Significado geometrico

N-ésima raíz del producto de n números

Ejemplo de media geométrica: (rojo) es la media geométrica de y , ^{[1] [2]} en un ejemplo en el que el segmento de línea se proporciona como perpendicular a (tenga en cuenta una pausa de 10 s entre cada ejecución de animación). ${\displaystyle l_{g}}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{2}\;({\overline {BC}})}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

En matemáticas, la media geométrica es una media o promedio que indica una tendencia central de un conjunto finito de números reales utilizando el producto de sus valores (a diferencia de la media aritmética que utiliza su suma). La media geométrica se define como la n- ésima raíz del producto de n números, es decir, para un conjunto de números _a 1 _, a 2 _, ..., an , la media geométrica se define como

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}$

o, de manera equivalente, como la media aritmética en escala logarítmica :

${\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}}$

Lo más común es que los números se limiten a ser no negativos, para evitar complicaciones relacionadas con el hecho de que los números negativos no tengan raíces reales, y con frecuencia se limitan a ser positivos, para permitir el uso de logaritmos. En cualquier caso, la media geométrica es igual a cero para cualquier conjunto de datos donde uno o más valores sean iguales a cero. La media geométrica puede ser una medida poco confiable de tendencia central para un conjunto de datos donde uno o más valores están extremadamente cerca de cero en comparación con los otros miembros del conjunto de datos.

La media geométrica de dos números, digamos 2 y 8, es simplemente la raíz cuadrada de su producto, es decir, . La media geométrica de los tres números 4, 1 y 1/32 es la raíz cúbica de su producto (1/8), que es 1/2, es decir ,. ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}=4}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2}$

La media geométrica se utiliza a menudo para un conjunto de números cuyos valores deben multiplicarse o son de naturaleza exponencial, como un conjunto de cifras de crecimiento: valores de la población humana o tasas de interés de una inversión financiera a lo largo del tiempo. También se aplica a la evaluación comparativa , donde es particularmente útil para calcular los medios de las relaciones de aceleración : ya que la media de 0,5x (la mitad de rápido) y 2x (el doble de rápido) será 1 (es decir, sin aceleración general).

Supongamos, por ejemplo, que una persona invierte 1.000 dólares en acciones y logra rendimientos anuales de +10%, -12%, +90%, -30% y +25% durante 5 años consecutivos para dar un valor de inversión final de 1.609 dólares. La media aritmética de los cambios porcentuales anuales es del 16,6%. Sin embargo, este valor no es representativo. Si la inversión inicial creciera un 16,6% anual, al cabo de 5 años valdría 2.155 dólares. De hecho, para encontrar el crecimiento porcentual promedio es necesario calcular la media geométrica de las sucesivas razones de crecimiento anual (1,1, 0,88, 1,9, 0,7, 1,25). Esto da un valor de 1,0998 que corresponde a un crecimiento medio anual del 9,98%. Se puede comprobar fácilmente que una inversión de 1.000 dólares que crece un 9,98% en cinco años alcanzaría un valor de inversión final de 1.609 dólares. En este caso, la media geométrica es apropiada porque el crecimiento de la inversión es multiplicativo y no aditivo.

La media geométrica se puede entender en términos de geometría . La media geométrica de dos números, y , es la longitud de un lado de un cuadrado cuyo área es igual al área de un rectángulo con lados de longitud y . De manera similar, la media geométrica de tres números, , y , es la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es el mismo que el de un cuboide con lados cuyas longitudes son iguales a los tres números dados. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

La media geométrica es una de las tres medias pitagóricas clásicas , junto con la media aritmética y la media armónica . Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores desiguales, la media armónica es siempre la menor de las tres medias, mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres y la media geométrica siempre está en el medio (ver Desigualdad de valores aritméticos). y medias geométricas .)

