Media armónica

Inversa de la media de las inversas de un conjunto de números

En matemáticas , la media armónica es uno de los diversos tipos de promedio y, en particular, una de las medias pitagóricas . A veces es apropiada para situaciones en las que se desea obtener la tasa promedio. ^[1]

La media armónica se puede expresar como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos del conjunto dado de observaciones. Como ejemplo simple, la media armónica de 1, 4 y 4 es

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

Definición

La media armónica H de los números reales positivos se define como ^[2] ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}.}$

Es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos, y viceversa:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle A\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\\A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&={\frac {1}{\displaystyle H\left({\frac {1}{x_{1}}},{\frac {1}{x_{2}}},\ldots {\frac {1}{x_{n}}}\right)}},\end{aligned}}}$

donde la media aritmética se define como ${\textstyle A(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

La media armónica es una función cóncava de Schur y está dominada por el mínimo de sus argumentos, en el sentido de que para cualquier conjunto positivo de argumentos, . Por lo tanto, la media armónica no se puede hacer arbitrariamente grande cambiando algunos valores por otros mayores (mientras se mantiene al menos un valor sin cambios). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

La media armónica también es cóncava , lo que es una propiedad aún más fuerte que la concavidad de Schur. Sin embargo, hay que tener cuidado de utilizar solo números positivos, ya que la media no es cóncava si se utilizan valores negativos. ^{[ cita requerida ]}

Relación con otros medios

Prueba geométrica sin palabras de que máx  ( a , b ) > raíz cuadrada media ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > mín  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores no iguales , la media armónica es siempre la menor de las tres medias pitagóricas, ^[3] mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres y la media geométrica siempre está entre ellas. (Si todos los valores en un conjunto de datos no vacío son iguales, las tres medias son siempre iguales entre sí; por ejemplo, las medias armónica, geométrica y aritmética de {2, 2, 2} son todas 2).

Es el caso especial M ₋₁ de la potencia media : $${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$$

Dado que la media armónica de una lista de números tiende fuertemente hacia los menores elementos de la lista, tiende (en comparación con la media aritmética) a mitigar el impacto de los valores atípicos grandes y agravar el impacto de los pequeños.

La media aritmética se utiliza a menudo por error en lugares que exigen la media armónica. ^[4] En el ejemplo de velocidad a continuación, por ejemplo, la media aritmética de 40 es incorrecta y demasiado grande.

La media armónica está relacionada con las otras medias pitagóricas, como se ve en la ecuación siguiente. Esto se puede ver interpretando el denominador como la media aritmética del producto de números n veces, pero omitiendo cada vez el término j -ésimo. Es decir, para el primer término, multiplicamos todos los n números excepto el primero; para el segundo, multiplicamos todos los n números excepto el segundo; y así sucesivamente. El numerador, excluyendo el n , que va con la media aritmética, es la media geométrica a la potencia  n . Por lo tanto, la n -ésima media armónica está relacionada con las n -ésimas medias geométrica y aritmética. La fórmula general es $${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$$

Si un conjunto de números no idénticos se somete a una dispersión que preserva la media —es decir, dos o más elementos del conjunto se "separan" entre sí mientras que la media aritmética permanece inalterada— entonces la media armónica siempre disminuye. ^[5]

Media armónica de dos o tres números

Dos números

Construcción geométrica de las tres medias pitagóricas de dos números, a y b . La media armónica se denota con H en violeta, mientras que la media aritmética es A en rojo y la media geométrica es G en azul. Q denota una cuarta media, la media cuadrática . Como una hipotenusa siempre es más larga que un cateto de un triángulo rectángulo , el diagrama muestra que . ${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q}$

Una interpretación gráfica de la media armónica, z de dos números, x e y , y un nomograma para calcularla. La línea azul muestra que la media armónica de 6 y 2 es 3. La línea magenta muestra que la media armónica de 6 y −2 es −6. La línea roja muestra que la media armónica de un número y su negativo no está definida, ya que la línea no interseca el eje z .

Para el caso especial de sólo dos números, y , la media armónica se puede escribir ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad }$ o ${\displaystyle \qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.}$

En este caso especial, la media armónica está relacionada con la media aritmética y la media geométrica por ${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).}$

Puesto que por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica , esto demuestra para el caso n = 2 que H ≤ G (una propiedad que de hecho se cumple para todo n ). También se deduce que , lo que significa que la media geométrica de los dos números es igual a la media geométrica de sus medias aritmética y armónica. ${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$ ${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

Tres números

Para el caso especial de tres números, y , la media armónica se puede escribir ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Tres números positivos H , G y A son respectivamente las medias armónica, geométrica y aritmética de tres números positivos si y solo si ^{[6] : p.74, #1834} se cumple la siguiente desigualdad

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

Media armónica ponderada

Si un conjunto de pesos , ..., está asociado al conjunto de datos , ...,, la media armónica ponderada se define mediante ^[7] ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

La media armónica no ponderada puede considerarse como el caso especial en el que todos los pesos son iguales.

