Un nomograma (del griego nomos νόμος , "ley" y grammē γραμμή , "línea"), también llamado nomograma , gráfico de alineación o abac , es un dispositivo de cálculo gráfico , un diagrama bidimensional diseñado para permitir el cálculo gráfico aproximado de una función matemática . El campo de la nomografía fue inventado en 1884 por el ingeniero francés Philbert Maurice d'Ocagne (1862-1938) y se utilizó ampliamente durante muchos años para proporcionar a los ingenieros cálculos gráficos rápidos de fórmulas complicadas con una precisión práctica. Los nomogramas utilizan un sistema de coordenadas paralelas inventado por d'Ocagne en lugar de las coordenadas cartesianas estándar .
Un nomograma consta de un conjunto de n escalas, una para cada variable de una ecuación. Conociendo los valores de n-1 variables, se puede encontrar el valor de la variable desconocida, o fijando los valores de algunas variables, se puede estudiar la relación entre las no fijadas. El resultado se obtiene colocando una regla sobre los valores conocidos en las escalas y leyendo el valor desconocido desde donde cruza la escala para esa variable. La línea virtual o dibujada creada por la regla se llama línea índice o isopleta .
Los nomogramas florecieron en muchos contextos diferentes durante aproximadamente 75 años porque permitían cálculos rápidos y precisos antes de la era de las calculadoras de bolsillo. Los resultados de un nomograma se obtienen de forma muy rápida y fiable simplemente dibujando una o más líneas. El usuario no necesita saber cómo resolver ecuaciones algebraicas, buscar datos en tablas, usar una regla de cálculo o sustituir números en ecuaciones para obtener resultados. El usuario ni siquiera necesita conocer la ecuación subyacente que representa el nomograma. Además, los nomogramas incorporan naturalmente conocimiento de dominio implícito o explícito en su diseño. Por ejemplo, para crear nomogramas más grandes y lograr una mayor precisión, el nomógrafo suele incluir sólo rangos de escala que sean razonables y de interés para el problema. Muchos nomogramas incluyen otras marcas útiles, como etiquetas de referencia y regiones coloreadas. Todos estos proporcionan guías útiles para el usuario.
Al igual que una regla de cálculo, un nomograma es un dispositivo de cálculo gráfico analógico. Al igual que una regla de cálculo, su precisión está limitada por la precisión con la que se pueden dibujar, reproducir, ver y alinear las marcas físicas. A diferencia de la regla de cálculo, que es un dispositivo de cálculo de uso general, un nomograma está diseñado para realizar un cálculo específico con tablas de valores integradas en las escalas del dispositivo . Los nomogramas se utilizan normalmente en aplicaciones para las que el nivel de precisión que proporcionan es suficiente y útil. Alternativamente, se puede utilizar un nomograma para verificar una respuesta obtenida mediante un cálculo más exacto pero propenso a errores.
Otros tipos de calculadoras gráficas, como los gráficos de intercepción , los diagramas trilineales y los gráficos hexagonales , a veces se denominan nomogramas. Estos dispositivos no cumplen con la definición de nomograma como calculadora gráfica cuya solución se encuentra mediante el uso de una o más isopletas lineales.
Un nomograma para una ecuación de tres variables normalmente tiene tres escalas, aunque existen nomogramas en los que dos o incluso las tres escalas son comunes. Aquí dos escalas representan valores conocidos y la tercera es la escala donde se lee el resultado. La ecuación más simple es u 1 + u 2 + u 3 = 0 para las tres variables u 1 , u 2 y u 3 . A la derecha se muestra un ejemplo de este tipo de nomograma, anotado con términos utilizados para describir las partes de un nomograma.
A veces, las ecuaciones más complicadas se pueden expresar como la suma de funciones de las tres variables. Por ejemplo, el nomograma que aparece al principio de este artículo podría construirse como un nomograma de escala paralela porque puede expresarse como una suma después de tomar logaritmos de ambos lados de la ecuación.
La escala de la variable desconocida puede estar entre las otras dos escalas o fuera de ellas. Los valores conocidos del cálculo están marcados en las escalas para esas variables y se traza una línea entre estas marcas. El resultado se lee en la escala desconocida en el punto donde la línea cruza esa escala. Las escalas incluyen 'marcas de verificación' para indicar la ubicación exacta de los números y también pueden incluir valores de referencia etiquetados. Estas escalas pueden ser lineales , logarítmicas o tener alguna relación más compleja.
La isopleta de muestra que se muestra en rojo en el nomograma en la parte superior de este artículo calcula el valor de T cuando S = 7,30 y R = 1,17. La isopleta cruza la escala de T justo por debajo de 4,65; una cifra más grande impresa en alta resolución en papel daría T = 4,64 con una precisión de tres dígitos. Tenga en cuenta que cualquier variable se puede calcular a partir de los valores de las otras dos, una característica de los nomogramas que es particularmente útil para ecuaciones en las que una variable no se puede aislar algebraicamente de las otras variables.
