En geometría , el punto Lemoine , punto Grebe o punto simediano es la intersección de las tres simedianas ( medianas reflejadas en las bisectrices de los ángulos asociados ) de un triángulo.
Ross Honsberger calificó su existencia como "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". [1]
En la Enciclopedia de los Centros de Triángulos, el punto simediano aparece como el sexto punto, X(6). [2] En el caso de un triángulo no equilátero, se encuentra en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro, y podría ser cualquier punto del mismo. [3]
El punto simediano de un triángulo cuyos lados son a , b y c tiene coordenadas trilineales homogéneas [ a : b : c ] . [2]
Una forma algebraica de encontrar el punto simediano es expresar el triángulo mediante tres ecuaciones lineales con dos incógnitas dadas por las formas normales de Hesse de las líneas correspondientes. La solución de este sistema sobredeterminado hallada por el método de mínimos cuadrados proporciona las coordenadas del punto. También resuelve el problema de optimización para encontrar el punto con una suma mínima de distancias al cuadrado de los lados. El punto de Gergonne de un triángulo es el mismo que el punto simediano del triángulo de contacto del triángulo . [4]
El punto simediano de un triángulo ABC se puede construir de la siguiente manera: sean las rectas tangentes del círculo circunscrito de ABC a través de B y C las que se cortan en A' , y definamos análogamente B' y C' ; entonces A'B'C' es el triángulo tangente de ABC , y las rectas AA' , BB' y CC' se cortan en el punto simediano de ABC . [a] Se puede demostrar que estas tres rectas se cortan en un punto utilizando el teorema de Brianchon . La recta AA' es una simediana, como se puede ver dibujando el círculo con centro A' a través de B y C . [ cita requerida ]
El matemático francés Émile Lemoine demostró la existencia del punto simediano en 1873, y Ernst Wilhelm Grebe publicó un artículo sobre él en 1847. Simon Antoine Jean L'Huilier también había observado el punto en 1809. [1]
Para la extensión a un tetraedro irregular, véase symmedian .