Cálculo

La media geométrica de un conjunto de datos viene dada por: ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}$^[3]

La figura anterior utiliza la notación pi mayúscula para mostrar una serie de multiplicaciones. Cada lado del signo igual muestra que un conjunto de valores se multiplica en sucesión (el número de valores está representado por "n") para dar un producto total del conjunto, y luego la enésima raíz del producto total se toma para dar la media geométrica del conjunto original. Por ejemplo, en un conjunto de cuatro números , el producto de es y la media geométrica es la raíz cuarta de 24, o ~ 2,213. El exponente del lado izquierdo equivale a sacar la raíz n- ésima. Por ejemplo, . ${\textstyle \{1,2,3,4\}}$ ${\textstyle 1\times 2\times 3\times 4}$ ${\textstyle 24}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}}$ ${\textstyle 24^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{24}}}$

Medios iterativos

La media geométrica de un conjunto de datos es menor que la media aritmética del conjunto de datos a menos que todos los miembros del conjunto de datos sean iguales, en cuyo caso las medias geométrica y aritmética son iguales. Esto permite definir la media aritmético-geométrica , una intersección de ambas que siempre se encuentra en el medio.

La media geométrica es también la media aritmético-armónica en el sentido de que si se definen dos sucesiones ( ) y ( ): ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle h_{n}}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

y

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {1}{h_{n}}}}},\quad h_{0}=y}$

donde es la media armónica de los valores anteriores de las dos secuencias, entonces y convergerá a la media geométrica de y . Las secuencias convergen a un límite común y se conserva la media geométrica: ${\textstyle h_{n+1}}$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle h_{n}}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$

Reemplazar la media aritmética y armónica por un par de medias generalizadas de exponentes finitos opuestos produce el mismo resultado.

Relación con logaritmos

La media geométrica también se puede expresar como exponencial de la media aritmética de logaritmos. ^[4] Al usar identidades logarítmicas para transformar la fórmula, las multiplicaciones se pueden expresar como una suma y la potencia como una multiplicación:

Cuando ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}\right];}$

Como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}&={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\&=e^{\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\left(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}\right)}\\&=e^{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\\{\text{geometric mean(}}a{\text{)}}&=e^{{\text{arithmetic mean(ln(}}a{\text{))}}}\end{aligned}}}$

alternativamente, use cualquier base de números reales positivos, tanto para los logaritmos como para el número que está elevando a la potencia de la media aritmética de los logaritmos individuales en esa misma base.

Además, si se permiten valores negativos de , ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(\left(-1\right)^{m}\right)^{\frac {1}{n}}\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left|a_{i}\right|\right],}$

donde m es el número de números negativos.

A esto a veces se le llama promedio logarítmico (no debe confundirse con el promedio logarítmico ). Simplemente se trata de calcular la media aritmética de los valores transformados logaritmo de (es decir, la media aritmética en la escala logarítmica) y luego usar la exponenciación para devolver el cálculo a la escala original, es decir, es la media f generalizada con . Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 8 se puede calcular de la siguiente manera, donde es cualquier base de un logaritmo (comúnmente 2 o 10): ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle f(x)=\log x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle b^{{\frac {1}{2}}\left[\log _{b}(2)+\log _{b}(8)\right]}=4}$

Relacionado con lo anterior, se puede ver que para una muestra dada de puntos , la media geométrica es el minimizador de ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i})-\log(a))^{2}=\sum _{i=1}^{n}(\log(a_{i}/a))^{2}}$,

mientras que la media aritmética es el minimizador de

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}}$.

Por tanto, la media geométrica proporciona un resumen de las muestras cuyo exponente coincide mejor con los exponentes de las muestras (en el sentido de mínimos cuadrados).

La forma logarítmica de la media geométrica es generalmente la alternativa preferida para su implementación en lenguajes informáticos porque el cálculo del producto de muchos números puede provocar un desbordamiento aritmético o un desbordamiento aritmético . Es menos probable que esto ocurra con la suma de los logaritmos de cada número.

