Distribución logarítmica normal

Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad , una distribución log-normal (o lognormal ) es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo tiene una distribución normal . Por lo tanto, si la variable aleatoria X tiene una distribución logarítmica normal, entonces Y = ln( X ) tiene una distribución normal. ^{[2] [3]} De manera equivalente, si Y tiene una distribución normal, entonces la función exponencial de Y , X = exp( Y ) , tiene una distribución log-normal. Una variable aleatoria que tiene una distribución logarítmica normal sólo toma valores reales positivos. Es un modelo conveniente y útil para mediciones en ciencias exactas y de ingeniería , así como en medicina , economía y otros temas (por ejemplo, energías, concentraciones, longitudes, precios de instrumentos financieros y otras métricas).

En ocasiones se hace referencia a la distribución como distribución de Galton o distribución de Galton , en honor a Francis Galton . ^[4] La distribución log-normal también se ha asociado con otros nombres, como McAlister , Gibrat y Cobb-Douglas . ^[4]

Un proceso log-normal es la realización estadística del producto multiplicativo de muchas variables aleatorias independientes , cada una de las cuales es positiva. Esto se justifica considerando el teorema del límite central en el dominio logarítmico (a veces llamado ley de Gibrat ). La distribución log-normal es la distribución de probabilidad de entropía máxima para una variable aleatoria X , para la cual se especifican la media y la varianza de ln( X ) . ^[5]

Definiciones

Generación y parámetros

Sea una variable normal estándar y sean y dos números reales, con . Entonces, la distribución de la variable aleatoria. ${\displaystyle \ Z\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma >0}$

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

se llama distribución log-normal con parámetros y . Estos son el valor esperado (o media ) y la desviación estándar del logaritmo natural de la variable , no la expectativa y la desviación estándar de sí misma. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ X\ }$

Relación entre distribución normal y log-normal. Si tiene una distribución normal, entonces tiene una distribución logarítmica normal. ${\displaystyle \ Y=\mu +\sigma Z\ }$ ${\displaystyle \ X\sim e^{Y}\ }$

Esta relación es verdadera independientemente de la base de la función logarítmica o exponencial: si tiene una distribución normal, también lo es para dos números positivos cualesquiera . Del mismo modo, si tiene una distribución log-normal, también lo es donde . ${\displaystyle \ \log _{a}(X)\ }$ ${\displaystyle \ \log _{b}(X)\ }$ ${\displaystyle \ a,b\neq 1~.}$ ${\displaystyle \ e^{Y}\ }$ ${\displaystyle \ a^{Y}\ ,}$ ${\displaystyle 0<a\neq 1}$

Para producir una distribución con la media y la varianza deseadas , se utilizan y ${\displaystyle \mu _{X}}$ ${\displaystyle \ \sigma _{X}^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\ {\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}\ }}\ }}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\ \sigma _{X}^{2}\ }{\mu _{X}^{2}}}\right)~.}$

Alternativamente, se pueden utilizar los parámetros "multiplicativos" o "geométricos" . Tienen una interpretación más directa: es la mediana de la distribución y es útil para determinar intervalos de "dispersión", ver más abajo. ${\displaystyle \ \mu ^{*}=e^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{*}=e^{\sigma }\ }$ ${\displaystyle \ \mu ^{*}\ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{*}\ }$

Función de densidad de probabilidad

Una variable aleatoria positiva tiene una distribución logarítmica normal (es decir, ), si el logaritmo natural de tiene una distribución normal con media y varianza. ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \ X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\ \mu _{x},\sigma _{x}^{2}\ \right)\ }$ ${\displaystyle \ X\ }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{2}\ :}$

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

Sean y respectivamente la función de distribución de probabilidad acumulada y la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar, entonces tenemos que ^{[2] [4]} la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal viene dada por: ${\displaystyle \ \Phi \ }$ ${\displaystyle \ \varphi \ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {N}}(\ 0,1\ )\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ X\leq x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ \operatorname {\mathbb {P} _{\mathit {X}}} \,\!{\bigl [}\ \ln X\leq \ln x\ {\bigr ]}\\[6pt]&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\operatorname {\Phi } \!\!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\operatorname {\varphi } \!\left({\frac {\ \ln x-\mu \ }{\sigma }}\right){\frac {1}{\ \sigma \ x\ }}\\[6pt]&={\frac {1}{\ x\ \sigma {\sqrt {2\ \pi \ }}\ }}\exp \left(-{\frac {\ (\ln x-\mu )^{2}\ }{2\ \sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

Función de distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa es

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)}$

donde es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar (es decir, ). ${\displaystyle \ \Phi \ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {N}} (\ 0,\ 1)\ }$

Esto también puede expresarse de la siguiente manera: ^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

donde erfc es la función de error complementaria .

