En geometría , el círculo polar de un triángulo es el círculo cuyo centro es el ortocentro del triángulo y cuyo radio al cuadrado es
donde A, B, C denotan tanto los vértices del triángulo como las medidas de los ángulos en esos vértices; H es el ortocentro (la intersección de las alturas del triángulo ); D, E, F son los pies de las alturas de los vértices A, B, C respectivamente; R es el radio circunscrito del triángulo (el radio de su círculo circunscrito ); y a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo opuestos a los vértices A, B, C respectivamente. [1] : p. 176
Las primeras partes de la fórmula del radio reflejan el hecho de que el ortocentro divide las alturas en pares de segmentos de productos iguales. La fórmula trigonométrica para el radio muestra que el círculo polar tiene una existencia real solo si el triángulo es obtuso , por lo que uno de sus ángulos es obtuso y, por lo tanto, tiene un coseno negativo .
Dos círculos polares cualesquiera de dos triángulos en un sistema ortocéntrico son ortogonales . [1] : p. 177
Los círculos polares de los triángulos de un cuadrilátero completo forman un sistema coaxial . [1] : p. 179
La propiedad más importante del círculo polar es que el triángulo es autopolar; el polar de cada lado/punto es el lado/punto opuesto.
El círculo circunscrito de un triángulo, su círculo de nueve puntos , su círculo polar y el círculo circunscrito de su triángulo tangencial son coaxiales. [2] : p. 241
![{\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&={\overline {HA}}\times {\overline {HD}}={\overline {HB}}\times {\overline {HE}}={\overline {HC}}\times {\overline {HF}}\\[4pt]&=-4R^{2}\cos A\cos B\cos C\\[4pt]&=4R^{2}-{\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324e26fa5cbad3b3df49752b826167addcf416da)