Las escalas rectas son útiles para cálculos relativamente simples, pero para cálculos más complejos puede ser necesario el uso de escalas curvas simples o elaboradas. Se pueden construir nomogramas para más de tres variables incorporando una cuadrícula de escalas para dos de las variables o concatenando nomogramas individuales de un menor número de variables en un nomograma compuesto.
Los nomogramas se han utilizado en una amplia gama de aplicaciones. Una muestra incluye:
El siguiente nomograma realiza el cálculo:
Este nomograma es interesante porque realiza un cálculo no lineal útil utilizando únicamente escalas rectas e igualmente graduadas. Si bien la línea diagonal tiene una escala veces mayor que las escalas de los ejes, los números que contiene coinciden exactamente con los que están directamente debajo o a su izquierda y, por lo tanto, se puede crear fácilmente dibujando una línea recta en diagonal en una hoja de papel cuadriculado .
A y B se ingresan en las escalas horizontal y vertical, y el resultado se lee en la escala diagonal. Al ser proporcional a la media armónica de A y B , esta fórmula tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, es la fórmula de la resistencia paralela en electrónica y la ecuación de lentes delgadas en óptica .
En el ejemplo, la línea roja demuestra que las resistencias paralelas de 56 y 42 ohmios tienen una resistencia combinada de 24 ohmios. También demuestra que un objeto a una distancia de 56 cm de una lente cuya distancia focal es de 24 cm forma una imagen real a una distancia de 42 cm.
El siguiente nomograma se puede utilizar para realizar un cálculo aproximado de algunos valores necesarios al realizar una prueba estadística familiar, la prueba de chi-cuadrado de Pearson . Este nomograma demuestra el uso de escalas curvas con graduaciones espaciadas de manera desigual.
La expresión relevante es:
La escala en la parte superior se comparte entre cinco rangos diferentes de valores observados: A, B, C, D y E. El valor observado se encuentra en uno de estos rangos y la marca utilizada en esa escala se encuentra inmediatamente encima. Luego, la escala curva utilizada para el valor esperado se selecciona en función del rango. Por ejemplo, un valor observado de 9 usaría la marca encima de 9 en el rango A, y la escala curva A se usaría para el valor esperado. Un valor observado de 81 usaría la marca encima de 81 en el rango E, y la escala curva E se usaría para el valor esperado. Esto permite incorporar cinco nomogramas diferentes en un solo diagrama.
De esta manera, la línea azul demuestra el cálculo de:
(9 − 5) 2 / 5 = 3,2
y la línea roja demuestra el cálculo de:
(81 − 70) 2/70 = 1,7
Al realizar la prueba, a menudo se aplica la corrección de continuidad de Yates , que simplemente implica restar 0,5 de los valores observados. Se podría construir un nomograma para realizar la prueba con la corrección de Yates simplemente desplazando cada escala "observada" media unidad hacia la izquierda, de modo que las graduaciones 1,0, 2,0, 3,0,... se coloquen donde están los valores 0,5, 1,5, 2,5. , ... aparecen en el presente gráfico.
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Aunque los nomogramas representan relaciones matemáticas, no todos se derivan matemáticamente. El siguiente fue desarrollado gráficamente para lograr resultados finales apropiados que pudieran definirse fácilmente por el producto de sus relaciones en unidades subjetivas en lugar de numéricamente. El uso de ejes no paralelos permitió incorporar relaciones no lineales al modelo.
Los números en los cuadros cuadrados indican los ejes que requieren información después de una evaluación adecuada.
El par de nomogramas en la parte superior de la imagen determinan la probabilidad de ocurrencia y la disponibilidad, que luego se incorporan al nomograma de múltiples etapas inferior.
Las líneas 8 y 10 son 'líneas de unión' o 'líneas de pivote' y se utilizan para la transición entre las etapas del nomograma compuesto.
El último par de escalas logarítmicas paralelas (12) no son nomogramas como tales, sino escalas de lectura para traducir la puntuación de riesgo (11, remota a extremadamente alta) en una frecuencia de muestreo para abordar aspectos de seguridad y otros aspectos de "protección del consumidor", respectivamente. . Esta etapa requiere una "aceptación" política que equilibre el costo con el riesgo. El ejemplo utiliza una frecuencia mínima de tres años para cada uno, aunque con el extremo de alto riesgo de las escalas diferente para los dos aspectos, dando diferentes frecuencias para los dos, pero ambos sujetos a un muestreo mínimo general de cada alimento para al menos todos los aspectos. una vez cada tres años.
Este nomograma de evaluación de riesgos fue desarrollado por el Servicio de Analistas Públicos del Reino Unido con financiación de la Agencia de Normas Alimentarias del Reino Unido para su uso como herramienta para guiar la frecuencia adecuada de muestreo y análisis de alimentos con fines de control oficial de los alimentos, destinado a evaluar todos los riesgos potenciales. problemas con todos los alimentos, aunque aún no se han adoptado.
Usando una regla, uno puede leer fácilmente el término que falta en la ley de los senos o las raíces de la ecuación cuadrática y cúbica . [4]