Log-normal multivariado

Si es una distribución normal multivariada , entonces tiene una distribución log-normal multivariada. ^{[6] [7]} La ​​exponencial se aplica elemento por elemento al vector aleatorio . La media de es ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$ ${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$

y su matriz de covarianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).}$

Dado que la distribución log-normal multivariada no se usa ampliamente, el resto de esta entrada solo trata de la distribución univariada .

Función característica y función generadora de momento.

Todos los momentos de la distribución log-normal existen y

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Esto se puede derivar dejando entrar la integral. Sin embargo, la distribución log-normal no está determinada por sus momentos. ^[8] Esto implica que no puede tener una función generadora de momento definida en una vecindad de cero. ^[9] De hecho, el valor esperado no está definido para ningún valor positivo del argumento , ya que la integral definitoria diverge. ${\displaystyle z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$ ${\displaystyle t}$

La función característica se define para valores reales de t , pero no se define para ningún valor complejo de t que tenga una parte imaginaria negativa y, por tanto, la función característica no es analítica en el origen. En consecuencia, la función característica de la distribución log-normal no puede representarse como una serie convergente infinita. ^[10] En particular, su serie formal de Taylor diverge: ${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Sin embargo, se han obtenido varias representaciones alternativas de series divergentes . ^{[10] [11] [12] [13]}

Se desconoce una fórmula cerrada para la función característica con en el dominio de convergencia. Una fórmula aproximada relativamente simple está disponible en forma cerrada y viene dada por ^[14] ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}}}}$

¿ Dónde está la función Lambert W ? Esta aproximación se deriva mediante un método asintótico, pero se mantiene nítida en todo el dominio de convergencia de . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \varphi }$

Propiedades

a. es una variable log-normal con . se calcula transformando a la variable normal y luego integrando su densidad en el dominio definido por (regiones azules), utilizando el método numérico de trazado de rayos. ^[15] b y c. La pdf y la cdf de la función de la variable log-normal también se pueden calcular de esta manera. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu =1,\sigma =0.5}$ ${\displaystyle p(\sin y>0)}$ ${\displaystyle x=\ln y}$ ${\displaystyle \sin e^{x}>0}$ ${\displaystyle \sin y}$

Probabilidad en diferentes dominios

El contenido de probabilidad de una distribución log-normal en cualquier dominio arbitrario se puede calcular con la precisión deseada transformando primero la variable a normal y luego integrándola numéricamente utilizando el método de trazado de rayos. ^[15] (código Matlab)

Probabilidades de funciones de una variable log-normal.

Dado que la probabilidad de una variable log-normal se puede calcular en cualquier dominio, esto significa que también se puede calcular la cdf (y en consecuencia la pdf y la cdf inversa) de cualquier función de una variable log-normal. ^[15] (código Matlab)

Momentos geométricos o multiplicativos

La media geométrica o multiplicativa de la distribución log-normal es . Es igual a la mediana. La desviación estándar geométrica o multiplicativa es . ^{[16] [17]} ${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

Por analogía con la estadística aritmética, se puede definir una varianza geométrica, y se ha propuesto un coeficiente de variación geométrico , ^{[16] .} Este término pretendía ser análogo al coeficiente de variación, para describir la variación multiplicativa en datos log-normales, pero esta definición de GCV no tiene base teórica como estimación de sí misma (ver también Coeficiente de variación ). ${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$ ${\displaystyle \operatorname {CV} }$

Tenga en cuenta que la media geométrica es menor que la media aritmética. Esto se debe a la desigualdad AM-GM y es consecuencia de que el logaritmo es una función cóncava . De hecho,

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$^[18]

En finanzas, el término a veces se interpreta como una corrección de convexidad . Desde el punto de vista del cálculo estocástico , este es el mismo término de corrección que en el lema de Itō para el movimiento browniano geométrico . ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$

