variedad de riemann

Colector real y suave equipado con una métrica de Riemann

En geometría diferencial , una variedad de Riemann o espacio de Riemann ( M , g ) , llamado así en honor al matemático alemán Bernhard Riemann , es una variedad real y suave M equipada con un producto interno definido positivo g _p en el espacio tangente T _p M en cada punto p .

La familia g _p de productos internos se llama métrica de Riemann (o tensor métrico de Riemann) . La geometría de Riemann es el estudio de las variedades de Riemann.

Una convención común es considerar que g es suave , lo que significa que para cualquier gráfico de coordenadas suave ( U , x ) en M , las n ² funciones

${\displaystyle g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R} }$

Son funciones suaves , es decir, son infinitamente diferenciables. Estas funciones se designan comúnmente como . ${\displaystyle g_{ij}}$

Con mayores restricciones sobre el , también se podrían considerar métricas de Lipschitz Riemann o métricas de Riemann medibles , entre muchas otras posibilidades. ${\displaystyle g_{ij}}$

Una métrica de Riemann ( tensor ) permite definir varias nociones geométricas sobre una variedad de Riemann, como ángulo en una intersección, longitud de una curva , área de una superficie y análogos de dimensiones superiores ( volumen , etc.), curvatura extrínseca de subvariedades y curvatura intrínseca de la propia variedad.

Introducción

En 1828, Carl Friedrich Gauss demostró su Theorema Egregium ("teorema notable" en latín), estableciendo una importante propiedad de las superficies. De manera informal, el teorema dice que la curvatura de una superficie se puede determinar completamente midiendo distancias a lo largo de trayectorias en la superficie. Es decir, la curvatura no depende de cómo podría estar incrustada la superficie en un espacio tridimensional. Ver Geometría diferencial de superficies . Bernhard Riemann extendió la teoría de Gauss a espacios de dimensiones superiores llamados variedades de una manera que también permite medir distancias y ángulos y definir la noción de curvatura, nuevamente de una manera que es intrínseca a la variedad y no depende de su incorporación en espacios de dimensiones superiores. Albert Einstein utilizó la teoría de las variedades pseudo-riemannianas (una generalización de las variedades riemannianas) para desarrollar su teoría general de la relatividad . En particular, sus ecuaciones para la gravitación son restricciones a la curvatura del espacio-tiempo.

Definición

El paquete tangente de una variedad suave asigna a cada punto de un espacio vectorial llamado espacio tangente de en Una métrica de Riemann (por su definición) asigna a cada uno un producto interno definido positivo junto con el cual viene una norma definida por La variedad suave dotada con esta métrica se denota una variedad de Riemann . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle |\cdot |_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |v|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (M,g)}$

Cuando se da un sistema de coordenadas locales suaves dado por funciones de valor real, los vectores ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}}$

forman una base del espacio vectorial para cualquier En relación con esta base, se pueden definir "componentes" tensoriales métricos en cada punto mediante ${\displaystyle T_{p}M,}$ ${\displaystyle p\in U.}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right).}$

Se podrían considerarlas como funciones individuales o como una función valorada por una sola matriz, teniendo en cuenta que el supuesto "riemanniano" dice que se valora en el subconjunto que consta de matrices simétricas definidas positivas. ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U;}$

En términos de álgebra tensorial , el tensor métrico se puede escribir en términos de la base dual {d x ¹ , ..., d x ⁿ } del paquete cotangente como

${\displaystyle g=\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}.}$

Isometrias

Si y son dos variedades de Riemann, con un difeomorfismo , entonces se llama isometría si, es decir, si ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{\ast }h,}$

${\displaystyle g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))}$

para todos y ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle u,v\in T_{p}M.}$

Se dice que un mapa que no se supone que sea un difeomorfismo es una isometría local si cada uno tiene una vecindad abierta tal que es una isometría (y por lo tanto un difeomorfismo). ${\displaystyle f:M\to N,}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\to f(U)}$

Regularidad de una métrica de Riemann

Se dice que la métrica de Riemann es continua si lo son cuando se le da un gráfico de coordenadas suave. Se dice que es suave si estas funciones son suaves cuando se le da un gráfico de coordenadas suave. También se podrían considerar muchos otros tipos de métricas riemannianas con este espíritu. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (U,x).}$ ${\displaystyle g}$

En la mayoría de las explicaciones expositivas de la geometría riemanniana, las métricas siempre se consideran suaves. Sin embargo, puede haber razones importantes para considerar métricas que sean menos fluidas. Las métricas de Riemann producidas mediante métodos de análisis geométrico , en particular, pueden ser menos que fluidas. Véase, por ejemplo, (Gromov 1999) y (Shi y Tam 2002).

