Media aritmética-geométrica

Mathematical function of two positive real arguments

"Gráfico de la media aritmético-geométrica entre varias medias generalizadas ". ${\displaystyle \operatorname {agm} (1,x)}$

En matemáticas , la media aritmético-geométrica (AGM o agM ^[1] ) de dos números reales positivos x e y es el límite mutuo de una secuencia de medias aritméticas y una secuencia de medias geométricas . La media aritmético-geométrica se utiliza en algoritmos rápidos para funciones exponenciales , trigonométricas y otras funciones especiales , así como algunas constantes matemáticas , en particular, para calcular π .

La AGM se define como el límite de las secuencias interdependientes y : ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}}$$

convergen en el mismo númeroxeyM ( x , y )agm( x , y )AGM( x , y )

La media aritmético-geométrica se puede extender a números complejos y cuando se permite tomar las ramas de la raíz cuadrada de manera inconsistente, es, en general, una función multivaluada . ^[1]

Ejemplo

Para encontrar la media aritmético-geométrica de a ₀ = 24 y g ₀ = 6 , repita de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$$

El número de dígitos en los que a _n y g _n concuerdan (subrayados) aproximadamente se duplica con cada iteración. La media aritmético-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos secuencias, que es aproximadamente13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . ^[2]

Historia

El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en los trabajos de Lagrange . Sus propiedades fueron analizadas más a fondo por Gauss . ^[1]

Propiedades

La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética . ^[3] Entonces ( g _n ) es una secuencia creciente, ( a _n ) es una secuencia decreciente y g _n ≤ M ( x ,  y ) ≤ a _n . Estas son desigualdades estrictas si x ≠ y .

M ( x , y ) es, por tanto , un número entre la media geométrica y aritméticade xey ; también está entre x e y .

Si r ≥ 0 , entonces M ( rx , ry ) = r M ( x , y ) .

Existe una expresión en forma integral para M ( x , y ) : ^[4]

$${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$$

K ( k )integral elíptica completa de primer tipo

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$$

de filtros elípticos^[5]

La media aritmético-geométrica está conectada a la función theta de Jacobi mediante ^[6] ${\displaystyle \theta _{3}}$

$${\displaystyle M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},}$$

${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.}$$

Conceptos relacionados

El recíproco de la media aritmético-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 es la constante de Gauss .

$${\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }$$

^{[nota 1]}

$${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}}$$

constante de lemniscata ${\displaystyle \varpi }$

En 1941, (y por tanto ) Theodor Schneider demostró ser trascendental . ^{[nota 2] [7] [8]} El conjunto es algebraicamente independiente sobre , ^{[9] [10]} pero el conjunto (donde el primo denota la derivada con respecto a la segunda variable) no es algebraicamente independiente sobre . De hecho, ^[11] ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.}$$

media geométrica-armónicaarmónicasGH( x,y ) = 1/M(1/ x , 1/ y ) = xy /M( x,y )^[12]es equivalente amedia geométrica

La media aritmético-geométrica se puede utilizar para calcular, entre otros, logaritmos , integrales elípticas completas e incompletas de primer y segundo tipo , ^[13] y funciones elípticas de Jacobi . ^[14]

Prueba de existencia

La desigualdad de medias aritméticas y geométricas implica que

$${\displaystyle g_{n}\leq a_{n}}$$

$${\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}$$

g _nxyteorema de convergencia monótonag

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}$$

$${\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}$$

QED

Prueba de la expresión en forma integral

Esta prueba la da Gauss. ^[1] dejar

$${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}$$

Cambiando la variable de integración a , donde ${\displaystyle \theta '}$

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}$$

$${\displaystyle \cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,}$$

$${\displaystyle x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}}$$

Esto produce

$${\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},}$$

da

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

Así, tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle I(z,z)=\pi /(2z)}$

Finalmente obtenemos el resultado deseado.

$${\displaystyle M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.}$$

Aplicaciones

El número π

Según el algoritmo de Gauss-Legendre , ^[15]

$${\displaystyle \pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},}$$

dónde

$${\displaystyle c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),}$$

con y , que se puede calcular sin pérdida de precisión usando ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=1/{\sqrt {2}}}$

$${\displaystyle c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.}$$

Integral elíptica completa K (sen α )

Tomando y cede la Asamblea General Anual ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle g_{0}=\cos \alpha }$

$${\displaystyle M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},}$$

donde K ( k ) es una integral elíptica completa de primer tipo :