Comparación con la media aritmética

Prueba sin palabras de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas : es el diámetro de un círculo centrado en ; su radio es la media aritmética de y . Usando el teorema de la media geométrica , la altitud del triángulo es la media geométrica. Para cualquier relación , .
${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle AO}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle PGR}$ ${\displaystyle GQ}$ ${\displaystyle a:b}$ ${\displaystyle AO\geq GQ}$

Prueba geométrica sin palabras de que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

La media geométrica de un conjunto de datos no vacío de números (positivos) es siempre, como máximo, su media aritmética. La igualdad sólo se obtiene cuando todos los números del conjunto de datos son iguales; de lo contrario, la media geométrica es menor. Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 3 es 2,45, mientras que su media aritmética es 2,5. En particular, esto significa que cuando un conjunto de números no idénticos se somete a una dispersión que preserva la media (es decir, los elementos del conjunto están más "separados" entre sí mientras se deja la media aritmética sin cambios), su media geométrica disminuye. ^[5]

Tasa de crecimiento promedio

En muchos casos la media geométrica es la mejor medida para determinar la tasa de crecimiento promedio de alguna cantidad. (Por ejemplo, si en un año las ventas aumentan un 80% y el año siguiente un 25%, el resultado final es el mismo que el de una tasa de crecimiento constante del 50%, ya que la media geométrica de 1,80 y 1,25 es 1,50.) Para determinar la tasa de crecimiento promedio, no es necesario tomar el producto de las tasas de crecimiento medidas en cada paso. Sea la cantidad dada como la secuencia , donde es el número de pasos desde el estado inicial al final. La tasa de crecimiento entre mediciones sucesivas y es . La media geométrica de estas tasas de crecimiento es entonces justa: ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{k+1}}$ ${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

Aplicación a valores normalizados

La propiedad fundamental de la media geométrica, que no se cumple para ninguna otra media, es que para dos secuencias y de igual longitud, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}$

Esto hace que la media geométrica sea la única media correcta al promediar resultados normalizados ; es decir, resultados que se presentan como proporciones con respecto a valores de referencia. ^[6] Este es el caso cuando se presenta el rendimiento de una computadora con respecto a una computadora de referencia, o cuando se calcula un índice promedio único a partir de varias fuentes heterogéneas (por ejemplo, esperanza de vida, años de educación y mortalidad infantil). En este escenario, utilizar la media aritmética o armónica cambiaría la clasificación de los resultados dependiendo de lo que se utilice como referencia. Por ejemplo, tomemos la siguiente comparación del tiempo de ejecución de programas informáticos:

tabla 1

Los medios aritméticos y geométricos "están de acuerdo" en que la computadora C es la más rápida. Sin embargo, al presentar valores normalizados adecuadamente y usar la media aritmética, podemos demostrar que cualquiera de las otras dos computadoras es la más rápida. La normalización por el resultado de A da a A como la computadora más rápida según la media aritmética:

Tabla 2

mientras que la normalización por el resultado de B da a B como la computadora más rápida según la media aritmética pero a A como la más rápida según la media armónica:

Tabla 3

y la normalización por el resultado de C da a C como la computadora más rápida según la media aritmética, pero A como la más rápida según la media armónica:

Tabla 4

En todos los casos, la clasificación dada por la media geométrica sigue siendo la misma que la obtenida con valores no normalizados.

Sin embargo, este razonamiento ha sido cuestionado. ^[7] Dar resultados consistentes no siempre es igual a dar los resultados correctos. En general, es más riguroso asignar pesos a cada uno de los programas, calcular el tiempo de ejecución promedio ponderado (usando la media aritmética) y luego normalizar ese resultado a una de las computadoras. Las tres tablas anteriores simplemente dan un peso diferente a cada uno de los programas, explicando los resultados inconsistentes de las medias aritméticas y armónicas (la Tabla 4 da el mismo peso a ambos programas, la Tabla 2 da un peso de 1/1000 al segundo programa, y la Tabla 3 da un peso de 1/100 al segundo programa y 1/10 al primero). Si es posible, se debe evitar el uso de la media geométrica para agregar números de rendimiento, porque multiplicar los tiempos de ejecución no tiene significado físico, a diferencia de sumar tiempos como en la media aritmética. Las métricas que son inversamente proporcionales al tiempo (aceleración, IPC ) deben promediarse utilizando la media armónica.