Ejemplos

En física

Velocidad media

En muchas situaciones que involucran tasas y proporciones , la media armónica proporciona el promedio correcto . Por ejemplo, si un vehículo recorre una cierta distancia d de ida a una velocidad x (por ejemplo, 60 km/h) y regresa la misma distancia a una velocidad y (por ejemplo, 20 km/h), entonces su velocidad promedio es la media armónica de x e y (30 km/h), no la media aritmética (40 km/h). El tiempo total de viaje es el mismo que si hubiera recorrido toda la distancia a esa velocidad promedio. Esto se puede demostrar de la siguiente manera: ^[8]

Velocidad media durante todo el recorrido = ⁠Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento⁠ = ⁠2 días/⁠d/incógnita⁠ + ⁠d/y⁠⁠ = ⁠2/⁠1/incógnita⁠ + ⁠1/y⁠⁠

Sin embargo, si el vehículo viaja durante un cierto tiempo a una velocidad x y luego el mismo tiempo a una velocidad y , entonces su velocidad promedio es la media aritmética de x e y , que en el ejemplo anterior es 40 km/h.

Velocidad media durante todo el recorrido = ⁠Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento⁠ = ⁠xt+yt/2t⁠ = ⁠x+y/2⁠

El mismo principio se aplica a más de dos segmentos: dada una serie de sub-viajes a diferentes velocidades, si cada sub-viaje cubre la misma distancia , entonces la velocidad promedio es la media armónica de todas las velocidades de los sub-viajes; y si cada sub-viaje toma la misma cantidad de tiempo , entonces la velocidad promedio es la media aritmética de todas las velocidades de los sub-viajes. (Si no es ninguno de los casos, entonces se necesita una media armónica ponderada o una media aritmética ponderada . Para la media aritmética, la velocidad de cada porción del viaje se pondera por la duración de esa porción, mientras que para la media armónica, el peso correspondiente es la distancia. En ambos casos, la fórmula resultante se reduce a dividir la distancia total por el tiempo total).

Sin embargo, se puede evitar el uso de la media armónica para el caso de "ponderación por distancia". Planteemos el problema como si se tratara de encontrar la "lentitud" del viaje, donde la "lentitud" (en horas por kilómetro) es la inversa de la velocidad. Cuando se encuentre la lentitud del viaje, invirtámosla para encontrar la velocidad media "real" del viaje. Para cada segmento de viaje i, la lentitud s _i = 1/velocidad _i . Luego, tomemos la media aritmética ponderada de los s _i ponderados por sus respectivas distancias (opcionalmente, con los pesos normalizados para que sumen 1 al dividirlos por la longitud del viaje). Esto nos da la lentitud media real (en tiempo por kilómetro). Resulta que este procedimiento, que se puede realizar sin conocer la media armónica, equivale a las mismas operaciones matemáticas que se utilizarían para resolver este problema utilizando la media armónica. Por lo tanto, ilustra por qué la media armónica funciona en este caso.

Densidad

De manera similar, si se desea estimar la densidad de una aleación dadas las densidades de sus elementos constituyentes y sus fracciones de masa (o, equivalentemente, porcentajes en masa), entonces la densidad predicha de la aleación (excluyendo los cambios de volumen típicamente menores debidos a los efectos de empaquetamiento de átomos) es la media armónica ponderada de las densidades individuales, ponderadas por masa, en lugar de la media aritmética ponderada como se podría esperar en un principio. Para utilizar la media aritmética ponderada, las densidades tendrían que ponderarse por volumen. Esto queda claro si se aplica el análisis dimensional al problema mientras se etiquetan las unidades de masa por elemento y se asegura de que solo se cancelen las masas de elementos iguales.

Electricidad

Si se conectan dos resistencias eléctricas en paralelo, una con una resistencia x (por ejemplo, 60  Ω ) y otra con una resistencia y (por ejemplo, 40 Ω), el efecto es el mismo que si se hubieran utilizado dos resistencias con la misma resistencia, ambas iguales a la media armónica de x e y (48 Ω): la resistencia equivalente, en ambos casos, es 24 Ω (la mitad de la media armónica). Este mismo principio se aplica a los condensadores en serie o a los inductores en paralelo.

