Triángulos agudos y obtusos

Triángulos sin ángulo recto

Un triángulo agudo (o triángulo acutángulo ) es un triángulo con tres ángulos agudos (menos de 90°). Un triángulo obtuso (o triángulo de ángulos obtusos ) es un triángulo con un ángulo obtuso (mayor de 90°) y dos ángulos agudos. Dado que los ángulos de un triángulo deben sumar 180° en la geometría euclidiana , ningún triángulo euclidiano puede tener más de un ángulo obtuso. Los triángulos agudos y obtusos son dos tipos diferentes de triángulos oblicuos : triángulos que no son rectángulos porque no tienen un ángulo de 90°.

Propiedades

En todos los triángulos, el centroide (la intersección de las medianas , cada una de las cuales conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto) y el incentro (el centro del círculo que es internamente tangente a los tres lados) están en el interior de el triangulo. Sin embargo, mientras que el ortocentro y el circuncentro están en el interior de un triángulo agudo, están en el exterior de un triángulo obtuso.

El ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas del triángulo , cada una de las cuales conecta perpendicularmente un lado con el vértice opuesto . En el caso de un triángulo agudo, los tres segmentos se encuentran completamente en el interior del triángulo y, por lo tanto, se cruzan en el interior. Pero para un triángulo obtuso, las alturas de los dos ángulos agudos intersectan sólo las extensiones de los lados opuestos. Estas altitudes caen completamente fuera del triángulo, lo que resulta en su intersección entre sí (y por lo tanto con la altitud extendida desde el vértice del ángulo obtuso) que ocurre en el exterior del triángulo.

Del mismo modo, el circuncentro de un triángulo (la intersección de las bisectrices perpendiculares de los tres lados , que es el centro del círculo que pasa por los tres vértices) cae dentro de un triángulo agudo pero fuera de un triángulo obtuso.

El triángulo rectángulo es el caso intermedio: tanto su circuncentro como su ortocentro se encuentran en su límite.

En cualquier triángulo, dos medidas cualesquiera de ángulos A y B , lados opuestos a y b respectivamente, están relacionadas de acuerdo con ^{[1] : p. 264}

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.}$

Esto implica que el lado más largo de un triángulo obtuso es el opuesto al vértice del ángulo obtuso.

Un triángulo agudo tiene tres cuadrados inscritos , cada uno de los cuales coincide con un lado con parte de un lado del triángulo y con los otros dos vértices del cuadrado en los dos lados restantes del triángulo. (En un triángulo rectángulo dos de estos se fusionan en el mismo cuadrado, por lo que sólo hay dos cuadrados inscritos distintos). Sin embargo, un triángulo obtuso tiene sólo un cuadrado inscrito, uno de cuyos lados coincide con parte del lado más largo del triángulo. . ^{[2] : pág. 115}

Todos los triángulos en los que la recta de Euler es paralela a un lado son agudos. ^[3] Esta propiedad es válida para el lado BC si y sólo si ${\displaystyle (\tan B)(\tan C)=3.}$

Desigualdades

Lados

Si el ángulo C es obtuso, entonces para los lados a , b y c tenemos ^{[4] : ​​p.1, #74}

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},}$

con la desigualdad de la izquierda acercándose a la igualdad en el límite sólo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se acerca a 180°, y con la desigualdad de la derecha acercándose a la igualdad sólo cuando el ángulo obtuso se acerca a 90°.

Si el triángulo es agudo entonces

${\displaystyle a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

Altitud

Si C es el ángulo mayor y h _c es la altitud desde el vértice C , entonces para un triángulo agudo ^{[4] : ​​p.135, #3109}

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},}$

con la desigualdad opuesta si C es obtuso.

Medianas

Con el lado más largo c y _las medianas ma _y m b de los otros lados, ^{[4] : ​​p.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}$

para un triángulo agudo pero con la desigualdad invertida para un triángulo obtuso.

La mediana m _c del lado más largo es mayor o menor que el circunradio de un triángulo agudo u obtuso respectivamente: ^{[4] : p.136, #3113}

${\displaystyle m_{c}>R}$

para triángulos agudos, y lo contrario para triángulos obtusos.

Área

La desigualdad de Ono para el área A ,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},}$

es válido para todos los triángulos agudos pero no para todos los triángulos obtusos.

Funciones trigonométricas

Para un triángulo agudo tenemos, para los ángulos A , B y C , ^{[4] : ​​p.26, #954}

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

siendo válida la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con circunradio R , ^{[4] : p.141, #3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}}$

y ^{[4] : p.155, #S25}

${\displaystyle \cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.}$

Para un triángulo agudo, ^{[4] : p.115, #2874}

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, ^{[4] : p178, #241.1}

${\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.}$

Para cualquier triángulo, la identidad de la triple tangente establece que la suma de las tangentes de los ángulos es igual a su producto. Dado que un ángulo agudo tiene un valor tangente positivo mientras que un ángulo obtuso tiene uno negativo, la expresión del producto de las tangentes muestra que

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0}$

para triángulos agudos, mientras que la dirección opuesta de la desigualdad se cumple para triángulos obtusos.

Tenemos ^{[4] : p.26, #958}

${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

para triángulos agudos y lo contrario para triángulos obtusos.