La media geométrica se puede derivar de la media generalizada como su límite cuando llega a cero. De manera similar, esto es posible para la media geométrica ponderada. ${\displaystyle p}$

Media geométrica de una función continua

Si es una función continua positiva de valor real, su media geométrica en este intervalo es ${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$

${\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$

Por ejemplo, tomar la función de identidad sobre el intervalo unitario muestra que la media geométrica de los números positivos entre 0 y 1 es igual a . ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$

Aplicaciones

Crecimiento proporcional

La media geométrica es más apropiada que la media aritmética para describir el crecimiento proporcional, tanto el crecimiento exponencial (crecimiento proporcional constante) como el crecimiento variable; En los negocios, la media geométrica de las tasas de crecimiento se conoce como tasa de crecimiento anual compuesta (CAGR). La media geométrica del crecimiento a lo largo de períodos produce la tasa de crecimiento constante equivalente que produciría la misma cantidad final.

Supongamos que un naranjo produce 100 naranjas un año y luego 180, 210 y 300 los años siguientes, por lo que el crecimiento es del 80%, 16,6666% y 42,8571% para cada año respectivamente. Usando la media aritmética se calcula un crecimiento promedio (lineal) de 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, esa suma luego se divide por 3). Sin embargo, si comenzamos con 100 naranjas y dejamos que crezcan un 46,5079% cada año, el resultado es 314 naranjas, no 300, por lo que el promedio lineal sobreestima el crecimiento interanual.

En su lugar, podemos usar la media geométrica. Crecer con 80% corresponde a multiplicar por 1,80, por lo que tomamos la media geométrica de 1,80, 1,166666 y 1,428571, es decir ; por tanto, el crecimiento "promedio" anual es del 44,2249%. Si comenzamos con 100 naranjas y dejamos que el número crezca un 44,2249% cada año, el resultado es 300 naranjas. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}$

Financiero

La media geométrica se ha utilizado de vez en cuando para calcular índices financieros (el promedio se realiza sobre los componentes del índice). Por ejemplo, en el pasado el índice FT 30 utilizaba una media geométrica. ^[8] También se utiliza en el cálculo del IPC ^[9] y recientemente se introdujo la medida de inflación " RPIJ " en el Reino Unido y la Unión Europea.

Esto tiene el efecto de subestimar los movimientos del índice en comparación con el uso de la media aritmética. ^[8]

Aplicaciones en las ciencias sociales.

Aunque la media geométrica ha sido relativamente rara en el cálculo de las estadísticas sociales, a partir de 2010 el Índice de Desarrollo Humano de las Naciones Unidas cambió a este modo de cálculo, con el argumento de que reflejaba mejor la naturaleza no sustituible de las estadísticas que se compilaban y comparaban:

La media geométrica disminuye el nivel de sustituibilidad entre dimensiones [que se comparan] y al mismo tiempo garantiza que una disminución del 1 por ciento en, digamos, la esperanza de vida al nacer tenga el mismo impacto en el IDH que una disminución del 1 por ciento en la educación o los ingresos. Por lo tanto, como base para comparar los logros, este método también respeta más las diferencias intrínsecas entre las dimensiones que un promedio simple. ^[10]

No todos los valores utilizados para calcular el IDH (Índice de Desarrollo Humano) están normalizados; algunos de ellos en cambio tienen la forma . Esto hace que la elección de la media geométrica sea menos obvia de lo que cabría esperar de la sección "Propiedades" anterior. ${\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}$

El ingreso equivalente al bienestar distribuido equitativamente asociado con un índice de Atkinson con un parámetro de aversión a la desigualdad de 1,0 es simplemente la media geométrica de los ingresos. Para valores distintos de uno, el valor equivalente es una norma Lp dividida por el número de elementos, con p igual a uno menos el parámetro de aversión a la desigualdad.

Geometría

La altura de un triángulo rectángulo desde su ángulo recto hasta su hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos en los que se divide la hipotenusa. Usando el teorema de Pitágoras sobre los 3 triángulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) y ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

En el caso de un triángulo rectángulo , su altura es la longitud de una línea que se extiende perpendicularmente desde la hipotenusa hasta su vértice de 90°. Imaginando que esta recta divide la hipotenusa en dos segmentos, la media geométrica de la longitud de estos segmentos es la longitud de la altitud. Esta propiedad se conoce como teorema de la media geométrica .

En una elipse , el semieje menor es la media geométrica de las distancias máxima y mínima de la elipse a un foco ; también es la media geométrica del semieje mayor y del recto semilato . El semieje mayor de una elipse es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia del centro a cualquiera de las directrices .