Momentos aritméticos

Para cualquier número real o complejo n , el n -ésimo momento de una variable X con distribución logarítmica normal viene dado por ^[4]

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$

Específicamente, la media aritmética, el cuadrado esperado, la varianza aritmética y la desviación estándar aritmética de una variable X con distribución logarítmica normal vienen dadas respectivamente por: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=(\operatorname {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$

El coeficiente aritmético de variación es la razón . Para una distribución log-normal es igual a ^[3] ${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$ ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$

${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$

Esta estimación a veces se denomina "CV geométrico" (GCV), ^{[19] [20]} debido al uso de la varianza geométrica. A diferencia de la desviación estándar aritmética, el coeficiente de variación aritmético es independiente de la media aritmética.

Los parámetros μ y σ se pueden obtener si se conocen la media aritmética y la varianza aritmética:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}}\right),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Una distribución de probabilidad no está determinada únicamente por los momentos E[ X ⁿ ] = e ^{nμ +1/2norte 2 σ 2} para norte ≥ 1. Es decir, existen otras distribuciones con el mismo conjunto de momentos. ^[4]De hecho, existe toda una familia de distribuciones con los mismos momentos que la distribución log-normal. ^{[ cita necesaria ]}

Moda, mediana, cuantiles

Comparación de la media , mediana y moda de dos distribuciones log-normales con diferente asimetría .

La moda es el punto de máximo global de la función de densidad de probabilidad. En particular, resolviendo la ecuación obtenemos que: ${\displaystyle (\ln f)'=0}$

${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$

Dado que la variable transformada logarítmicamente tiene una distribución normal y los cuantiles se conservan bajo transformaciones monótonas, los cuantiles de son ${\displaystyle Y=\ln X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$

donde es el cuantil de la distribución normal estándar. ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

Específicamente, la mediana de una distribución log-normal es igual a su media multiplicativa, ^[21]

${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$

expectativa parcial

La expectativa parcial de una variable aleatoria con respecto a un umbral se define como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx.}$

Alternativamente, utilizando la definición de expectativa condicional , se puede escribir como . Para una variable aleatoria log-normal, la expectativa parcial viene dada por: ${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)}$

donde es la función de distribución acumulativa normal . La derivación de la fórmula se proporciona en la página de discusión . La fórmula de la expectativa parcial tiene aplicaciones en seguros y economía ; se utiliza para resolver la ecuación diferencial parcial que conduce a la fórmula de Black-Scholes . ${\displaystyle \Phi }$

Expectativa condicional

La expectativa condicional de una variable aleatoria log-normal —con respecto a un umbral— es su expectativa parcial dividida por la probabilidad acumulada de estar en ese rango: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$

Parametrizaciones alternativas

Además de la caracterización por o , aquí hay varias formas de parametrizar la distribución log-normal. ProbOnto , la base de conocimiento y ontología de distribuciones de probabilidad ^{[22] [23]} enumera siete de estas formas: ${\displaystyle \mu ,\sigma }$ ${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

Descripción general de las parametrizaciones de las distribuciones log-normales.

• LogNormal1(μ,σ) con media , μ y desviación estándar , σ, ambas en escala logarítmica ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal2(μ,υ) con media, μ y varianza, υ, ambas en escala logarítmica

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$

• LogNormal3(m,σ) con mediana , m, en la escala natural y desviación estándar, σ, en la escala logarítmica ^[24]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$

• LogNormal4(m,cv) con mediana, m, y coeficiente de variación , cv, ambos en escala natural

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$

• LogNormal5(μ,τ) con media, μ, y precisión, τ, ambas en escala logarítmica ^[25]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$

• LogNormal6(m,σ _g ) con mediana, m, y desviación estándar geométrica , σ _g , ambas en escala natural ^[26]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$

• LogNormal7(μ _N , σ _N ) con media, μ _N y desviación estándar, σ _N , ambas en escala natural ^[27]

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ]}^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\right)}$

Ejemplos de reparametrización

Considere la situación en la que a uno le gustaría ejecutar un modelo utilizando dos herramientas de diseño óptimas diferentes, por ejemplo PFIM ^[28] y PopED. ^[29] El primero admite la parametrización de LN2 y el segundo de LN7, respectivamente. Por lo tanto, es necesaria la reparametrización; de lo contrario, las dos herramientas producirían resultados diferentes.