Para todos los triángulos agudos, ^{[4] : p.40, #1210}

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.}$

Para todos los triángulos agudos con inradio r y circunradio R , ^{[4] : ​​p.53, #1424}

${\displaystyle a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

Para un triángulo agudo con área K , ^{[4] : p.103, #2662}

${\displaystyle ({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.}$

Circunradio, inradio y exradio

En un triángulo agudo, la suma del circunradio R y el inradio r es menor que la mitad de la suma de los lados más cortos a y b : ^{[4] : p.105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

mientras que la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con medianas m _a , m _b y m _c y circunradio R , tenemos ^{[4] : ​​p.26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

mientras que la desigualdad opuesta se cumple para un triángulo obtuso.

Además, un triángulo agudo satisface ^{[4] : ​​p.26, #954}

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

en términos de los radios excirculares r _a , r _b y r _c , nuevamente con la desigualdad inversa válida para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con semiperímetro s , ^{[4] : p.115, #2874}

${\displaystyle s-r>2R,}$

y la desigualdad inversa se cumple para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo con área K , ^{[4] : p.185, #291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.}$

Distancias que involucran centros de triángulos

Para un triángulo agudo la distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H satisface ^{[4] : ​​p.26, #954}

${\displaystyle OH<R,}$

siendo válida la desigualdad opuesta para un triángulo obtuso.

Para un triángulo agudo, la distancia entre el centro I de la circunferencia y el ortocentro H satisface ^{[4] : ​​p.26, #954}

${\displaystyle IH<r{\sqrt {2}},}$

donde r es el inradio , con la desigualdad inversa para un triángulo obtuso.

cuadrado inscrito

Si uno de los cuadrados inscritos de un triángulo agudo tiene una longitud de lado x _a y otro tiene una longitud de lado x _b con x _a < x _b , entonces ^{[2] : p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.}$

dos triangulos

Si dos triángulos obtusos tienen lados ( a, b, c ) y ( p, q, r ) siendo c y r los lados más largos respectivos, entonces ^{[4] : p.29, #1030}

${\displaystyle ap+bq<cr.}$

Ejemplos

Triángulos con nombres especiales

El triángulo de Calabi , que es el único triángulo no equilátero en el que el cuadrado más grande que cabe en el interior se puede colocar de tres maneras diferentes, es obtuso e isósceles con ángulos base 39,1320261...° y tercer ángulo 101,7359477.. .°.

El triángulo equilátero , con tres ángulos de 60°, es agudo.

El triángulo de Morley , formado a partir de cualquier triángulo por las intersecciones de sus trisectores de ángulos adyacentes, es equilátero y, por tanto, agudo.

El triángulo áureo es el triángulo isósceles en el que la proporción entre el lado duplicado y el lado base es igual a la proporción áurea . Es agudo, con ángulos de 36°, 72° y 72°, lo que lo convierte en el único triángulo con ángulos en la proporción 1:2:2. ^[5]

El triángulo heptagonal , de lados coincidentes con un lado, la diagonal más corta y la diagonal más larga de un heptágono regular , es obtuso, con ángulos y ${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$ ${\displaystyle 4\pi /7.}$

Triangulos con lados enteros

El único triángulo con números enteros consecutivos para una altura y los lados es agudo, teniendo lados (13,14,15) y altura desde el lado 14 igual a 12.

El triángulo de perímetro más pequeño con lados enteros en progresión aritmética, y el triángulo de perímetro más pequeño de lados enteros con lados distintos, es obtuso: es decir, el que tiene lados (2, 3, 4).

Los únicos triángulos en los que un ángulo es el doble de otro y tienen lados enteros en progresión aritmética son los agudos: es decir, el triángulo (4,5,6) y sus múltiplos. ^[6]

No existen triángulos agudos de lados enteros con área = perímetro , pero sí tres obtusos, de lados ^[7] (6,25,29), (7,15,20) y (9,10,17).

El triángulo entero más pequeño de lados con tres medianas racionales es agudo, con lados ^[8] (68, 85, 87).

Los triángulos de garza tienen lados y área entera. El triángulo oblicuo de Heron con el perímetro más pequeño es agudo, con lados (6, 5, 5). Los dos triángulos oblicuos de Garza que comparten el área más pequeña son el agudo de lados (6, 5, 5) y el obtuso de lados (8, 5, 5), siendo el área de cada uno de 12.

Ver también

• Triángulo plateado

Referencias

1. Posamentier, Alfred S. y Lehmann, Ingmar. Los secretos de los triángulos , Libros Prometheus, 2012.
2. Oxman, Víctor y Stupel, Moshe. "¿Por qué las longitudes de los lados de los cuadrados inscritos en un triángulo están tan cerca unas de otras?" Foro Geométricorum 13, 2013, 113-115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html
3. Wladimir G. Boskoff, Laurent¸iu Homentcovschi y Bogdan D. Suceava, "Gossard's Perspector and Projective Consequences", Forum Geométricorum , volumen 13 (2013), 169–184. [1]
4. Desigualdades propuestas en “ Crux Mathematicorum ” , [2].
5. Elam, Kimberly (2001). Geometría del Diseño . Nueva York: Princeton Architectural Press. ISBN 1-56898-249-6.
6. Mitchell, Douglas W., "Los triángulos 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 y 3:5:7", Mathematical Gazette 92, julio de 2008.
7. LE Dickson , Historia de la teoría de los números , vol.2 , 181.
8. Sierpiński, Wacław. Triángulos pitagóricos , Dover Publ., 2003 (orig. 1962).

• Weisstein, Eric W. "Triángulo agudo". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Triángulo obtuso". MundoMatemático .