Otra forma de pensarlo es la siguiente:

Considere un círculo con radio . Ahora tome dos puntos diametralmente opuestos en el círculo y aplique presión desde ambos extremos para deformarlo en una elipse con ejes semimayor y semimenor de longitudes y . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Como el área del círculo y la elipse son iguales, tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}}$

El radio del círculo es la media geométrica de los ejes semimayor y semimenor de la elipse formada al deformar el círculo.

La distancia al horizonte de una esfera (ignorando el efecto de la refracción atmosférica cuando hay atmósfera) es igual a la media geométrica de la distancia al punto más cercano de la esfera y la distancia al punto más lejano de la esfera.

La media geométrica se utiliza tanto en la aproximación de la cuadratura del círculo de SA Ramanujan ^[11] como en la construcción del heptadecágono con "medias proporcionales". ^[12]

Relaciones de aspecto

Comparación de áreas iguales de las relaciones de aspecto utilizadas por Kerns Powers para derivar el estándar SMPTE 16:9 . ^[13]   TV 4:3/1.33 en rojo,  1,66 en naranja,  16:9/1.7 7 en azul ,  1,85 en amarillo,  Panavision /2.2 en malva y  CinemaScope /2,35 en color morado.

La media geométrica se ha utilizado para elegir una relación de aspecto de compromiso en películas y vídeos: dadas dos relaciones de aspecto, la media geométrica de ellas proporciona un compromiso entre ellas, distorsionando o recortando ambas por igual en algún sentido. Concretamente, dos rectángulos de igual área (con el mismo centro y lados paralelos) de diferentes proporciones se cruzan en un rectángulo cuya proporción es la media geométrica, y su casco (el rectángulo más pequeño que los contiene a ambos) también tiene la proporción de sus significado geometrico.

En la elección de la relación de aspecto 16:9 por parte del SMPTE , equilibrando 2,35 y 4:3, la media geométrica es , y por tanto ... fue elegida. Esto fue descubierto empíricamente por Kerns Powers, quien recortó rectángulos con áreas iguales y les dio forma para que coincidieran con cada una de las relaciones de aspecto populares. Cuando se superpusieron con sus puntos centrales alineados, descubrió que todos esos rectángulos de relación de aspecto encajaban dentro de un rectángulo exterior con una relación de aspecto de 1,77:1 y todos ellos también cubrían un rectángulo interior común más pequeño con la misma relación de aspecto de 1,77:1. ^[13] El valor encontrado por Powers es exactamente la media geométrica de las relaciones de aspecto extremas, 4:3 (1,33:1) y CinemaScope (2,35:1), que casualmente está cerca de ( ). Las razones intermedias no tienen ningún efecto sobre el resultado, sólo las dos razones extremas. ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$ ${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$   ${\textstyle 16:9}$ ${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$

Al aplicar la misma técnica de media geométrica a 16:9 y 4:3 aproximadamente se obtiene la relación de aspecto 14:9 ( ...), que también se utiliza como un compromiso entre estas relaciones. ^[14] En este caso 14:9 es exactamente la media aritmética de y , ya que 14 es el promedio de 16 y 12, mientras que la media geométrica precisa es pero las dos medias diferentes , aritmética y geométrica, son aproximadamente iguales porque ambos números son suficientemente cerca entre sí (una diferencia inferior al 2%). ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$ ${\textstyle 16:9}$ ${\textstyle 4:3=12:9}$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$

Formatos de papel

La media geométrica también se utiliza para calcular los formatos de papel de las series B y C. El formato tiene un área que es la media geométrica de las áreas de y . Por ejemplo, el área de un documento B1 es , porque es la media geométrica de las áreas de un documento A0 ( ) y un A1 ( ) ( ). ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$ ${\displaystyle 1\mathrm {m} ^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$

El mismo principio se aplica con la serie C, cuya área es la media geométrica de las series A y B. Por ejemplo, el formato C4 tiene un área que es la media geométrica de las áreas de A4 y B4.

Una ventaja que surge de esta relación es que un papel A4 cabe dentro de un sobre C4 y ambos caben dentro de un sobre B4.

