Media cuasi-aritmética

Generalización de medias

En matemáticas y estadística , la media cuasi-aritmética o f -media generalizada o media de Kolmogorov-Nagumo-de Finetti ^[1] es una generalización de las medias más conocidas , como la media aritmética y la media geométrica , que utiliza una función . También se denomina media de Kolmogorov en honor al matemático soviético Andrey Kolmogorov . Es una generalización más amplia que la media generalizada regular . ${\displaystyle f}$

Definición

Si f es una función que asigna un intervalo de la línea real a los números reales , y es a la vez continua e inyectiva , la f -media de los números se define como , que también se puede escribir ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$ ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

${\displaystyle M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}$

Requerimos que f sea inyectiva para que exista la función inversa . Como está definida en un intervalo, se encuentra dentro del dominio de . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Como f es inyectiva y continua, se deduce que f es una función estrictamente monótona y, por lo tanto, que la f -media no es mayor que el número más grande de la tupla ni menor que el número más pequeño en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

• Si , la recta real , y , (o de hecho cualquier función lineal , no igual a 0) entonces la f -media corresponde a la media aritmética . ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x\mapsto a\cdot x+b}$ ${\displaystyle a}$
• Si , los números reales positivos y , entonces la f -media corresponde a la media geométrica . Según las propiedades de la f -media, el resultado no depende de la base del logaritmo siempre que sea positiva y no 1. ${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$
• Si y , entonces la f -media corresponde a la media armónica . ${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$
• Si y , entonces la f -media corresponde a la media de la potencia con exponente . ${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ ${\displaystyle p}$
• Si y , entonces la f -media es la media en el semianillo logarítmico , que es una versión desplazada constante de la función LogSumExp (LSE) (que es la suma logarítmica), . La corresponde a dividir por n , ya que la división logarítmica es una resta lineal. La función LogSumExp es un máximo suave : una aproximación suave a la función máxima. ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\log(n)}$ ${\displaystyle -\log(n)}$

Propiedades

Las siguientes propiedades son válidas para cualquier función individual : ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Simetría: El valor de no cambia si se permutan sus argumentos. ${\displaystyle M_{f}}$

Idempotencia: para todo x , . ${\displaystyle M_{f}(x,\dots ,x)=x}$

Monotonía : es monótona en cada uno de sus argumentos (ya que es monótona ). ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Continuidad : es continua en cada uno de sus argumentos (ya que es continua). ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Reemplazo : Los subconjuntos de elementos pueden promediarse a priori, sin alterar la media, siempre que se mantenga la multiplicidad de elementos. Con esto se cumple: ${\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}$

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$

Particionado : El cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño: ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

Autodistributividad : Para cualquier media cuasi-aritmética de dos variables: . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}$

Medialidad : Para cualquier media cuasi-aritmética de dos variables: . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}$

Balanceo : Para cualquier media cuasi-aritmética de dos variables: . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)}$

Teorema del límite central  : en condiciones de regularidad, para una muestra suficientemente grande,es aproximadamente normal. ^[2] Un resultado similar está disponible para las medias de Bajraktarević, que son generalizaciones de medias cuasi-aritméticas. ^[3] ${\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}}$

Invariancia de escala : La media cuasi-aritmética es invariante con respecto a los desplazamientos y la escala de : . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}$

Caracterización

Hay varios conjuntos diferentes de propiedades que caracterizan la media cuasi-aritmética (es decir, cada función que satisface estas propiedades es una f -media para alguna función f ).

• La medialidad es esencialmente suficiente para caracterizar las medias cuasi-aritméticas. ^{[4] : capítulo 17}
• La autodistributividad es esencialmente suficiente para caracterizar las medias cuasi-aritméticas. ^{[4] : capítulo 17}
• Reemplazo : Kolmogorov demostró que las cinco propiedades de simetría, punto fijo, monotonía, continuidad y reemplazo caracterizan completamente las medias cuasi-aritméticas. ^[5]
• Balanceo : Un problema interesante es si esta condición (junto con las propiedades de simetría, punto fijo, monotonía y continuidad) implica que la media es cuasi-aritmética. Georg Aumann demostró en la década de 1930 que la respuesta es no en general, ^[6] pero que si además se supone que es una función analítica , entonces la respuesta es positiva. ^[7] ${\displaystyle M}$

Homogeneidad

Las medias suelen ser homogéneas , pero para la mayoría de las funciones , la f -media no lo es. De hecho, las únicas medias cuasi-aritméticas homogéneas son las medias de potencia (incluida la media geométrica ); véase Hardy–Littlewood–Pólya, página 68. ${\displaystyle f}$

La propiedad de homogeneidad se puede lograr normalizando los valores de entrada mediante alguna media (homogénea) . ${\displaystyle C}$

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

Sin embargo, esta modificación puede violar la monotonía y la propiedad de partición de la media.

Generalizaciones

Consideremos una función estrictamente convexa de tipo Legendre . Entonces el mapa de gradiente es globalmente invertible y la media cuasi-aritmética multivariada ponderada ^[8] está definida por , donde es un vector de ponderación normalizado ( por defecto para un promedio balanceado). A partir de la dualidad convexa, obtenemos una media cuasi-aritmética dual asociada a la media cuasi-aritmética . Por ejemplo, tomemos para una matriz definida positiva simétrica. El par de medias cuasi-aritméticas matriciales produce la media armónica matricial: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \nabla F}$ ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle M_{\nabla F^{*}}}$ ${\displaystyle M_{\nabla F}}$ ${\displaystyle F(X)=-\log \det(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.}$

Véase también

• Media generalizada
• Desigualdad de Jensen

Referencias

1. Nielsen, Frank; Nock, Richard (junio de 2017). "Generalización de divergencias de Jensen sesgadas y divergencias de Bregman con convexidad comparativa". IEEE Signal Processing Letters . 24 (8): 2. arXiv : 1702.04877 . Bibcode :2017ISPL...24.1123N. doi :10.1109/LSP.2017.2712195. S2CID  31899023.
2. de Carvalho, Miguel (2016). "Es decir, ¿qué quieres decir?". The American Statistician . 70 (3): 764‒776. doi :10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c . S2CID  219595024.
3. Barczy, M. y Burai, P. (2019). "Teoremas límite para las medias de cocientes de Bajraktarević y Cauchy de variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica". arXiv : 1909.02968 [math.PR].
4. Aczél, J.; Dhombres, JG (1989). Ecuaciones funcionales en varias variables. Con aplicaciones a las matemáticas, la teoría de la información y las ciencias naturales y sociales. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 31 . Cambridge: Cambridge Univ. Press.
5. Grudkin, Anton (2019). "Caracterización de la media cuasi-aritmética". Math stackexchange .
6. Aumann, Georg (1937). "Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1937 (176): 49–55. doi :10.1515/crll.1937.176.49. S2CID  115392661.
7. Aumann, Georg (1934). "Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte". Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften : 45–81.
8. Nielsen, Frank (2023). "Más allá de los promedios cuasi-aritméticos escalares: promedios cuasi-aritméticos y mezclas cuasi-aritméticas en geometría de la información". arXiv : 2301.10980 [cs.IT].

• Andrey Kolmogorov (1930) "Sobre la noción de media", en "Matemáticas y mecánica" (Kluwer 1991) — págs. 144-146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, págs. 388–391.
• John Bibby (1974) "Axiomatizaciones del promedio y una generalización adicional de secuencias monótonas", Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, págs. 63–65.
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952) Desigualdades. 2.ª ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.
• B. De Finetti, "Sul concetto di media", vol. 3, pág. 36996, 1931, instituto italiano degli attuari.