En finanzas matemáticas , la convexidad se refiere a las no linealidades en un modelo financiero . En otras palabras, si el precio de una variable subyacente cambia, el precio de un producto no cambia linealmente, sino que depende de la segunda derivada (o, en términos generales, de los términos de orden superior ) de la función de modelado. Geométricamente, el modelo ya no es plano sino curvo, y el grado de curvatura se llama convexidad.
Estrictamente hablando, la convexidad se refiere a la segunda derivada del precio del producto con respecto al precio del insumo. En la fijación de precios de derivados , esto se conoce como Gamma (Γ), uno de los griegos . En la práctica, el más importante de ellos es la convexidad de los bonos , la segunda derivada del precio de los bonos con respecto a los tipos de interés.
Como la segunda derivada es el primer término no lineal y, por tanto, a menudo el más significativo, "convexidad" también se utiliza de manera vaga para referirse a las no linealidades en general, incluidos los términos de orden superior. Refinar un modelo para tener en cuenta las no linealidades se denomina corrección de convexidad .
Formalmente, el ajuste de convexidad surge de la desigualdad de Jensen en la teoría de la probabilidad: el valor esperado de una función convexa es mayor o igual a la función del valor esperado:
Geométricamente, si el precio del modelo se curva hacia arriba a ambos lados del valor presente (la función de pago es convexa hacia arriba y está por encima de una línea tangente en ese punto), entonces si el precio del subyacente cambia, el precio de la producción es mayor que se modela utilizando sólo la primera derivada. Por el contrario, si el precio del modelo se curva hacia abajo (la convexidad es negativa, la función de pago está por debajo de la línea tangente), el precio del producto es menor que el que se modela utilizando solo la primera derivada. [ se necesita aclaración ]
El ajuste preciso de la convexidad depende del modelo de movimientos futuros del precio del subyacente (la distribución de probabilidad) y del modelo del precio, aunque es lineal en la convexidad (segunda derivada de la función de precios).
La convexidad se puede utilizar para interpretar el precio de los derivados: matemáticamente, la convexidad es opcionalidad: el precio de una opción (el valor de la opcionalidad) corresponde a la convexidad del pago subyacente.
En la fijación de precios de opciones de Black-Scholes , omitiendo las tasas de interés y la primera derivada, la ecuación de Black-Scholes se reduce a "(infinitesimalmente) el valor temporal es la convexidad". Es decir, el valor de una opción se debe a la convexidad del pago final: uno tiene la opción de comprar un activo o no (en una opción call; para una venta es una opción de venta), y la función de pago final ( (con forma de palo de hockey ) es convexo: la "opcionalidad" corresponde a la convexidad en el pago. Por lo tanto, si uno compra una opción de compra, el valor esperado de la opción es mayor que simplemente tomar el valor futuro esperado del subyacente e ingresarlo en la función de pago de la opción: el valor esperado de una función convexa es mayor que la función de la valor esperado (desigualdad de Jensen). El precio de la opción – el valor de la opcionalidad – refleja así la convexidad de la función de pago [ se necesita aclaración ] .
Este valor se aísla mediante un straddle : la compra de un straddle at-the-money (cuyo valor aumenta si el precio del subyacente aumenta o disminuye) no tiene (inicialmente) ninguna delta: uno simplemente está comprando convexidad (opcionalidad), sin tomar una posición. sobre el activo subyacente: uno se beneficia del grado de movimiento, no de la dirección .
Desde el punto de vista de la gestión de riesgos, tener una convexidad larga (tener Gamma positivo y por lo tanto (ignorando las tasas de interés y Delta) Theta negativo) significa que uno se beneficia de la volatilidad (Gamma positivo), pero pierde dinero con el tiempo (Theta negativo). ganancias netas si los precios se mueven más de lo esperado y pérdidas netas si los precios se mueven menos de lo esperado.
Desde una perspectiva de modelización, los ajustes de convexidad surgen cada vez que las variables financieras subyacentes modeladas no son una martingala según la medida de fijación de precios . La aplicación del teorema de Girsanov [1] permite expresar la dinámica de las variables financieras modeladas bajo la medida de precios y por tanto estimar este ajuste de convexidad. Ejemplos típicos de ajustes de convexidad incluyen:
![{\displaystyle E[f(X)]\geq f(E[X]).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78d4175b1e4e211644ad51362f7d7b27a76f66b)
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