Otras aplicaciones

• Planitud espectral : en el procesamiento de señales , la planitud espectral , una medida de qué tan plano o puntiagudo es un espectro, se define como la relación entre la media geométrica del espectro de potencia y su media aritmética.
• Recubrimientos antirreflectantes : en recubrimientos ópticos, donde es necesario minimizar la reflexión entre dos medios de índices de refracción n ₀ y n ₂ , el índice de refracción óptimo n ₁ del recubrimiento antirreflectante viene dado por la media geométrica: . ${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$
• Mezcla de colores sustractiva : La curva de reflectancia espectral para mezclas de pintura (de igual intensidad de tinte , opacidad y dilución ) es aproximadamente la media geométrica de las curvas de reflectancia individuales de las pinturas calculadas en cada longitud de onda de sus espectros . ^[15]
• Procesamiento de imágenes : El filtro de media geométrica se utiliza como filtro de ruido en el procesamiento de imágenes .
• Compensación laboral : Johann von Thünen sugirió como salario natural la media geométrica del salario de subsistencia y el valor de mercado del trabajo utilizando el capital del empleador en 1875. ^[16]

Ver también

• Portal de matemáticas

• Media aritmético-geométrica
• Media generalizada
• Teorema de la media geométrica
• Desviación estándar geométrica
• Significado armonico
• media heroniana
• heterocedasticidad
• Distribución logarítmica normal
• La desigualdad de Muirhead
• Producto
• Medios pitagóricos
• media cuadrática
• Cuadratura (matemáticas)
• Media cuasi aritmética ( media f generalizada )
• Tasa de retorno
• Media geométrica ponderada

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Usando triángulos semejantes ,HC/GC=GC/jefe∴ HC =GC²/jefe= HM .

Referencias

1. Matt Friehauf, Mikaela Hertel, Juan Liu y Stacey Luong "Sobre las construcciones con regla y compás: medios" (PDF) . UNIVERSIDAD DE WASHINGTON, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. 2013 . Consultado el 14 de junio de 2018 .
2. "Euclides, Libro VI, Proposición 13". David E. Joyce, Universidad Clark. 2013 . Consultado el 19 de julio de 2019 .
3. "2.5: media geométrica". Estadística LibreTexts . 2019-04-20 . Consultado el 16 de agosto de 2021 .
4. Crawley, Michael J. (2005). Estadísticas: una introducción al uso de R. John Wiley & Sons Ltd. ISBN 9780470022986.
5. Mitchell, Douglas W. (2004). "Más sobre diferenciales y medias no aritméticas". La Gaceta Matemática . 88 : 142-144. doi :10.1017/S0025557200174534. S2CID  168239991.
6. Fleming, Philip J.; Wallace, John J. (1986). "Cómo no mentir con las estadísticas: la forma correcta de resumir los resultados de los benchmarks". Comunicaciones de la ACM . 29 (3): 218–221. doi : 10.1145/5666.5673 . S2CID  1047380.
7. Smith, James E. (1988). "Caracterización del rendimiento de la computadora con un solo número". Comunicaciones de la ACM . 31 (10): 1202-1206. doi : 10.1145/63039.63043 . S2CID  10805363.
8. Rowley, Eric E. (1987). El sistema financiero hoy . Prensa de la Universidad de Manchester. ISBN 0719014875.
9. "Medición de la inflación de precios" (PDF) . Departamento de Actuaría del Gobierno. Marzo de 2017 . Consultado el 15 de julio de 2023 , a través de gov.uk.
10. "Preguntas frecuentes: informes sobre desarrollo humano". hdr.undp.org . Archivado desde el original el 2 de marzo de 2011.
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enlaces externos

• Cálculo de la media geométrica de dos números en comparación con la solución aritmética
• Medias aritméticas y geométricas.
• Cuándo usar la media geométrica
• Soluciones prácticas para calcular la media geométrica con diferentes tipos de datos Archivado el 12 de noviembre de 2010 en Wayback Machine.
• Media geométrica en MathWorld
• Significado geométrico de la media geométrica
• Calculadora de media geométrica para conjuntos de datos más grandes
• Calcular el reparto del Congreso utilizando la media geométrica
• Sitio web de cálculo no newtoniano
• Definición y fórmula de la media geométrica
• La distribución de la media geométrica
• ¿La media geométrica?