En matemáticas , una prueba sin palabras (o prueba visual ) es una ilustración de una identidad o enunciado matemático que puede demostrarse como evidente mediante un diagrama sin ningún texto explicativo que lo acompañe. Estas pruebas pueden considerarse más elegantes que las pruebas formales o matemáticamente rigurosas debido a su naturaleza evidente. [1] Cuando el diagrama demuestra un caso particular de un enunciado general, para ser una prueba, debe ser generalizable. [2]
Una demostración sin palabras no es lo mismo que una demostración matemática , porque omite los detalles del argumento lógico que ilustra. Sin embargo, puede proporcionar intuiciones valiosas al espectador que pueden ayudarlo a formular o comprender mejor una demostración verdadera.
La afirmación de que la suma de todos los números impares positivos hasta 2 n − 1 es un cuadrado perfecto —más específicamente, el cuadrado perfecto n 2 — se puede demostrar mediante una prueba sin palabras. [3]
En una esquina de una cuadrícula, un solo bloque representa el 1, el primer cuadrado. Este bloque puede envolverse por dos lados con una tira de tres bloques (el siguiente número impar) para formar un bloque de 2 × 2: 4, el segundo cuadrado. Si se añaden otros cinco bloques, se forma un bloque de 3 × 3: 9, el tercer cuadrado. Este proceso puede continuar indefinidamente.
El teorema de Pitágoras que se puede demostrar sin palabras. [4]
Un método para hacerlo es visualizar un cuadrado más grande de lados , con cuatro triángulos rectángulos de lados , y en sus esquinas, de modo que el espacio en el medio sea un cuadrado diagonal con un área de . Los cuatro triángulos se pueden reorganizar dentro del cuadrado más grande para dividir su espacio no utilizado en dos cuadrados de y . [5]
La desigualdad de Jensen también se puede demostrar gráficamente. Una curva discontinua a lo largo del eje X es la distribución hipotética de X , mientras que una curva discontinua a lo largo del eje Y es la distribución correspondiente de los valores de Y . La función convexa Y ( X ) "estira" cada vez más la distribución para valores crecientes de X . [6]
La revista Mathematics Magazine y The College Mathematics Journal publican periódicamente una sección titulada "Pruebas sin palabras" que contiene, como sugiere el título, pruebas sin palabras. [3] Los sitios web The Art of Problem Solving y USAMTS ejecutan applets de Java que ilustran pruebas sin palabras. [7] [8]
Para que una prueba sea aceptada por la comunidad matemática, debe mostrar lógicamente cómo la afirmación que pretende probar se sigue total e inevitablemente de un conjunto de suposiciones . [9] Una prueba sin palabras podría implicar tal argumento, pero no lo hace directamente, por lo que no puede reemplazar a una prueba formal cuando se requiere una. [10] [11] Más bien, los matemáticos usan pruebas sin palabras como ilustraciones y ayudas didácticas para ideas que ya han sido demostradas formalmente. [12] [13]
Siempre tratamos de tener en mente claramente lo que suponemos y lo que demostramos. Por "demostración" entendemos una secuencia de afirmaciones, cada una de las cuales se supone o se sigue de las afirmaciones anteriores mediante una regla de deducción, que a su vez se supone.
Las pruebas sin palabras no son
realmentepruebas
, estrictamente hablando, ya que normalmente faltan detalles.
Sin embargo, basar el argumento en una imagen geométrica no es una prueba...
dado que la mayoría de las pruebas sin palabras son de naturaleza visual, a menudo proporcionan un recordatorio o una pista de lo que falta.
Esta pequeña colección de variadas "pruebas" visuales (un término que, se podría argumentar, se aplica aquí de manera vaga) es entretenida y esclarecedora. Personalmente, encuentro que estas representaciones son interesantes y estimulantes, y ayudan a ese momento de "¡ajá!" en el que el argumento simbólico parece no aclarar.
