Eje radical

Todos los puntos cuyas distancias relativas a dos círculos son iguales.

  Dos círculos, centrados en M ₁ , M ₂

  Eje radical, con punto de muestra P

  Distancias tangenciales de ambos círculos a P

Las rectas tangentes deben tener la misma longitud para cualquier punto en el eje radical: si P , T ₁ , T ₂ se encuentran en una tangente común, entonces P es el punto medio de ${\displaystyle |PT_{1}|=|PT_{2}|.}$ ${\displaystyle {\overline {T_{1}T_{2}}}.}$

En geometría euclidiana , el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el conjunto de puntos cuyas potencias respecto de las circunferencias son iguales. Por esta razón al eje radical también se le llama línea eléctrica o bisectriz de potencia de los dos círculos. En detalle:

Para dos círculos c ₁ , c ₂ con centros M ₁ , M ₂ y radios r ₁ , r ₂ las potencias de un punto P con respecto a los círculos son

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2}|^{2}-r_{2}^{2}.}$

El punto P pertenece al eje radical, si

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P).}$

Si las circunferencias tienen dos puntos en común, el eje radical es la recta secante común de las circunferencias.
Si el punto P está fuera de los círculos, P tiene la misma distancia tangencial a ambos círculos.
Si los radios son iguales, el eje radical es la bisectriz del segmento de recta de M ₁ , M ₂ .
En cualquier caso el eje radical es una recta perpendicular a ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

Sobre notaciones

La notación radical eje fue utilizada por el matemático francés M. Chasles como ax radical . ^[1]
JV Poncelet utilizó cuerda ideal . ^[2]
J. Plücker introdujo el término Chordale . ^[3]
J. Steiner llamó al eje radical línea de igualdad de poderes ( en alemán : Linie der gleichen Potenzen ) que conducía a la línea eléctrica ( Potenzgerade ). ^[4]

Propiedades

Forma geométrica y su posición.

Sean los vectores de posición de los puntos . Entonces la ecuación definitoria de la recta radical se puede escribir como: ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {m}}_{1},{\vec {m}}_{2}}$ ${\displaystyle P,M_{1},M_{2}}$

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0}$

Definición y cálculo de ${\displaystyle d_{1},d_{2}}$

De la ecuación correcta se obtiene

• El conjunto de puntos del eje radical es de hecho una línea y es perpendicular a la línea que pasa por los centros del círculo.

( ¡es un vector normal al eje radical!) ${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$

Dividiendo la ecuación por , se obtiene la forma normal de Hesse . Al insertar los vectores de posición de los centros se obtienen las distancias de los centros al eje radical: ${\displaystyle 2|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$,

con . ${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|}$

( puede ser negativo si no está entre .) ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

Si los círculos se cruzan en dos puntos, la línea radical pasa por los puntos comunes. Si sólo se tocan, la línea radical es la tangente común.

Posiciones especiales

Eje radical: variaciones

• El eje radical de dos círculos que se cruzan es su recta secante común.

El eje radical de dos círculos que se tocan es su tangente común.

El eje radical de dos círculos que no se cruzan es la secante común de dos círculos equipower convenientes (ver más abajo).

círculos ortogonales

Los puntos de contacto de las tangentes que pasan se encuentran en el círculo ortogonal (verde) ${\displaystyle P}$

• Para un punto fuera de un círculo y los dos puntos tangentes, la ecuación se cumple y se encuentra en el círculo con centro y radio . El círculo se cruza ortogonalmente. Por eso: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle S_{i},T_{i}}$ ${\displaystyle |PS_{i}|^{2}=|PT_{i}|^{2}=\Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle S_{i},T_{i}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi _{i}(P)}}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle c_{i}}$

Si es un punto del eje radical, entonces los cuatro puntos se encuentran en un círculo que intersecta ortogonalmente a los círculos dados . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}}$ ${\displaystyle c_{o}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

• El eje radical consta de todos los centros de los círculos que intersecan ortogonalmente a los círculos dados.

Sistema de círculos ortogonales.