Descripción general

A continuación se analizarán ejemplos de variedades de Riemann. Un famoso teorema de John Nash establece que, dada cualquier variedad de Riemannian suave, hay un número (generalmente grande) y una incrustación tal que el retroceso de la métrica de Riemannian estándar es Informalmente, toda la estructura de una variedad de Riemannian suave puede codificarse por un difeomorfismo a una determinada subvariedad incrustada de algún espacio euclidiano. En este sentido, se puede argumentar que no se puede ganar nada considerando las variedades abstractas suaves y sus métricas riemannianas. Sin embargo, hay muchas variedades riemannianas suaves naturales, como el conjunto de rotaciones del espacio tridimensional y el espacio hiperbólico , de las cuales cualquier representación como una subvariedad del espacio euclidiano no logrará representar sus notables simetrías y propiedades tan claramente como sus abstractas. las presentaciones sí. ${\displaystyle (M,g),}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle F:M\to \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle g.}$

Ejemplos

espacio euclidiano

Denotemos las coordenadas estándar en Luego definamos por ${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle g_{p}^{\mathrm {can} }:T_{p}\mathbb {R} ^{n}\times T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\longmapsto \sum _{i}a_{i}b_{i}.}$

Dicho de otra manera: en relación con las coordenadas estándar, la representación local viene dada por el valor constante ${\displaystyle g_{ij}:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{ij}.}$

Esta es claramente una métrica de Riemann y se denomina estructura de Riemann estándar. También se la conoce como espacio euclidiano de dimensión n y g _ij ^{también se le llama} métrica euclidiana (canónica) . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Subvariedades integradas

Sea una variedad de Riemann y una subvariedad incrustada de la cual es al menos Entonces la restricción de g a vectores tangentes a lo largo de N define una métrica de Riemann sobre N. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle C^{1}.}$

• Por ejemplo, considere cuál es una subvariedad incrustada suave del espacio euclidiano con su métrica estándar. La métrica de Riemann que esto induce se llama métrica estándar o métrica canónica . ${\displaystyle S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n})^{2}=1.\},}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}.}$
• Hay muchos ejemplos similares. Por ejemplo, cada elipsoide tiene una métrica de Riemann natural. La gráfica de una función suave es una subvariedad incrustada y, por lo tanto, también tiene una métrica de Riemann natural. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$

Inmersiones

Sea una variedad de Riemann y sea un mapa diferenciable. Entonces se puede considerar el retroceso de vía , que es un tensor 2 simétrico definido por ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle f:\Sigma \to M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle (f^{\ast }g)_{p}(v,w)=g_{f(p)}{\big (}df_{p}(v),df_{p}(w){\big )},}$

¿Dónde está el avance de por? ${\displaystyle df_{p}(v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f.}$

En este contexto, generalmente no será una métrica de Riemann ya que no es definida positiva. Por ejemplo, si es constante, entonces es cero. De hecho, es una métrica de Riemann si y sólo si es una inmersión , lo que significa que el mapa lineal es inyectivo para cada ${\displaystyle f^{\ast }g}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{\ast }g}$ ${\displaystyle f^{\ast }g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df_{p}:T_{p}\Sigma \to T_{f(p)}M}$ ${\displaystyle p\in \Sigma .}$

• Un ejemplo importante ocurre cuando no está simplemente conectado, de modo que hay un mapa de cobertura. Esto es una inmersión, por lo que la cobertura universal de cualquier variedad de Riemann hereda automáticamente una métrica de Riemann. De manera más general, pero según el mismo principio, cualquier espacio que cubra una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}\to M.}$
• Además, una subvariedad sumergida de una variedad de Riemann hereda una métrica de Riemann.