$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .}$$

Es decir, este trimestre podrá computarse eficientemente a través de la Asamblea General Anual,

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.}$$

Otras aplicaciones

Utilizando esta propiedad del AGM junto con las transformaciones ascendentes de John Landen , ^[16] Richard P. Brent [ ^17] sugirió los primeros algoritmos AGM para la evaluación rápida de funciones trascendentales elementales ( ex ^, cos  x , sin  x ). Posteriormente, muchos autores pasaron a estudiar el uso de los algoritmos AGM. ^[18]

Ver también

• La transformación de Landen
• Algoritmo de Gauss-Legendre
• Media generalizada

Referencias

Notas

1. En 1799, Gauss tenía dos demostraciones del teorema, pero ninguna de ellas era rigurosa desde el punto de vista moderno.
2. En particular, demostró que la función beta es trascendental para todo lo que . El hecho de que sea trascendental se deriva de ${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle a+b\notin \mathbb {Z} _{0}^{-}}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle M(1,{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{4}}\right).}$

Citas

1. Cox, David (enero de 1984). "La media aritmético-geométrica de Gauss". L'Enseignement Mathématique . 30 (2): 275–330.
2. agm(24, 6) en Wolfram Alpha
3. Bullen, PS (2003). "Las medias aritméticas, geométricas y armónicas". Manual de medias y sus desigualdades. Dordrecht: Springer Países Bajos. págs. 60-174. doi :10.1007/978-94-017-0399-4_2. ISBN 978-90-481-6383-0. Consultado el 11 de diciembre de 2023 .
4. Carson, antes de Cristo (2010). "Integrales elípticas". En Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). Manual de funciones matemáticas del NIST . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-19225-5. SEÑOR  2723248..
5. Dimopoulos, Hércules G. (2011). Filtros electrónicos analógicos: teoría, diseño y síntesis. Saltador. págs. 147-155. ISBN 978-94-007-2189-0.
6. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.páginas 35, 40
7. Schneider, Theodor (1941). "Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 183 (19): 110-128. doi :10.1515/crll.1941.183.110. S2CID  118624331.
8. Todd, John (1975). "Las constantes de la lemniscata". Comunicaciones de la ACM . 18 (1): 14-19. doi : 10.1145/360569.360580 . S2CID  85873.
9. GV Choodnovsky: Independencia algebraica de constantes relacionadas con las funciones de análisis , Avisos de la AMS 22, 1975, p. A-486
10. GV Chudnovsky: Contribuciones a la teoría de los números trascendentales , Sociedad Matemática Estadounidense, 1984, pág. 6
11. Borwein, Jonathan M.; Borwein, Peter B. (1987). Pi y AGM: un estudio sobre teoría analítica de números y complejidad computacional (Primera ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7.pag. 45
12. Newman, DJ (1985). "Una versión simplificada de los algoritmos rápidos de Brent y Salamin". Matemáticas de la Computación . 44 (169): 207–210. doi :10.2307/2007804. JSTOR  2007804.
13. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 17". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. págs. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
14. Rey, Luis V. (1924). Sobre el cálculo numérico directo de funciones elípticas e integrales. Prensa de la Universidad de Cambridge.
15. Salamin, Eugenio (1976). "Cálculo de π utilizando la media aritmético-geométrica". Matemáticas de la Computación . 30 (135): 565–570. doi :10.2307/2005327. JSTOR  2005327. SEÑOR  0404124.
16. Landen, Juan (1775). "Una investigación de un teorema general para encontrar la longitud de cualquier arco de cualquier hipérbola cónica, mediante dos arcos elípticos, con algunos otros teoremas nuevos y útiles deducidos de allí". Transacciones filosóficas de la Royal Society . 65 : 283–289. doi :10.1098/rstl.1775.0028. S2CID  186208828.
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18. Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi y la Asamblea General Anual . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-83138-7. SEÑOR  0877728.

Fuentes

• Daróczy, Zoltán; Pales, Zsolt (2002). "Composición de medios de Gauss y solución del problema de Matkowski-Suto". Publicaciones Mathematicae Debrecen . 61 (1–2): 157–218. doi :10.5486/PMD.2002.2713.
• "Proceso de media aritmético-geométrica". Enciclopedia de Matemáticas . Prensa EMS . 2001 [1994].
• Weisstein, Eric W. "Media aritmética-geométrica". MundoMatemático .