Para la transición se mantienen las siguientes fórmulas y . ${\displaystyle \operatorname {LN2} (\mu ,v)\to \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$ ${\textstyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2)}$ ${\textstyle \sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp(v)-1}}}$

Para la transición se mantienen las siguientes fórmulas y . ${\displaystyle \operatorname {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatorname {LN2} (\mu ,v)}$ ${\textstyle \mu =\ln \left(\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}\right)}$ ${\textstyle v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

Todas las fórmulas de reparametrización restantes se pueden encontrar en el documento de especificaciones en el sitio web del proyecto. ^[30]

Poder múltiple, recíproco.

• Multiplicación por una constante: si entonces para ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a>0.}$
• Recíproco: Si entonces ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}$
• Poder: Si entonces para ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle a\neq 0.}$

Multiplicación y división de variables aleatorias independientes y log-normales.

Si dos variables independientes , log-normales y se multiplican [dividen], el producto [ratio] es nuevamente log-normal, con parámetros [ ] y , donde . Esto se generaliza fácilmente al producto de dichas variables. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$ ${\displaystyle n}$

De manera más general, si son variables independientes y con distribución logarítmica normal, entonces ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

Teorema del límite central multiplicativo

La media geométrica o multiplicativa de variables aleatorias positivas independientes, distribuidas idénticamente se muestra, para aproximadamente una distribución log-normal con parámetros y , suponiendo que es finita. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

De hecho, las variables aleatorias no tienen por qué estar distribuidas de manera idéntica. Es suficiente que todas las distribuciones de tengan varianza finita y satisfagan las demás condiciones de cualquiera de las muchas variantes del teorema del límite central . ${\displaystyle \ln(X_{i})}$

Esto se conoce comúnmente como ley de Gibrat .

Otro

Un conjunto de datos que surge de la distribución log-normal tiene una curva de Lorenz simétrica (ver también coeficiente de asimetría de Lorenz ). ^[31]

Las medias armónicas , geométricas y aritméticas de esta distribución están relacionadas; ^[32] dicha relación está dada por ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Las distribuciones log-normales son infinitamente divisibles , ^[33] pero no son distribuciones estables , de las que se pueda extraer fácilmente. ^[34]

Distribuciones relacionadas

• Si es una distribución normal , entonces ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \exp(X)\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• Si se distribuye log-normalmente, entonces es una variable aleatoria normal. ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• Sean variables independientes log-normalmente distribuidas con parámetros y posiblemente variables , y . La distribución de no tiene una expresión de forma cerrada, pero puede aproximarse razonablemente mediante otra distribución log-normal en la cola derecha. ^[35] Su función de densidad de probabilidad en la vecindad de 0 se ha caracterizado ^[34] y no se parece a ninguna distribución log-normal. Una aproximación comúnmente utilizada debido a LF Fenton (pero previamente establecida por RI Wilkinson y justificada matemáticamente por Marlow ^[36] ) se obtiene haciendo coincidir la media y la varianza de otra distribución logarítmica normal: ${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$
  En el caso de que todas tengan el mismo parámetro de varianza , estas fórmulas se simplifican a ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}}$$

Para una aproximación más precisa, se puede utilizar el método de Monte Carlo para estimar la función de distribución acumulativa, la fdp y la cola derecha. ^{[37] [38]}

La suma de variables aleatorias correlacionadas con distribución logarítmica normal también se puede aproximar mediante una distribución logarítmica normal ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}}$$

• Entonces se dice que tiene una distribución log-normal de tres parámetros con soporte . ^[39] , . ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X+c}$ ${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]}$
• La distribución log-normal es un caso especial de la distribución SU de Johnson semilimitada . ^[40]
• Si es con , entonces (distribución Suzuki). ${\displaystyle X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• Se puede obtener un sustituto del log-normal cuya integral se puede expresar en términos de funciones más elementales ^[41] basándose en la distribución logística para obtener una aproximación de la CDF.
  $${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\right)^{\pi /(\sigma {\sqrt {3}})}+1\right]^{-1}.}$$
  Esta es una distribución log-logística .