Métricas del producto

Sean y dos variedades de Riemann y consideremos el producto cartesiano con la estructura suave habitual del producto. Las métricas de Riemann y, naturalmente, ponen una métrica de Riemann que se puede describir de varias maneras. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ ${\displaystyle M\times N,}$

• Considerando la descomposición se puede definir ${\displaystyle T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{p,q}(u\oplus x,v\oplus y)=g_{p}(u,v)+h_{q}(x,y).}$

• Sea un gráfico de coordenadas suaves en y sea un gráfico de coordenadas suaves en Entonces es un gráfico de coordenadas suaves en Por conveniencia, denotemos la colección de matrices reales simétricas definidas positivas . Denota la representación de coordenadas de relativo a por y denota la representación de coordenadas de relativo a por Entonces la representación de coordenadas local de relativo a está dada por ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (V,y)}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$ ${\displaystyle M\times N.}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (U,x)}$ ${\displaystyle g_{U}:U\to \operatorname {Sym} _{m\times m}^{+}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (V,y)}$ ${\displaystyle h_{V}:V\to \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}.}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}}$ ${\displaystyle (U\times V,(x,y))}$ ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{U\times V}:U\times V\to \operatorname {Sym} _{(m+n)\times (m+n)}^{+}}$

${\displaystyle (p,q)\mapsto {\begin{pmatrix}g_{U}(p)&0\\0&h_{V}(q)\end{pmatrix}}.}$

Un ejemplo estándar es considerar el n -toro definido como el producto n veces. Si se da cada copia de su métrica de Riemann estándar, considerándola como una subvariedad incorporada (como arriba), entonces se puede considerar el producto de la métrica de Riemann en Se llama un toro plano . ${\displaystyle T^{n},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \cdots \times S^{1}.}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle T^{n}.}$

Combinaciones convexas de métricas.

Sean y dos métricas de Riemann en Entonces, para cualquier número ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \lambda \in [0,1],}$

${\displaystyle {\tilde {g}}:=\lambda g_{0}+(1-\lambda )g_{1}}$

También es una métrica de Riemann. De manera más general, si y son dos números positivos cualesquiera, entonces es otra métrica de Riemann. ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ag_{0}+bg_{1}}$

Cada variedad suave tiene una métrica de Riemann.

Éste es un resultado fundamental. Aunque gran parte de la teoría básica de la métrica riemanniana puede desarrollarse utilizando únicamente que una variedad suave es localmente euclidiana, para este resultado es necesario incluir en la definición de "variedad suave" que es Hausdorff y paracompacta. La razón es que la prueba hace uso de una partición de unidad .

Prueba

Sean una variedad diferenciable y un atlas localmente finito de modo que sean subconjuntos abiertos y sean difeomorfismos. Tal atlas existe porque la variedad es paracompacta. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subseteq M}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \varphi _{\alpha }(U_{\alpha })\subseteq \mathbf {R} ^{n}}$

Sea una partición diferenciable de unidad subordinada al atlas dado, es decir, tal que para todos . ${\displaystyle \{\tau _{\alpha }\}_{\alpha \in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} \,\tau _{\alpha }\subseteq U_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in I}$

Luego defina la métrica por ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle g:=\sum _{\beta \in I}\tau _{\beta }\cdot {\tilde {g}}_{\beta },\qquad {\text{with}}\qquad {\tilde {g}}_{\beta }:=\varphi _{\beta }^{*}g^{\mathrm {can} }\,\,{\text{on}}\,\,U_{\beta },}$

¿Dónde está la métrica euclidiana y es su retroceso ? ${\displaystyle g^{\mathrm {can} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }^{*}g^{\mathrm {can} }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$

Se ve fácilmente que esto es una métrica de . ${\displaystyle M}$

La estructura espacial métrica de variedades de Riemann conectadas continuas.

La longitud de curvas continuamente diferenciables por tramos.

Si es diferenciable, entonces asigna a cada uno un vector en el espacio vectorial cuyo tamaño puede medirse mediante la norma. Entonces define una función no negativa en el intervalo . La longitud se define como la integral de esta función; sin embargo, como se presenta aquí, no hay razón para esperar que esta función sea integrable. Es típico suponer que g es continuo y continuamente diferenciable, de modo que la función a integrar es no negativa y continua, y por tanto la longitud de ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$ ${\displaystyle t\in (a,b)}$ ${\displaystyle \gamma '(t)}$ ${\displaystyle T_{\gamma (t)}M,}$ ${\displaystyle |\cdot |_{\gamma (t)}.}$ ${\displaystyle t\mapsto |\gamma '(t)|_{\gamma (t)}}$ ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ,}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|_{\gamma (t)}\,dt,}$

está bien definido. Esta definición se puede ampliar fácilmente para definir la longitud de cualquier curva diferenciable de forma continua por partes.