El método descrito en la sección anterior para la construcción de un lápiz de círculos, que intersecan ortogonalmente dos círculos dados, se puede extender a la construcción de dos sistemas de círculos que se cruzan ortogonalmente: ^{[5] [6]}

Sean dos círculos separados (como en el apartado anterior), sus centros y radios y su eje radical. Ahora, todos los círculos se determinarán con centros en la recta , que también tienen junto con la recta como eje radical. Si es un círculo cuyo centro tiene distancia al centro y radio . Del resultado de la sección anterior se obtiene la ecuación ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle \gamma _{2}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }}\quad }$, donde están fijos. ${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$

Con la ecuación se puede reescribir como: ${\displaystyle \delta _{2}=\delta -d_{1}}$

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$.

Sistema de círculos ortogonales: construcción.

Si se da el radio, a partir de esta ecuación se encuentra la distancia al eje radical (fijo) del nuevo centro. En el diagrama el color de los nuevos círculos es violeta. Cualquier círculo verde (ver diagrama) tiene su centro en el eje radical y cruza los círculos ortogonalmente y, por lo tanto, también todos los círculos nuevos (púrpura). Eligiendo el eje radical (rojo) como eje y y la línea como eje x, los dos lápices de círculos tienen las ecuaciones: ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \delta _{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$

púrpura: ${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

verde: ${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

( es el centro de un círculo verde). ${\displaystyle \;(0,y_{g})}$

Propiedades:
a) Dos círculos verdes cualesquiera se cruzan en el eje x en los puntos , los polos del sistema ortogonal de círculos. Eso significa que el eje x es la línea radical de los círculos verdes. b) Los círculos morados no tienen puntos en común. Pero, si se considera el plano real como parte del plano complejo, entonces dos círculos violetas cualesquiera se cruzan en el eje y (su eje radical común) en los puntos . ${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$
${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$

Sistema ortogonal parabólico

Círculos coaxiales: tipos.

Casos especiales:
a) En el caso de que los círculos verdes se toquen en el origen con el eje x como tangente común y los círculos morados tengan el eje y como tangente común. Este sistema de círculos se denomina círculos parabólicos coaxiales (ver más abajo). b) Reducirse a su centro , i. mi. , las ecuaciones se vuelven más simples y se obtiene . ${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$
${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}=0}$ ${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$

Conclusión:
a) Para cualquier real el lápiz de círculos ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ :}$

tiene la propiedad: El eje y es el eje radical de . ${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$

En el caso de los círculos se cruzan en puntos . ${\displaystyle w>0}$ ${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$ ${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$

En caso de que no tengan puntos en común. ${\displaystyle w<0}$

En caso de que se toquen en y el eje y es su tangente común. ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle (0,0)}$

b) Para cualquier real los dos lápices de círculos ${\displaystyle w}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

Formar un sistema de círculos ortogonales . Eso significa: dos círculos cualesquiera se cruzan ortogonalmente. ${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$

c) De las ecuaciones en b), se obtiene una representación libre de coordenadas:

Sistema ortogonal de círculos a polos dados. ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Para los puntos dados , su punto medio y su segmento de recta bisectriz de las dos ecuaciones ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle g_{12}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$

con on , pero no entre , y on ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g_{12}}$

describir el sistema ortogonal de círculos determinados unívocamente por los cuales son los polos del sistema. ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Porque también hay que prescribir los ejes del sistema. El sistema es parabólico : ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$

con una y otra vez . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Construcción con regla y compás:

Sistema ortogonal de círculos: construcción con regla y compás.

Un sistema de círculos ortogonales está determinado únicamente por sus polos : ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

1. Los ejes (ejes radicales) son las rectas y el segmento de recta bisectriz de los polos. ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle g_{12}}$
2. Los círculos (verdes en el diagrama) que pasan tienen sus centros en . Se pueden dibujar fácilmente. Para un punto el radio es . ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$
3. Para dibujar un círculo con el segundo lápiz (en el diagrama azul) con centro en , se determina el radio aplicando el teorema de Pitágoras : (ver diagrama). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle r_{M}}$ ${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$

En el caso de los ejes hay que elegirlos adicionalmente. El sistema es parabólico y se puede dibujar fácilmente. ${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$

círculos coaxiales

Definición y propiedades:

Sean dos círculos y sus funciones de potencia. Entonces para cualquier ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

es la ecuación de un círculo (ver más abajo). Tal sistema de círculos se llama círculos coaxiales generados por los círculos . (En el caso de la ecuación se describe el eje radical de .) ^{[7] [8]} ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

La función de potencia de es ${\displaystyle c(\lambda )}$

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$.