Inferencia estadística

Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores de máxima verosimilitud de los parámetros de distribución log-normal μ y σ , podemos utilizar el mismo procedimiento que para la distribución normal . Tenga en cuenta que

$${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),}$$

${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

$${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).}$$

Dado que el primer término es constante con respecto a μ y σ , ambas funciones de verosimilitud logarítmica, y , alcanzan su máximo con el mismo y . Por lo tanto, los estimadores de máxima verosimilitud son idénticos a los de una distribución normal para las observaciones . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell _{N}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$

$${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.}$$

Para n finito , el estimador de for es insesgado, pero el de for está sesgado. En cuanto a la distribución normal, se puede obtener un estimador insesgado de reemplazando el denominador n por n −1 en la ecuación de . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

Cuando los valores individuales no están disponibles, pero sí la media y la desviación estándar de la muestra , entonces se puede utilizar el método de los momentos . Los parámetros correspondientes están determinados por las siguientes fórmulas, obtenidas resolviendo las ecuaciones para la esperanza y la varianza de y : ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$ ${\displaystyle \operatorname {Var} [X]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\bar {x}}{\sqrt {1+{\widehat {\sigma }}^{2}/{\bar {x}}^{2}}}}\right),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{{\widehat {\sigma }}^{2}}/{\bar {x}}^{2}\right).}$$

Estimaciones de intervalo

La forma más eficiente de obtener estimaciones de intervalo al analizar datos distribuidos logarítmicamente normalmente consiste en aplicar los métodos conocidos basados ​​en la distribución normal a datos transformados logarítmicamente y luego transformar los resultados si corresponde.

Intervalos de predicción

Un ejemplo básico lo dan los intervalos de predicción : para la distribución normal, el intervalo contiene aproximadamente dos tercios (68%) de la probabilidad (o de una muestra grande) y contiene el 95%. Por lo tanto, para una distribución log-normal, ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$ ${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$

$${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/\sigma ^{*}]}$$

$${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$$

Intervalo de confianza para μ ^*

Utilizando el principio, observe que un intervalo de confianza para es , donde es el error estándar y q es el cuantil del 97,5 % de una distribución t con n-1 grados de libertad. La retrotransformación conduce a un intervalo de confianza para , ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se} }}]}$ ${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$

$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatorname {sem} ^{*})^{q}]}$$

${\displaystyle \operatorname {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

Principio extremo de entropía para fijar el parámetro libre σ

En las aplicaciones, es un parámetro por determinar. Para procesos de crecimiento equilibrados por producción y disipación, el uso de un principio extremo de entropía de Shannon muestra que ^[42] ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\sqrt {6}}}}$$

Este valor puede usarse luego para dar alguna relación de escala entre el punto de inflexión y el punto máximo de la distribución log-normal. ^[42] Esta relación está determinada por la base del logaritmo natural, y exhibe cierta similitud geométrica con el principio de energía superficial mínima. Estas relaciones de escala son útiles para predecir una serie de procesos de crecimiento (propagación de epidemias, salpicaduras de gotas, crecimiento demográfico, velocidad de remolino del vórtice de la bañera, distribución de caracteres del lenguaje, perfil de velocidad de las turbulencias, etc.). Por ejemplo, la función logarítmica normal encaja bien con el tamaño de las gotas producidas secundariamente durante el impacto de las gotas ^[43] y la propagación de una enfermedad epidémica. ^[44] ${\displaystyle e=2.718\ldots }$ ${\displaystyle \sigma }$

El valor se utiliza para proporcionar una solución probabilística para la ecuación de Drake. ^[45] ${\textstyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$

Ocurrencia y aplicaciones

La distribución log-normal es importante en la descripción de fenómenos naturales. Muchos procesos de crecimiento natural son impulsados ​​por la acumulación de muchos pequeños cambios porcentuales que se vuelven aditivos en una escala logarítmica. En condiciones de regularidad apropiadas, la distribución de los cambios acumulados resultantes se aproximará cada vez más mediante un log-normal, como se indica en la sección anterior sobre "Teorema del límite central multiplicativo". Esto también se conoce como ley de Gibrat , en honor a Robert Gibrat (1904-1980), quien la formuló para las empresas. ^[46] Si la tasa de acumulación de estos pequeños cambios no varía con el tiempo, el crecimiento se vuelve independiente del tamaño. Incluso si esta suposición no es cierta, las distribuciones de tamaño de cualquier edad de los objetos que crecen con el tiempo tienden a ser lognormales. ^{[ cita necesaria ]} En consecuencia, los rangos de referencia para las mediciones en individuos sanos se estiman con mayor precisión asumiendo una distribución log-normal que asumiendo una distribución simétrica alrededor de la media. ^{[ cita necesaria ]}

Una segunda justificación se basa en la observación de que las leyes naturales fundamentales implican multiplicaciones y divisiones de variables positivas. Algunos ejemplos son la simple ley de gravitación que conecta masas y distancias con la fuerza resultante, o la fórmula para las concentraciones de equilibrio de sustancias químicas en una solución que conecta concentraciones de eductos y productos. Asumir distribuciones log-normales de las variables involucradas conduce a modelos consistentes en estos casos.