En muchos casos, como al definir el tensor de curvatura de Riemann , es necesario exigir que g tenga más regularidad que mera continuidad; esto se discutirá en otra parte. Por ahora, la continuidad de g será suficiente para utilizar la longitud definida anteriormente para dotar a M de la estructura de un espacio métrico , siempre que sea conexo.

La estructura del espacio métrico.

Precisamente, definir por ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

${\displaystyle d_{g}(p,q)=\inf\{L(\gamma ):\gamma {\text{ a piecewise continuously differentiable curve from }}p{\text{ to }}q\}.}$

En general, es sencillo verificar la buena definición de la función, su propiedad de simetría, su propiedad de reflexividad y la desigualdad del triángulo , aunque existen algunas complicaciones técnicas menores (como verificar que dos puntos cualesquiera puedan conectarse mediante una ruta diferenciable por partes). Es más fundamental comprender qué garantiza y, por tanto, satisface todos los axiomas de una métrica. ${\displaystyle d_{g},}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q)=d_{g}(q,p),}$ ${\displaystyle d_{g}(p,p)=0,}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q)+d_{g}(q,r)\geq d_{g}(p,r),}$ ${\displaystyle p\neq q}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q)>0,}$ ${\displaystyle d_{g}}$

La observación que subyace a la prueba anterior, sobre la comparación entre longitudes medidas por g y longitudes euclidianas medidas en un gráfico de coordenadas suave, también verifica que la topología espacial métrica de coincide con la estructura espacial topológica original de ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle M.}$

Aunque la longitud de una curva viene dada por una fórmula explícita, generalmente es imposible escribir la función de distancia por algún medio explícito. De hecho, si es compacto entonces, incluso cuando g es suave, siempre existen puntos donde no es diferenciable, y puede ser notablemente difícil incluso determinar la ubicación o naturaleza de estos puntos, incluso en casos aparentemente simples como cuando es un elipsoide. ${\displaystyle d_{g}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (M,g)}$

Geodésicas

Como en la sección anterior, sea una variedad de Riemann conexa y continua; considere el espacio métrico asociado. En relación con esta estructura del espacio métrico, se dice que un camino es una geodésica de velocidad unitaria si para cada existe un intervalo que contiene y tal que ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,d_{g}).}$ ${\displaystyle c:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle t_{0}\in [a,b]}$ ${\displaystyle J\subset [a,b]}$ ${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|\qquad \forall s,t\in J.}$

Informalmente, se puede decir que se está pidiendo "estirarse" localmente tanto como sea posible, sujeto a la restricción de velocidad unitaria (considerada informalmente). La idea es que si es (por partes) continuamente diferenciable y para todos, entonces uno automáticamente aplica la desigualdad del triángulo a una aproximación de suma de Riemann de la integral que define la longitud de. Entonces, la condición geodésica de velocidad unitaria como se indicó anteriormente requiere y debe ser lo más lejos posible uno del otro. El hecho de que sólo estemos buscando curvas que se estiren localmente se refleja en los dos primeros ejemplos que se dan a continuación; la forma global de puede obligar incluso a las geodésicas más inofensivas a doblarse hacia atrás y cruzarse entre sí. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle |c'(t)|_{c(t)}=1}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))\leq |s-t|}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle c(s)}$ ${\displaystyle c(t)}$ ${\displaystyle (M,g)}$

• Considere el caso del círculo con su métrica riemanniana estándar, y está dado por Recall que se mide por las longitudes de las curvas a lo largo de , no por las trayectorias rectas en el plano. Este ejemplo también muestra la necesidad de seleccionar el subintervalo, ya que la curva se repite sobre sí misma de una manera particularmente natural. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle t\mapsto (\cos t,\sin t).}$ ${\displaystyle d_{g}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle J,}$ ${\displaystyle c}$
• Del mismo modo, si es la esfera redonda con su métrica riemanniana estándar, entonces una trayectoria de velocidad unitaria a lo largo de un círculo ecuatorial será una geodésica. Una trayectoria de velocidad unitaria a lo largo de los otros círculos latitudinales no será geodésica. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle S^{2}}$
• Consideremos el caso de su métrica riemanniana estándar. Entonces, una línea de velocidad unitaria como la que es una geodésica, pero la curva del primer ejemplo anterior no lo es. ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle t\mapsto (2^{-1/2}t,2^{-1/2}t)}$ ${\displaystyle c}$

Tenga en cuenta que las geodésicas de velocidad unitaria, tal como se definen aquí, son necesariamente continuas y, de hecho, Lipschitz , pero no son necesariamente diferenciables ni diferenciables por partes.

