En geometría , las simedianas son tres rectas particulares asociadas a cada triángulo . Se construyen tomando una mediana del triángulo (una línea que conecta un vértice con el punto medio del lado opuesto) y reflejando la línea sobre la bisectriz del ángulo correspondiente (la línea que pasa por el mismo vértice que divide el ángulo por la mitad). El ángulo formado por la simediana y la bisectriz tiene la misma medida que el ángulo entre la mediana y la bisectriz, pero está al otro lado de la bisectriz.
Los tres simmedianos se encuentran en el centro de un triángulo llamado punto de Lemoine . Ross Honsberger ha calificado su existencia como "una de las joyas de la corona de la geometría moderna". [1]
Muchas veces en geometría, si tomamos tres rectas especiales que pasan por los vértices de un triángulo, o cevianas , entonces sus reflexiones sobre las bisectrices de los ángulos correspondientes, llamadas rectas isogonales , también tendrán propiedades interesantes. Por ejemplo, si tres cevianas de un triángulo se cruzan en un punto P , entonces sus líneas isogonales también se cruzan en un punto, llamado conjugado isogonal de P.
Los simmedianos ilustran este hecho.
Este punto se llama punto simediano del triángulo , o alternativamente punto de Lemoine o punto de Grebe .
Las líneas de puntos son las bisectrices de los ángulos; las simedianas y las medianas son simétricas con respecto a las bisectrices de los ángulos (de ahí el nombre "simediana").
Sea △ ABC un triángulo. Construya un punto D cortando las tangentes de B y C a la circunferencia circunstante . Entonces AD es la simediana de △ ABC . [2]
primera prueba. Deje que la reflexión de AD a través de la bisectriz del ángulo de ∠ BAC encuentre a BC en M' . Entonces:
Segunda prueba. Defina D' como el conjugado isogonal de D . Es fácil ver que la reflexión de CD respecto de la bisectriz es la recta que pasa por C paralela a AB . Lo mismo ocurre con BD , por lo que ABD'C es un paralelogramo. AD' es claramente la mediana, porque las diagonales de un paralelogramo se bisecan y AD es su reflejo respecto de la bisectriz.
tercera prueba. Sea ω la circunferencia de centro D que pasa por B y C , y sea O el circuncentro de △ ABC . Digamos que las líneas AB, AC se cruzan con ω en P, Q , respectivamente. Como ∠ ABC = ∠ AQP , los triángulos △ ABC y △ AQP son similares. Desde
vemos que PQ es un diámetro de ω y por tanto pasa por D. Sea M el punto medio de BC . Dado que D es el punto medio de PQ , la similitud implica que ∠ BAM = ∠ QAD , de donde se sigue el resultado.
cuarta prueba. Sea S el punto medio del arco BC . | Licenciatura | = | SC | , entonces AS es la bisectriz del ángulo de ∠ BAC . Sea M el punto medio de BC , y se deduce que D es la inversa de M con respecto a la circunferencia circunscrita. De eso sabemos que el círculo circunstante es un círculo apolíneo con focos M, D. Entonces AS es la bisectriz del ángulo ∠ DAM y hemos logrado el resultado deseado.
El concepto de punto simediano se extiende a los tetraedros (irregulares). Dado un tetraedro ABCD, dos planos P, Q a AB son conjugados isogonales si forman ángulos iguales con los planos ABC y ABD . Sea M el punto medio del lado CD . El plano que contiene el lado AB que es isogonal al plano ABM se llama plano simediano del tetraedro. Se puede mostrar que los planos simedianos se cruzan en un punto, el punto simediano. Este es también el punto que minimiza la distancia al cuadrado desde las caras del tetraedro. [3]