La ecuación normada (los coeficientes de son ) de es . ${\displaystyle x^{2},y^{2}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$

Un cálculo simple muestra:

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$tienen el mismo eje radical que . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Permitiendo avanzar hasta el infinito, se reconoce, que son miembros del sistema de círculos coaxiales: . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$

(E): Si se cruzan en dos puntos , cualquier círculo también contiene a, y la línea es su eje radical común. Un sistema así se llama elíptico . (P): Si son tangentes en , cualquier círculo es tangente a en el punto , también. La tangente común es su eje radical común. Un sistema así se llama parabólico . (H): Si no tienen ningún punto en común , entonces cualquier par del sistema también. El eje radical de cualquier par de círculos es el eje radical de . El sistema se llama hiperbólico . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle c(\lambda )}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

En detalle:

Introduciendo coordenadas tales que

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$,

entonces el eje y es su eje radical (ver arriba).

Al calcular la función de potencia se obtiene la ecuación circular normada: ${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

Completar el cuadrado y la sustitución (coordenada x del centro) produce la forma centrada de la ecuación ${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$.

En el caso de los círculos tienen los dos puntos. ${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

en común y el sistema de círculos coaxiales es elíptico .

En el caso de los círculos tienen puntos en común y el sistema es parabólico . ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$ ${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$

En el caso de los círculos no tienen ningún punto en común y el sistema es hiperbólico . ${\displaystyle r_{1}<d_{1}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

Ecuaciones alternativas:
1) En la ecuación definitoria de un sistema coaxial de círculos también se pueden utilizar múltiplos de las funciones de potencia.
2) La ecuación de uno de los círculos se puede sustituir por la ecuación del eje radical deseado. El eje radical puede verse como un círculo con un radio infinitamente grande. Por ejemplo:

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$,

Describe todos los círculos que tienen con el primer círculo la recta como eje radical. 3) Para expresar el estatus igual de los dos círculos, se suele utilizar la siguiente forma: ${\displaystyle x=x_{2}}$

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

Pero en este caso la representación de un círculo por los parámetros no es única . ${\displaystyle \mu ,\nu }$

Aplicaciones:
a) Las inversiones de círculos y las transformaciones de Möbius preservan ángulos y círculos generalizados . Por lo tanto, los sistemas ortogonales de círculos juegan un papel esencial en las investigaciones sobre estos mapeos. ^{[9] [10]}
b) En el electromagnetismo los círculos coaxiales aparecen como líneas de campo . ^[11]

Centro radical de tres círculos, construcción del eje radical.

Centro radical de tres círculos
El círculo verde intersecta los tres círculos ortogonalmente.

• Para tres círculos , de los cuales no hay dos concéntricos, hay tres ejes radicales . Si los centros de los círculos no se encuentran en una línea, los ejes radicales se cruzan en un punto común , el centro radical de los tres círculos. El círculo ortogonal centrado alrededor de dos círculos también es ortogonal al tercer círculo ( círculo radical ). ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ ${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Prueba: el eje radical contiene todos los puntos que tienen la misma distancia tangencial a los círculos . El punto de intersección de y tiene la misma distancia tangencial a los tres círculos. De ahí que también sea un punto del eje radical . ${\displaystyle g_{ik}}$ ${\displaystyle c_{i},c_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle g_{23}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{31}}$

Esta propiedad permite construir el eje radical de dos círculos con centros que no se cruzan : Dibujar un tercer círculo con centro no colineal a los centros dados que se cruza . Se pueden dibujar los ejes radicales . Su punto de intersección es el centro radical de los tres círculos y se encuentra en . La recta por la que es perpendicular es el eje radical . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle g_{13},g_{23}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{12}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle g_{12}}$

Método de construcción adicional:

Construcción del eje radical con círculos de igual potencia. Es . ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$

Todos los puntos que tienen la misma potencia con respecto a un círculo dado se encuentran en un círculo concéntrico a . Llamémoslo círculo de equipopotencia . Esta propiedad se puede utilizar para un método de construcción adicional del eje radical de dos círculos: ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$