El teorema de Hopf-Rinow

Como arriba, sea una variedad de Riemann conexa y continua. El teorema de Hopf-Rinow , en este contexto, dice que (Gromov 1999) ${\displaystyle (M,g)}$

• si el espacio métrico es completo (es decir, cada secuencia de Cauchy converge), entonces ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}}$
  • todo subconjunto cerrado y acotado de es compacto. ${\displaystyle M}$
  • dados todos y cada uno de los números reales a, b con a < b, existe una geodésica de velocidad unitaria desde a tal que para todos ${\displaystyle p,q\in M}$ ${\displaystyle c:[a,b]\to M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|}$ ${\displaystyle s,t\in [a,b].}$

La esencia de la prueba es que una vez establecida la primera mitad, se puede aplicar directamente el teorema de Arzelà-Ascoli , en el contexto del espacio métrico compacto, a una secuencia de curvas de velocidad unitaria diferenciables continuamente por tramos desde a cuyas longitudes se aproximan . El límite subsiguiente resultante es la geodésica deseada. ${\displaystyle {\overline {B_{2d_{g}(p,q)}(p)}},}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d_{g}(p,q).}$

La supuesta integridad de es importante. Por ejemplo, consideremos el caso del plano perforado con su métrica riemanniana estándar, y se toma y No hay geodésica de velocidad unitaria de uno a otro. ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}$ ${\displaystyle p=(1,0)}$ ${\displaystyle q=(-1,0).}$

El diámetro

Sea una variedad de Riemann conexa y continua. Como ocurre con cualquier espacio métrico, se puede definir el diámetro de como ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$

${\displaystyle \operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.}$

El teorema de Hopf-Rinow muestra que si es completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto. Por el contrario, si es compacta, entonces la función tiene un máximo, ya que es una función continua en un espacio métrico compacto. Esto prueba la siguiente afirmación: ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle (M,d_{g})}$ ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to \mathbb {R} }$

• Si es completo, entonces es compacto si y sólo si tiene un diámetro finito. ${\displaystyle (M,d_{g})}$

Este no es el caso sin el supuesto de integridad; como contraejemplos se podría considerar cualquier subconjunto acotado abierto de un espacio euclidiano con la métrica de Riemann estándar.

Tenga en cuenta que, de manera más general, y con la misma prueba unifilar, todo espacio métrico compacto tiene un diámetro finito. Sin embargo, la siguiente afirmación es falsa : "Si un espacio métrico es completo y tiene un diámetro finito, entonces es compacto". Para un ejemplo de un espacio métrico completo y no compacto de diámetro finito, considere

${\displaystyle M={\Big \{}{\text{continuous functions }}f:[0,1]\to \mathbb {R} {\text{ with }}\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\leq 1{\Big \}}}$

con la métrica uniforme

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.}$

Entonces, aunque todos los términos del corolario anterior del teorema de Hopf-Rinow involucran solo la estructura del espacio métrico, es importante que la métrica se induzca a partir de una estructura de Riemann. ${\displaystyle (M,g),}$

Métricas de Riemann

Completitud geodésica

Una variedad de Riemann M es geodésicamente completa si para todo p ∈ M , el mapa exponencial exp _p está definido para todo v ∈ T _p M , es decir, si cualquier geodésico γ ( t ) a partir de p está definido para todos los valores del parámetro t ∈ r . El teorema de Hopf-Rinow afirma que M es geodésicamente completo si y sólo si es completo como espacio métrico .

Si M es completo, entonces M no es extensible en el sentido de que no es isométrico a una subvariedad propia abierta de cualquier otra variedad de Riemann. Sin embargo, lo contrario no es cierto: existen variedades no extensibles que no están completas.

Colectores de dimensión infinita

Los enunciados y teoremas anteriores son para variedades de dimensión finita, variedades cuyos gráficos se asignan a subconjuntos abiertos de. Estos se pueden extender, hasta cierto punto, a variedades de dimensión infinita; es decir, variedades que se modelan a partir de un espacio vectorial topológico ; por ejemplo, variedades de Fréchet , Banach y Hilbert . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Definiciones

Las métricas de Riemann se definen de forma similar al caso de dimensión finita. Sin embargo, existe una distinción entre dos tipos de métricas de Riemann:

• Una métrica de Riemann débil es una función suave tal que para cualquier restricción es un producto interno de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{x}M.}$
• Una métrica de Riemann fuerte es una métrica de Riemann débil, tal que induce la topología en. Tenga en cuenta que si no es una variedad de Hilbert, entonces no puede ser una métrica fuerte. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

Ejemplos

• Si es un espacio de Hilbert , entonces para cualquiera puede identificarse. Al establecer para todos se obtiene una métrica riemanniana fuerte. ${\displaystyle (H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )}$ ${\displaystyle x\in H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T_{x}H.}$ ${\displaystyle x,u,v\in H}$ ${\displaystyle g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle }$
• Sea una variedad de Riemann compacta y denotémosla por su grupo de difeomorfismo. Es una variedad suave ( ver aquí ) y, de hecho, un grupo de Lie . Su paquete tangente en la identidad es el conjunto de campos vectoriales suaves en Sea una forma de volumen en Entonces se puede definir la métrica de Riemann débil, en Dejemos Entonces para y definir La métrica de Riemann débil en induce una distancia geodésica evanescente, ver Michor y Mumford ( 2005). ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M).}$ ${\displaystyle f\in \operatorname {Diff} (M),}$ ${\displaystyle u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).}$ ${\displaystyle x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M}$ ${\displaystyle G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))d\mu (x).}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Diff} (M)}$

La estructura del espacio métrico.

La longitud de las curvas se define de forma similar al caso de dimensión finita. La función se define de la misma manera y se llama distancia geodésica . En el caso de dimensión finita, la prueba de que esta función es una métrica utiliza la existencia de un conjunto abierto precompacto alrededor de cualquier punto. En el caso infinito, los conjuntos abiertos ya no son precompactos y, por tanto, esta afirmación puede fallar. ${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

• Si hay una métrica de Riemann fuerte en , entonces separa puntos (por lo tanto es una métrica) e induce la topología original. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{g}}$
• Si es una métrica riemanniana débil pero no fuerte, puede no lograr separar puntos o incluso estar degenerada. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d_{g}}$

Para ver un ejemplo de esto último, consulte Valentino y Daniele (2019).

El teorema de Hopf-Rinow

En el caso de métricas riemannianas fuertes, una parte de la Hopf-Rinow de dimensión finita todavía funciona.

Teorema : Sea una variedad de Riemann fuerte. Entonces la completitud métrica (en la métrica ) implica completitud geodésica (las geodésicas existen para todos los tiempos). Se pueden encontrar pruebas en (Lang 1999, Capítulo VII, Sección 6). Las otras afirmaciones del caso de dimensión finita pueden fallar. Un ejemplo puede ser encontrado aquí . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle d_{g}}$

Si es una métrica riemanniana débil, entonces ninguna noción de completitud implica la otra en general. ${\displaystyle g}$

Ver también

• geometría riemanniana
• colector finsler
• Colector subriemanniano
• Variedad pseudo-riemanniana
• tensor métrico
• colector hermitiano
• Espacio (matemáticas)
• Ecuación de mapas de ondas

Referencias

• Lee, John M. (2018). Introducción a las variedades de Riemann . Springer-Verlag . ISBN 978-3-319-91754-2.
• do Carmo, Manfredo (1992). Geometría riemanniana . Basilea: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Grómov, Misha (1999). Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos (basado en la edición original francesa de 1981). Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. ISBN 0-8176-3898-9.
• Jost, Jürgen (2008). Geometría de Riemann y análisis geométrico (5ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77340-5.
• Shi, Yuguang; Tam, Luen-Fai (2002). "Teorema de masa positiva y comportamientos límite de variedades compactas con curvatura escalar no negativa". J. Geometría diferencial . 62 (1): 79-125. arXiv : matemáticas/0301047 . doi :10.4310/jdg/1090425530. S2CID  13841883.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-0541-8.
• Magnani, Valentino; Tiberio, Daniele (2020). "Un comentario sobre la desaparición de distancias geodésicas en infinitas dimensiones". Proc. América. Matemáticas. Soc . 148 (1): 3653–3656. arXiv : 1910.06430 . doi :10.1090/proc/14986. S2CID  204578276.
• Micor, Peter W.; Mumford, David (2005). "Distancia geodésica que desaparece en espacios de subvariedades y difeomorfismos". Documenta Matemáticas . 10 : 217–245. arXiv : matemáticas/0409303 . doi :10.4171/dm/187. S2CID  69260.

enlaces externos

• LA Sidorov (2001) [1994], "Métrica de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press