Heinz significa

media en matemáticas

En matemáticas, Bhatia ^[2] definió la media de Heinz (llamada así por E. Heinz ^{[1] ) de dos} números reales no negativos A y B como:

${\displaystyle \operatorname {H} _{x}(A,B)={\frac {A^{x}B^{1-x}+A^{1-x}B^{x}}{2}},}$

con 0 ≤  x  ≤ 1/2.

Para diferentes valores de x , esta media de Heinz interpola entre las medias aritmética ( x  = 0) y geométrica ( x  = 1/2) de modo que para 0 <  x  < 1/2:

${\displaystyle {\sqrt {AB}}=\operatorname {H} _{\frac {1}{2}}(A,B)<\operatorname {H} _{x}(A,B)<\operatorname {H} _{0}(A,B)={\frac {A+B}{2}}.}$

Los medios de Heinz aparecen naturalmente al simetrizar divergencias. ^[3] ${\textstyle \alpha }$

También se puede definir de la misma manera para matrices semidefinidas positivas y satisface una fórmula de interpolación similar. ^{[4] [5]}

Ver también

• Significar
• La desigualdad de Muirhead
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.

Referencias

1. E. Heinz (1951), "Beiträge zur Störungstheorie der Spektralzerlegung", Matemáticas. Ana. , 123 , págs. 415–438.
2. Bhatia, R. (2006), "Interpolación de la desigualdad media aritmético-geométrica y su versión del operador", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 413 (2–3): 355–363, doi : 10.1016/j.laa.2005.03. 005.
3. Nielsen, Frank; Nock, Richard; Amari, Shun-ichi (2014), "Sobre la agrupación de histogramas con k-medias mediante el uso de α-divergencias mixtas", Entropy , 16 (6): 3273–3301, Bibcode : 2014Entrp..16.3273N, doi : 10.3390/e16063273 , hdl : 1885/98885.
4. Bhatia, R.; Davis, C. (1993), "Más formas matriciales de la desigualdad media aritmético-geométrica", Revista SIAM sobre análisis y aplicaciones de matrices , 14 (1): 132–136, doi :10.1137/0614012.
5. Audenaert, Koenraad MR (2007), "Una desigualdad de valor singular para los medios de Heinz", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 422 (1): 279–283, arXiv : math/0609130 , doi :10.1016/j.laa.2006.10. 006, S2CID  15032884.