Para dos círculos que no se cruzan , se pueden dibujar dos círculos de igualpotencia , que tienen la misma potencia con respecto a (ver diagrama). En detalle: . Si la potencia es lo suficientemente grande, los círculos tienen dos puntos en común, que se encuentran en el eje radical . ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$ ${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$ ${\displaystyle g_{12}}$

Relación con coordenadas bipolares

En general, dos círculos cualesquiera disjuntos y no concéntricos se pueden alinear con los círculos de un sistema de coordenadas bipolares . En ese caso, el eje radical es simplemente el eje - de este sistema de coordenadas. Cada círculo en el eje que pasa por los dos focos del sistema de coordenadas intersecta a los dos círculos ortogonalmente. Una colección máxima de círculos, todos con centros en una recta dada y todos los pares con el mismo eje radical, se conoce como lápiz de círculos coaxiales . ${\displaystyle y}$

Centro radical en coordenadas trilineales

Si los círculos se representan en coordenadas trilineales de la forma habitual, entonces es conveniente dar su centro radical como un determinante determinado. Específicamente, sea X = x  :  y  :  z un punto variable en el plano de un triángulo ABC con longitudes de lado a = | antes de Cristo |, b = | CA |, c = | AB |, y representa los círculos de la siguiente manera:

( dx + ey + fz )( hacha + by + cz ) + g ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( hx + iy + jz )( hacha + by + cz ) + k ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( lx + my + nz )( hacha + by + cz ) + p ( ayz + bzx + cxy ) = 0

Entonces el centro radical es el punto

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}}.}$

Plano radical e hiperplano

El plano radical de dos esferas no concéntricas en tres dimensiones se define de manera similar: es el lugar geométrico de los puntos a partir de los cuales las tangentes a las dos esferas tienen la misma longitud. ^[12] El hecho de que este lugar geométrico sea un plano se deriva por rotación en la tercera dimensión del hecho de que el eje radical es una línea recta.

La misma definición se puede aplicar a las hiperesferas en el espacio euclidiano de cualquier dimensión, dando el hiperplano radical de dos hiperesferas no concéntricas.

Notas

1. Michel Chasles, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Braunschweig, 1856, p. 312
2. Ph. Fischer: Lehrbuch der analytische Geometrie , Darmstadt 1851, Verlag Ernst Kern, p. 67
3. H. Schwarz: Die Elemente der analytischen Geometrie der Ebene , Verlag HW Schmidt, Halle, 1858, p. 218
4. Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen . En: Journal für die reine und angewandte Mathematik , Banda 1, 1826, p. 165
5. A. Schoenfliess, R. Courant: Einführung in die Analytische Geometrie der Ebene und des Raumes , Springer-Verlag, 1931, p. 113
6. C. Carathéodory: Funktionentheorie , Birkhäuser-Verlag, Basilea, 1961, ISBN 978-3-7643-0064-7, p. 46
7. Dan Pedoe: Círculos: una visión matemática , Asociación matemática de América, 2020, ISBN 9781470457327, p. dieciséis
8. R. Lachlan: Tratado elemental sobre geometría pura moderna , MacMillan&Co, Nueva York, 1893, pág. 200
9. Carathéodory: Funktionentheorie , p. 47.
10. R. Sauer: Ingenieur-Mathematik: Zweiter Band: Differentialgleichungen und Funktionentheorie , Springer-Verlag, 1962, ISBN 978-3-642-53232-0, p. 105
11. Clemens Schaefer: Elektrodynamik und Optik , Verlag: De Gruyter, 1950, ISBN 978-3-11-230936-0, p. 358.
12. Consulte el diccionario en línea Merriam-Webster.

Referencias

• RA Johnson (1960). Geometría euclidiana avanzada: tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 31–43. ISBN 978-0-486-46237-0.

Otras lecturas

• C. Stanley Ogilvy (1990). Excursiones en Geometría. Dover. págs. 17-23. ISBN 0-486-26530-7.
• HSM Coxeter , SL Greitzer (1967). Geometría revisada . Washington, DC : Asociación Matemática de América . págs. 31–36, 160–161. ISBN 978-0-88385-619-2.
• Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles", Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Línea radical". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema cordal". MundoMatemático .
• Animación en Cut-the-knot