En las siguientes subsecciones se dan ejemplos específicos. ^[47] contiene una revisión y una tabla de distribuciones log-normales de geología, biología, medicina, alimentación, ecología y otras áreas. ^[48] ​​es un artículo de revisión sobre distribuciones log-normales en neurociencia, con bibliografía comentada.

Comportamiento humano

• La longitud de los comentarios publicados en foros de discusión de Internet sigue una distribución logarítmica normal. ^[49]
• El tiempo de permanencia de los usuarios en artículos en línea (chistes, noticias, etc.) sigue una distribución logarítmica normal. ^[50]
• La duración de las partidas de ajedrez tiende a seguir una distribución log-normal. ^[51]
• Las duraciones de inicio de los estímulos de comparación acústica que se corresponden con un estímulo estándar siguen una distribución logarítmica normal. ^[18]

Biología y medicina

• Medidas de tamaño de tejido vivo (longitud, área de piel, peso). ^[52]
• Periodo de incubación de enfermedades. ^[53]
• Diámetros de manchas en hojas de plátano, oidio sobre cebada. ^[47]
• Para epidemias altamente transmisibles, como el SARS en 2003, si se involucran políticas de control de intervención pública, se muestra que el número de casos hospitalizados satisface la distribución log-normal sin parámetros libres si se supone una entropía y la desviación estándar está determinada por la Principio de tasa máxima de producción de entropía . ^[54]
• La longitud de los apéndices inertes (pelo, garras, uñas, dientes) de especímenes biológicos, en la dirección del crecimiento. ^{[ cita necesaria ]}
• El recuento normalizado de RNA-Seq para cualquier región genómica se puede aproximar bien mediante una distribución log-normal.
• La longitud de lectura de la secuenciación PacBio sigue una distribución log-normal. ^[55]
• Ciertas mediciones fisiológicas, como la presión arterial de humanos adultos (después de la separación en subpoblaciones masculinas y femeninas). ^[56]
• Varias variables farmacocinéticas , como la Cmax , la vida media de eliminación y la constante de velocidad de eliminación . ^[57]
• En neurociencia, la distribución de las tasas de activación en una población de neuronas suele ser aproximadamente log-normal. Esto se ha observado por primera vez en la corteza y el cuerpo estriado ^[58] y más tarde en el hipocampo y la corteza entorrinal, ^[59] y en otras partes del cerebro. ^{[48] ​​[60]} Además, las distribuciones de ganancia intrínseca y las distribuciones de peso sináptico también parecen ser log-normales ^{[61] .}
• Densidades neuronales en la corteza cerebral, debido al ruidoso proceso de división celular durante el neurodesarrollo. ^[62]
• En la gestión de quirófanos, la distribución de la duración de la cirugía .
• En el tamaño de las avalanchas de fracturas en el citoesqueleto de las células vivas, se muestran distribuciones log-normales, con un tamaño significativamente mayor en las células cancerosas que en las sanas. ^[63]

Química

• Distribuciones de tamaño de partículas y distribuciones de masa molar .
• La concentración de elementos raros en los minerales. ^[64]
• Diámetros de cristales en helado, gotas de aceite en mayonesa, poros en torta de cacao. ^[47]

Distribución log-normal acumulativa ajustada a las precipitaciones máximas anuales de 1 día, ver ajuste de distribución

Hidrología

• En hidrología , la distribución log-normal se utiliza para analizar valores extremos de variables como los valores máximos mensuales y anuales de precipitación diaria y los volúmenes de descarga de los ríos. ^{[sesenta y cinco]}

La imagen de la derecha, hecha con CumFreq , ilustra un ejemplo de cómo ajustar la distribución logarítmica normal a las precipitaciones máximas de un día clasificadas anualmente, mostrando también el cinturón de confianza del 90% basado en la distribución binomial . ^[66]

Los datos de lluvia se representan trazando posiciones como parte de un análisis de frecuencia acumulativa .