Sin embargo, si se conectan las resistencias en serie, la resistencia media será la media aritmética de x e y (50 Ω), siendo la resistencia total igual al doble de esta, la suma de x e y (100 Ω). Este principio se aplica a los condensadores en paralelo o a los inductores en serie.

Al igual que en el ejemplo anterior, se aplica el mismo principio cuando se conectan más de dos resistencias, condensadores o inductores, siempre que todos estén en paralelo o todos en serie.

La "masa efectiva de conductividad" de un semiconductor también se define como la media armónica de las masas efectivas a lo largo de las tres direcciones cristalográficas. ^[9]

Óptica

En cuanto a otras ecuaciones ópticas , la ecuación de la lente delgada 1/F⁠ = ⁠1/tú⁠ + ⁠1/en⁠ se puede reescribir de modo que la distancia focal f sea la mitad de la media armónica de las distancias del sujeto u y del objeto v desde la lente. ^[10]

Dos lentes delgadas de distancia focal f ₁ y f ₂ en serie equivalen a dos lentes delgadas de distancia focal f _hm , su media armónica, en serie. Expresado como potencia óptica , dos lentes delgadas de potencias ópticas P ₁ y P ₂ en serie equivalen a dos lentes delgadas de potencia óptica P _am , su media aritmética, en serie.

En finanzas

La media armónica ponderada es el método preferible para promediar múltiplos, como la relación precio-beneficio (P/E). Si se promedian estas relaciones utilizando una media aritmética ponderada, los puntos de datos altos reciben pesos mayores que los puntos de datos bajos. La media armónica ponderada, por otro lado, pondera correctamente cada punto de datos. ^[11] La media aritmética ponderada simple, cuando se aplica a relaciones no normalizadas por precio, como la P/E, está sesgada hacia arriba y no se puede justificar numéricamente, ya que se basa en ganancias igualadas; de la misma manera que no se puede promediar la velocidad de los vehículos para un viaje de ida y vuelta (véase más arriba). ^[12]

En geometría

En cualquier triángulo , el radio del círculo inscrito es un tercio de la media armónica de las alturas .

Para cualquier punto P sobre el arco menor BC del círculo circunscrito de un triángulo equilátero ABC, con distancias q y t de B y C respectivamente, y con la intersección de PA y BC a una distancia y del punto P, tenemos que y es la mitad de la media armónica de q y t . ^[13]

En un triángulo rectángulo con catetos a y b y altura h desde la hipotenusa hasta el ángulo recto, h ² es la mitad de la media armónica de a ² y b ² . ^{[14] [15]}

Sean t y s ( t > s ) los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c . Entonces s ² es igual a la mitad de la media armónica de c ² y t ² .

Sea un trapezoide con vértices A, B, C y D en secuencia y lados paralelos AB y CD. Sea E la intersección de las diagonales y sea F en el lado DA y G en el lado BC de modo que FEG sea paralelo a AB y CD. Entonces FG es la media armónica de AB y DC. (Esto se puede demostrar utilizando triángulos semejantes).

Escaleras cruzadas. h es la mitad de la media armónica de A y B

Una aplicación de este resultado del trapezoide es el problema de las escaleras cruzadas , donde dos escaleras se encuentran opuestas a lo largo de un callejón, cada una con sus pies en la base de una pared lateral, con una apoyada contra una pared a la altura A y la otra apoyada contra la pared opuesta a la altura B , como se muestra. Las escaleras se cruzan a una altura de h sobre el piso del callejón. Entonces h es la mitad de la media armónica de A y B. Este resultado todavía se mantiene si las paredes están inclinadas pero siguen siendo paralelas y las "alturas" A , B y h se miden como distancias desde el piso a lo largo de líneas paralelas a las paredes. Esto se puede demostrar fácilmente utilizando la fórmula del área de un trapezoide y la fórmula de adición de áreas.

En una elipse , el semilato recto (la distancia desde un foco a la elipse a lo largo de una línea paralela al eje menor) es la media armónica de las distancias máxima y mínima de la elipse desde un foco.

En otras ciencias

En informática , específicamente en recuperación de información y aprendizaje automático , la media armónica de la precisión (verdaderos positivos por positivo predicho) y la recuperación (verdaderos positivos por positivo real) se utiliza a menudo como una puntuación de rendimiento agregada para la evaluación de algoritmos y sistemas: la puntuación F (o medida F). Esto se utiliza en recuperación de información porque solo la clase positiva es relevante , mientras que el número de negativos, en general, es grande y desconocido. ^[16] Por lo tanto, es una disyuntiva si las predicciones positivas correctas deben medirse en relación con el número de positivos predichos o el número de positivos reales, por lo que se mide frente a un supuesto número de positivos que es una media aritmética de los dos denominadores posibles.

