espacio proyectivo (de dimensión n − 1 ) están en posición lineal general.
Si un conjunto de puntos no está en posición lineal general, se denomina caso degenerado o configuración degenerada, lo que implica que satisfacen una relación lineal que no siempre tiene por qué cumplirse.
Una aplicación fundamental es que, en el plano, cinco puntos determinan una cónica , siempre que los puntos estén en posición general lineal (no hay tres colineales).
Esta definición se puede generalizar aún más: se puede hablar de puntos en posición general con respecto a una clase fija de relaciones algebraicas (por ejemplo, secciones cónicas ). En geometría algebraica, este tipo de condición se encuentra con frecuencia, en el sentido de que los puntos deben imponer condiciones independientes a las curvas que pasan por ellos.
Por ejemplo, cinco puntos determinan una cónica , pero en general seis puntos no se encuentran en una cónica, por lo que estar en posición general con respecto a las cónicas requiere que no haya seis puntos en una cónica.
La posición general se conserva en los mapas biregulares : si los puntos de la imagen satisfacen una relación, entonces, en un mapa biregular, esta relación puede volver a los puntos originales. Es significativo que el mapa de Veronese sea biregular; como los puntos en el mapa de Veronese corresponden a la evaluación de un polinomio de grado d en ese punto, esto formaliza la noción de que los puntos en posición general imponen condiciones lineales independientes sobre las variedades que pasan por ellos.
La condición básica para la posición general es que los puntos no caigan en subvariedades de grado inferior al necesario; en el plano no deben coincidir dos puntos, tres puntos no deben caer en una línea, seis puntos no deben caer en una cónica, diez puntos no deben caer en una cúbica, y lo mismo para un grado superior.
Sin embargo, esto no es suficiente. Mientras que nueve puntos determinan una cúbica, hay configuraciones de nueve puntos que son especiales con respecto a las cúbicas, a saber, la intersección de dos cúbicas. La intersección de dos cúbicas, que es de puntos (por el teorema de Bézout ), es especial en el sentido de que nueve puntos en posición general están contenidos en una única cúbica, mientras que si están contenidos en dos cúbicas, de hecho están contenidos en un lápiz ( sistema lineal de 1 parámetro ) de cúbicas, cuyas ecuaciones son las combinaciones lineales proyectivas de las ecuaciones para las dos cúbicas. Por lo tanto, tales conjuntos de puntos imponen una condición menos en las cúbicas que los contienen de lo esperado y, en consecuencia, satisfacen una restricción adicional, a saber, el teorema de Cayley-Bacharach de que cualquier cúbica que contenga ocho de los puntos necesariamente contiene el noveno. Enunciados análogos son válidos para un grado superior.
Para los puntos en el plano o en una curva algebraica, la noción de posición general se hace algebraicamente precisa por la noción de un divisor regular , y se mide por la desaparición de los grupos de cohomología de haces superiores del fibrado de líneas asociado (formalmente, haz invertible ). Como refleja la terminología, esto es significativamente más técnico que la imagen geométrica intuitiva, similar a cómo una definición formal de número de intersección requiere álgebra sofisticada. Esta definición se generaliza en dimensiones superiores a hipersuperficies (subvariedades de codimensión 1), en lugar de a conjuntos de puntos, y los divisores regulares se contrastan con divisores superabundantes , como se analiza en el teorema de Riemann-Roch para superficies .
Nótese que no todos los puntos en posición general son proyectivamente equivalentes, lo que es una condición mucho más fuerte; por ejemplo, cualesquiera k puntos distintos en la línea están en posición general, pero las transformaciones proyectivas son solo 3-transitivas, siendo el invariante de 4 puntos la relación cruzada .
Diferentes geometrías permiten diferentes nociones de restricciones geométricas. Por ejemplo, un círculo es un concepto que tiene sentido en la geometría euclidiana , pero no en la geometría lineal afín o la geometría proyectiva, donde los círculos no se pueden distinguir de las elipses, ya que uno puede comprimir un círculo hasta convertirlo en una elipse. De manera similar, una parábola es un concepto en la geometría afín, pero no en la geometría proyectiva, donde una parábola es simplemente un tipo de cónica. La geometría que se usa abrumadoramente en la geometría algebraica es la geometría proyectiva, y la geometría afín encuentra un uso significativo pero mucho menor.
Así, en la geometría euclidiana, tres puntos no colineales determinan un círculo (como el círculo circunscrito del triángulo que definen), pero cuatro puntos en general no lo hacen (sólo lo hacen para los cuadriláteros cíclicos ), por lo que la noción de "posición general con respecto a los círculos", es decir, "no hay cuatro puntos en un círculo" tiene sentido. En la geometría proyectiva, por el contrario, los círculos no se distinguen de las cónicas, y cinco puntos determinan una cónica, por lo que no existe una noción proyectiva de "posición general con respecto a los círculos".
La posición general es una propiedad de las configuraciones de puntos, o más generalmente de otras subvariedades (líneas en posición general, por lo que no hay tres concurrentes, y similares). La posición general es una noción extrínseca , que depende de una incrustación como subvariedad. De manera informal, las subvariedades están en posición general si no se pueden describir de manera más simple que otras. Un análogo intrínseco de la posición general es el tipo general , y corresponde a una variedad que no se puede describir mediante ecuaciones polinómicas más simples que otras. Esto se formaliza mediante la noción de dimensión de Kodaira de una variedad, y por esta medida los espacios proyectivos son las variedades más especiales, aunque hay otras igualmente especiales, es decir, que tienen dimensión de Kodaira negativa. Para las curvas algebraicas, la clasificación resultante es: línea proyectiva, toro, superficies de género superior ( ), y existen clasificaciones similares en dimensiones superiores, en particular la clasificación de Enriques-Kodaira de superficies algebraicas .
En la teoría de intersecciones , tanto en geometría algebraica como en topología geométrica , se utiliza la noción análoga de transversalidad : las subvariedades en general se intersecan transversalmente, es decir, con multiplicidad 1, en lugar de ser tangentes u otras intersecciones de orden superior.
Cuando se habla de teselaciones de Voronoi y triangulaciones de Delaunay en el plano, se dice que un conjunto de puntos en el plano está en posición general solo si no hay cuatro de ellos en el mismo círculo y no hay tres de ellos colineales. La transformación de elevación habitual que relaciona la triangulación de Delaunay con la mitad inferior de una envoltura convexa (es decir, dando a cada punto p una coordenada adicional igual a | p | 2 ) muestra la conexión con la vista plana: cuatro puntos se encuentran en un círculo o tres de ellos son colineales exactamente cuando sus contrapartes elevadas no están en posición lineal general.
En términos muy abstractos, la posición general es una discusión de propiedades genéricas de un espacio de configuración ; en este contexto, se refiere a propiedades que se cumplen en el punto genérico de un espacio de configuración o, equivalentemente, en un conjunto abierto de Zariski.
Esta noción coincide con la noción teórica de medida de genérico, es decir, que está presente casi en todas partes en el espacio de configuración, o equivalentemente, que los puntos elegidos al azar casi seguramente (con probabilidad 1) estarán en posición general.