Ciencias sociales y demografía.

• En economía , hay evidencia de que el ingreso del 97% al 99% de la población se distribuye con normalidad logarítmica. ^[67] (La distribución de las personas con mayores ingresos sigue una distribución de Pareto ). ^[68]
• Si una distribución del ingreso sigue una distribución log-normal con desviación estándar , entonces el coeficiente de Gini , comúnmente utilizado para evaluar la desigualdad del ingreso, se puede calcular como donde está la función de error , ya que donde es la función de distribución acumulada de una distribución normal estándar. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$
• En finanzas , en particular en el modelo de Black-Scholes , los cambios en el logaritmo de los tipos de cambio, los índices de precios y los índices bursátiles se suponen normales ^[69] (estas variables se comportan como interés compuesto, no como interés simple, y por lo tanto son multiplicativas) . Sin embargo, algunos matemáticos como Benoit Mandelbrot han argumentado ^[70] que las distribuciones log-Lévy , que poseen colas pesadas , serían un modelo más apropiado, en particular para el análisis de caídas del mercado de valores . De hecho, las distribuciones de precios de las acciones suelen mostrar una cola gruesa . ^[71] La distribución de cola gruesa de los cambios durante las caídas del mercado de valores invalida los supuestos del teorema del límite central .
• En cienciometría , el número de citas de artículos de revistas y patentes sigue una distribución logarítmica normal discreta. ^{[72] [73]}
• El tamaño de las ciudades (población) satisface la ley de Gibrat. ^[74] El proceso de crecimiento del tamaño de las ciudades es proporcional e invariante con respecto al tamaño. Por lo tanto, según el teorema del límite central , el logaritmo del tamaño de la ciudad tiene una distribución normal.
• El número de parejas sexuales parece describirse mejor mediante una distribución logarítmica normal. ^[75]

Tecnología

• En el análisis de confiabilidad , la distribución logarítmica normal se utiliza a menudo para modelar los tiempos necesarios para reparar un sistema mantenible. ^[76]
• En la comunicación inalámbrica , "la potencia media local expresada en valores logarítmicos, como dB o neper, tiene una distribución normal (es decir, gaussiana)". ^[77] Además, la obstrucción aleatoria de las señales de radio debido a grandes edificios y colinas, llamada sombra , a menudo se modela como una distribución log-normal.
• Distribuciones de tamaño de partículas producidas por trituración con impactos aleatorios, como en el molino de bolas . ^[78]
• La distribución del tamaño de los archivos de datos de audio y vídeo disponibles públicamente ( tipos MIME ) sigue una distribución logarítmica normal en cinco órdenes de magnitud . ^[79]
• Tamaños de archivos de 140 millones de archivos en computadoras personales que ejecutan el sistema operativo Windows, recopilados en 1999. ^{[80] [49]}
• Tamaños de correos electrónicos basados ​​en texto (década de 1990) y correos electrónicos basados ​​en multimedia (década de 2000). ^[49]
• En redes informáticas y análisis de tráfico de Internet , el registro normal se muestra como un buen modelo estadístico para representar la cantidad de tráfico por unidad de tiempo. Esto se ha demostrado aplicando un enfoque estadístico sólido a grandes grupos de rastros reales de Internet. En este contexto, la distribución log-normal ha mostrado un buen rendimiento en dos casos de uso principales: (1) predecir la proporción de tiempo en que el tráfico excederá un nivel determinado (para acuerdo de nivel de servicio o estimación de capacidad de enlace), es decir, dimensionamiento del enlace basado en el ancho de banda aprovisionamiento y (2) predicción de precios del percentil 95. ^[81]
• En las pruebas físicas, cuando la prueba produce un tiempo hasta que falla un elemento en condiciones específicas, los datos suelen analizarse mejor utilizando una distribución lognormal. ^{[82] [83]}

Ver también

• Distribución de cola pesada
• Modelo de pérdida de ruta de registro de distancia
• Distribución de ley de potencia lognormal modificada
• Desvanecimiento lento

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Otras lecturas

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enlaces externos

• La distribución normal es la distribución log-normal.