Una consecuencia surge del álgebra básica en problemas en los que personas o sistemas trabajan juntos. Por ejemplo, si una bomba a gasolina puede vaciar una piscina en 4 horas y una bomba a batería puede vaciar la misma piscina en 6 horas, entonces se necesitarán ambas bombas .6·4/6 + 4⁠ , lo que equivale a 2,4 horas, para vaciar la piscina en conjunto. Esto es la mitad de la media armónica de 6 y 4: ⁠2·6·4/6 + 4⁠ = 4,8 . Es decir, el promedio adecuado para los dos tipos de bomba es la media armónica, y con un par de bombas (dos bombas), se tarda la mitad de este tiempo medio armónico, mientras que con dos pares de bombas (cuatro bombas) se tardaría una cuarta parte de este tiempo medio armónico.

En hidrología , la media armónica se utiliza de manera similar para promediar los valores de conductividad hidráulica para un flujo perpendicular a las capas (por ejemplo, geológicas o del suelo); el flujo paralelo a las capas utiliza la media aritmética. Esta aparente diferencia en el promedio se explica por el hecho de que la hidrología utiliza la conductividad, que es la inversa de la resistividad.

En sabermetría , el número de potencia-velocidad de un jugador de béisbol es la media armónica de sus totales de jonrones y bases robadas .

En genética de poblaciones , la media armónica se utiliza para calcular los efectos de las fluctuaciones en el tamaño de la población censal sobre el tamaño efectivo de la población. La media armónica tiene en cuenta el hecho de que los eventos como el cuello de botella poblacional aumentan la tasa de deriva genética y reducen la cantidad de variación genética en la población. Esto es resultado del hecho de que después de un cuello de botella muy pocos individuos contribuyen al acervo genético, lo que limita la variación genética presente en la población durante muchas generaciones futuras.

Al considerar el ahorro de combustible en los automóviles, se utilizan comúnmente dos medidas: millas por galón (mpg) y litros por 100 km. Como las dimensiones de estas cantidades son inversas entre sí (una es la distancia por volumen, la otra el volumen por distancia), al tomar el valor medio del ahorro de combustible de una gama de automóviles, una medida producirá la media armónica de la otra; es decir, convertir el valor medio del ahorro de combustible expresado en litros por 100 km a millas por galón producirá la media armónica del ahorro de combustible expresado en millas por galón. Para calcular el consumo promedio de combustible de una flota de vehículos a partir de los consumos de combustible individuales, se debe utilizar la media armónica si la flota utiliza millas por galón, mientras que se debe utilizar la media aritmética si la flota utiliza litros por 100 km. En los EE. UU., las normas CAFE (las normas federales de consumo de combustible de automóviles) utilizan la media armónica.

En química y física nuclear, la masa promedio por partícula de una mezcla que consta de diferentes especies (por ejemplo, moléculas o isótopos) viene dada por la media armónica de las masas de las especies individuales ponderadas por su respectiva fracción de masa.

Distribución beta

Media armónica para la distribución Beta para 0 < α < 5 y 0 < β < 5

(Media - Media Armónica) para distribución Beta versus alfa y beta de 0 a 2

Medias armónicas para la distribución beta Púrpura=H(X), Amarillo=H(1-X), valores más pequeños alfa y beta al frente

Medias armónicas para la distribución beta Púrpura=H(X), Amarillo=H(1-X), valores más grandes alfa y beta al frente

La media armónica de una distribución beta con parámetros de forma α y β es:

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

La media armónica con α < 1 no está definida porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1].

Dejando α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0 para α = β = 1, a 1/2 para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro parámetro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

Con la media geométrica, la media armónica puede ser útil en la estimación de máxima verosimilitud en el caso de cuatro parámetros.

También existe una segunda media armónica ( H _{1 − X ) para esta distribución}

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

Esta media armónica con β < 1 no está definida porque su expresión definitoria no está acotada en [ 0, 1 ].

Dejando α = β en la expresión anterior

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro que se aproxima a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Aunque ambas medias armónicas son asimétricas, cuando α = β las dos medias son iguales.

Distribución lognormal

La media armónica ( H ) de la distribución lognormal de una variable aleatoria X es ^[17]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

donde μ y σ ² son los parámetros de la distribución, es decir, la media y la varianza de la distribución del logaritmo natural de X .

Las medias armónicas y aritméticas de la distribución están relacionadas por

${\displaystyle {\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,}$

donde C _v y μ ^* son el coeficiente de variación y la media de la distribución respectivamente.

