Números reales positivos

Subconjunto de números reales que son mayores que cero

En matemáticas , el conjunto de números reales positivos es el subconjunto de aquellos números reales que son mayores que cero. Los números reales no negativos también incluyen el cero. Aunque los símbolos y se usan de forma ambigua para cualquiera de estos, la notación o para y o para también se ha empleado ampliamente, está alineada con la práctica en álgebra de denotar la exclusión del elemento cero con un asterisco, y debería ser comprensible para la mayoría de los matemáticos en ejercicio. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{*}^{+}}$ ${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} \mid x>0\right\}}$

En un plano complejo , se identifica con el eje real positivo y se suele dibujar como un rayo horizontal . Este rayo se utiliza como referencia en la forma polar de un número complejo . El eje real positivo corresponde a los números complejos con argumento. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle z=|z|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi },}$ ${\displaystyle \varphi =0.}$

Propiedades

El conjunto es cerrado respecto de la adición, la multiplicación y la división. Hereda una topología de la recta real y, por tanto, tiene la estructura de un grupo topológico multiplicativo o de un semigrupo topológico aditivo . ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$

Para un número real positivo dado, la secuencia de sus potencias enteras tiene tres destinos diferentes: cuando el límite es cero; cuando la secuencia es constante; y cuando la secuencia no está acotada . ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle \left\{x^{n}\right\}}$ ${\displaystyle x\in (0,1),}$ ${\displaystyle x=1,}$ ${\displaystyle x>1,}$

${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}=(0,1)\cup \{1\}\cup (1,\infty )}$y la función inversa multiplicativa intercambia los intervalos. Las funciones floor y excess se han utilizado para describir un elemento como una fracción continua que es una secuencia de números enteros obtenidos a partir de la función floor después de que se ha intercambiado el exceso. Para racionales, la secuencia termina con una expresión fraccionaria exacta de y para irracionales cuadráticos, la secuencia se convierte en una fracción continua periódica . ${\displaystyle \operatorname {floor} :[1,\infty )\to \mathbb {N} ,\,x\mapsto \lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle \operatorname {excess} :[1,\infty )\to (0,1),\,x\mapsto x-\lfloor x\rfloor ,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \left[n_{0};n_{1},n_{2},\ldots \right],}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x,}$

El conjunto ordenado forma un orden total pero no es un conjunto bien ordenado . La progresión geométrica doblemente infinita donde es un entero , se encuentra enteramente en y sirve para seccionarlo para su acceso. forma una escala de razón , el nivel más alto de medición . Los elementos pueden escribirse en notación científica como donde y es el entero en la progresión doblemente infinita, y se llama década . En el estudio de magnitudes físicas, el orden de décadas proporciona ordinales positivos y negativos que hacen referencia a una escala ordinal implícita en la escala de razón. ${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ ${\displaystyle 10^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} _{>0},>\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle a\times 10^{b},}$ ${\displaystyle 1\leq a<10}$ ${\displaystyle b}$

En el estudio de los grupos clásicos , para cada determinante se obtiene una función desde las matrices sobre los reales hasta los números reales: Restringiendo a las matrices invertibles se obtiene una función desde el grupo lineal general hasta los números reales distintos de cero: Restringiendo a las matrices con un determinante positivo se obtiene la función ; interpretando la imagen como un grupo cociente por el subgrupo normal llamado grupo lineal especial , se expresan los reales positivos como un grupo de Lie . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {M} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times }.}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )\triangleleft \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} ),}$

Escala de proporción

Entre los niveles de medición, la escala de proporciones es la que proporciona los detalles más finos. La función de división toma un valor de uno cuando el numerador y el denominador son iguales. Otras proporciones se comparan con uno mediante logaritmos, a menudo logaritmos comunes que utilizan la base 10. La escala de proporciones luego segmenta por órdenes de magnitud utilizados en ciencia y tecnología, expresados ​​en varias unidades de medida .

Una expresión temprana de la escala de proporción fue articulada geométricamente por Eudoxo : "fue ... en lenguaje geométrico que se desarrolló la teoría general de la proporción de Eudoxo, que es equivalente a una teoría de los números reales positivos". ^[2]

Medida logarítmica

Si es un intervalo , entonces determina una medida en ciertos subconjuntos de correspondiente al pullback de la medida de Lebesgue usual en los números reales bajo el logaritmo: es la longitud en la escala logarítmica . De hecho, es una medida invariante con respecto a la multiplicación por a al igual que la medida de Lebesgue es invariante bajo la adición. En el contexto de los grupos topológicos, esta medida es un ejemplo de una medida de Haar . ${\displaystyle [a,b]\subseteq \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \mu ([a,b])=\log(b/a)=\log b-\log a}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle [a,b]\to [az,bz]}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {R} _{>0},}$

La utilidad de esta medida se demuestra en su uso para describir magnitudes estelares y niveles de ruido en decibelios , entre otras aplicaciones de la escala logarítmica . Para efectos de las normas internacionales ISO 80000-3 , las magnitudes adimensionales se denominan niveles .

Aplicaciones

Los números reales no negativos sirven como imagen de las métricas , normas y medidas en matemáticas.

Incluyendo 0, el conjunto tiene una estructura de semianillo (siendo 0 la identidad aditiva ), conocida como semianillo de probabilidad ; tomando logaritmos (con una elección de base que da una unidad logarítmica ) se obtiene un isomorfismo con el semianillo logarítmico (con 0 correspondiente a ), y sus unidades (los números finitos, excluyendo ) corresponden a los números reales positivos. ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Cuadrado

Sea el primer cuadrante del plano cartesiano. El cuadrante mismo está dividido en cuatro partes por la línea y la hipérbola estándar. ${\displaystyle Q=\mathbb {R} _{>0}\times \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle L=\{(x,y):x=y\}}$ ${\displaystyle H=\{(x,y):xy=1\}.}$

La forma de un tridente es el punto central. Es el elemento identidad de dos grupos de un parámetro que se intersecan allí: ${\displaystyle L\cup H}$ ${\displaystyle L\cap H=(1,1)}$ $${\displaystyle \{\left\{\left(e^{a},\ e^{a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}L\quad {\text{ and }}\quad \{\left\{\left(e^{a},\ e^{-a}\right):a\in R\right\},\times \}{\text{ on }}H.}$$

Dado que es un grupo , es un producto directo de grupos . Los subgrupos de un parámetro L y H en Q perfilan la actividad en el producto y es una resolución de los tipos de acción del grupo. ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle L\times H}$

En el ámbito de los negocios y la ciencia abundan los ratios, y cualquier cambio en ellos llama la atención. El estudio se refiere a las coordenadas hiperbólicas en Q. Un movimiento contra el eje L indica un cambio en la media geométrica, mientras que un cambio a lo largo de H indica un nuevo ángulo hiperbólico . ${\displaystyle {\sqrt {xy}},}$

Véase también

• Semicuerpo  – Estructura algebraica
• Signo (matemáticas)  – Propiedad del número de ser positivo o negativo

Referencias

1. "Número positivo en nLab". ncatlab.org . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
2. EJ Dijksterhuis (1961) Mecanización de la imagen del mundo, página 51, vía Internet Archive

Bibliografía

• Kist, José; Leetsma, Sanford (1970). "Semigrupos aditivos de números reales positivos". Annalen Matemáticas . 188 (3): 214–218. doi :10.1007/BF01350237.