Las medias geométricas ( G ), aritméticas y armónicas de la distribución están relacionadas por ^[18]

${\displaystyle H\mu ^{*}=G^{2}.}$

Distribución de Pareto

La media armónica de la distribución de Pareto tipo 1 es ^[19]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

donde k es el parámetro de escala y α es el parámetro de forma.

Estadística

Para una muestra aleatoria, la media armónica se calcula como se indica anteriormente. Tanto la media como la varianza pueden ser infinitas (si incluyen al menos un término de la forma 1/0).

Distribuciones muestrales de media y varianza

La media de la muestra m se distribuye asintóticamente de forma normal con varianza s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

La varianza de la media en sí es ^[20]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

donde m es la media aritmética de los recíprocos, x son las variables, n es el tamaño de la población y E es el operador de expectativa.

Método delta

Suponiendo que la varianza no es infinita y que el teorema del límite central se aplica a la muestra, entonces, utilizando el método delta , la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

donde H es la media armónica, m es la media aritmética de los recíprocos

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ² es la varianza de los recíprocos de los datos

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

y n es el número de puntos de datos en la muestra.

Método de navaja

Es posible utilizar un método de navaja para estimar la varianza si se conoce la media. ^[21] Este método es el habitual "eliminar 1" en lugar de la versión "eliminar m".

Este método requiere primero el cálculo de la media de la muestra ( m )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

donde x son los valores de muestra.

Luego se calcula una serie de valores w _{i donde}

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

Luego se toma la media ( h ) de w _{i :}

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

La varianza de la media es

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.}$

Las pruebas de significancia y los intervalos de confianza para la media se pueden estimar con la prueba t .

Muestreo con sesgo de tamaño

Supongamos que una variable aleatoria tiene una distribución f ( x ). Supongamos también que la probabilidad de que se elija una variable es proporcional a su valor. Esto se conoce como muestreo basado en la longitud o muestreo sesgado por tamaño.

Sea μ la media de la población. Entonces, la función de densidad de probabilidad f *( x ) de la población sesgada por el tamaño es

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

La expectativa de esta distribución sesgada de longitud E ^* ( x ) es ^[20]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

donde σ ² es la varianza.

La expectativa de la media armónica es la misma que la versión no sesgada por la longitud E( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

El problema del muestreo con sesgo de longitud surge en varias áreas, incluida la fabricación textil ^[22], el análisis de pedigrí ^[23] y el análisis de supervivencia ^[24].

Akman et al. han desarrollado una prueba para la detección de sesgo basado en la longitud en muestras. ^[25]

Variables desplazadas

Si X es una variable aleatoria positiva y q > 0 entonces para todo ε > 0 ^[26]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

Momentos

Suponiendo que X y E( X ) son > 0 entonces ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

Esto se deduce de la desigualdad de Jensen .

Gurland ha demostrado que ^[27] para una distribución que toma sólo valores positivos, para cualquier n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

En determinadas condiciones ^[28]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

donde ~ significa aproximadamente igual a.

Propiedades de muestreo

Suponiendo que las variables ( x ) se extraen de una distribución lognormal, hay varios estimadores posibles para H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

De estos, _H3 es probablemente el mejor estimador para muestras de 25 o más. ^[29]

Estimadores de sesgo y varianza

Una aproximación de primer orden al sesgo y la varianza de H ₁ son ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

donde C _v es el coeficiente de variación.

De manera similar, una aproximación de primer orden al sesgo y la varianza de H ₃ son ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

En experimentos numéricos, H ₃ es generalmente un estimador superior de la media armónica que H ₁ . ^[30] H ₂ produce estimaciones que son en gran medida similares a H ₁ .

Notas

La Agencia de Protección Ambiental recomienda el uso de la media armónica para establecer los niveles máximos de toxinas en el agua. ^[31]

En los estudios de ingeniería geofísica de yacimientos , la media armónica se utiliza ampliamente. ^[32]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Media contraarmónica
• Media generalizada
• Número armónico
• Tasa (matemáticas)
• Media ponderada
• Suma paralela
• Media geométrica
• Media geométrica ponderada
• Desigualdades HM-GM-AM-QM
• Valor p de media armónica

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG .
   Utilizando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Utilizando el teorema de Pitágoras , OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Utilizando triángulos semejantes , ⁠HC/GC⁠ = ⁠GC/jefe⁠ ∴ HC = ⁠GC²/jefe⁠ = HM .

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Media armónica". MathWorld .
• Promedios, medias aritméticas y armónicas en cut-the-knot