Fracción periódica continua

En matemáticas , una fracción continua periódica infinita es una fracción continua que se puede colocar en la forma

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

donde el bloque inicial [ a ₀ ,  a ₁ ,... a _k ] de k +1 denominadores parciales es seguido por un bloque [ a _{k +1} ,  a _{k +2} ,... a _{k + m} ] de m denominadores parciales que se repite hasta el infinito . Por ejemplo, se puede expandir a la fracción continua periódica [1,2,2,2,...]. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

En este artículo se considera únicamente el caso de fracciones periódicas regulares continuas . En otras palabras, el resto de este artículo supone que todos los denominadores parciales a _i ( i  ≥ 1) son números enteros positivos. El caso general, donde los denominadores parciales a _i son números reales o complejos arbitrarios, se trata en el artículo problema de convergencia .

Fracciones periódicas y puramente periódicas

Dado que todos los numeradores parciales en una fracción continua regular son iguales a la unidad, podemos adoptar una notación abreviada en la que la fracción continua que se muestra arriba se escribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m},\dots ]\\&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}]\end{aligned}}}$

donde, en la segunda línea, un vinculum marca el bloque repetido. ^[1] Algunos libros de texto utilizan la notación

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\dot {a}}_{k+1},a_{k+2},\dots ,{\dot {a}}_{k+m}]\end{aligned}}}$

donde el bloque repetitivo se indica mediante puntos sobre su primer y último término. ^[2]

Si el bloque inicial no repetitivo no está presente, es decir, si k = -1, a ₀ = a _m y

${\displaystyle x=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}],}$

Se dice que la fracción continua regular x es puramente periódica . Por ejemplo, la fracción continua regular [1; 1, 1, 1, ...] de la proporción áurea φ es puramente periódica, mientras que la fracción continua regular [1; 2, 2, 2, ...] de es periódica, pero no puramente periódica. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Como matrices unimodulares

Las fracciones periódicas continuas se corresponden de forma unívoca con los irracionales cuadráticos reales . La correspondencia se proporciona explícitamente mediante la función de signo de interrogación de Minkowski . En ese artículo también se analizan las herramientas que facilitan el trabajo con dichas fracciones continuas. Consideremos primero la parte puramente periódica.

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}],}$

De hecho, esto se puede escribir como

${\displaystyle x={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

con los números enteros y que satisfacen Los valores explícitos se pueden obtener escribiendo ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1.}$

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

lo que se denomina un "cambio", de modo que

${\displaystyle S^{n}={\begin{pmatrix}1&0\\n&1\end{pmatrix}}}$

y de manera similar una reflexión, dada por

${\displaystyle T\mapsto {\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

De modo que . Ambas matrices son unimodulares , los productos arbitrarios siguen siendo unimodulares. Entonces, dada como se indicó anteriormente, la matriz correspondiente tiene la forma ^[3] ${\displaystyle T^{2}=I}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle S^{a_{1}}TS^{a_{2}}T\cdots TS^{a_{m}}={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

y uno tiene

${\displaystyle x=[0;{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{m}}}]={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}}$

como forma explícita. Como todas las entradas de la matriz son números enteros, esta matriz pertenece al grupo modular ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} ).}$

Relación con los irracionales cuadráticos

Un número irracional cuadrático es una raíz real irracional de la ecuación cuadrática.

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

donde los coeficientes a , b y c son números enteros y el discriminante , b ² − 4 ac , es mayor que cero. Por la fórmula cuadrática , cada irracional cuadrático se puede escribir en la forma

${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$

donde P , D y Q son números enteros, D > 0 no es un cuadrado perfecto (pero no necesariamente libre de cuadrados) y Q divide la cantidad P ²  −  D (por ejemplo (6+ √ 8 )/4). Un irracional cuadrático de este tipo también se puede escribir en otra forma con una raíz cuadrada de un número libre de cuadrados (por ejemplo (3+ √ 2 )/2) como se explicó para los irracionales cuadráticos .

Al considerar los cocientes completos de fracciones periódicas continuas, Euler pudo demostrar que si x es una fracción periódica continua regular, entonces x es un número irracional cuadrático. La demostración es sencilla: a partir de la propia fracción, se puede construir la ecuación cuadrática con coeficientes enteros que x debe satisfacer.

Lagrange demostró el inverso del teorema de Euler: si x es un irracional cuadrático, entonces la expansión en fracción continua regular de x es periódica. ^[4] Dado un irracional cuadrático x , se pueden construir m ecuaciones cuadráticas diferentes, cada una con el mismo discriminante, que relacionan los cocientes completos sucesivos de la expansión en fracción continua regular de x entre sí. Como solo hay un número finito de estas ecuaciones (los coeficientes están acotados), los cocientes completos (y también los denominadores parciales) en la fracción continua regular que representa a x deben eventualmente repetirse.

Surdos reducidos

Se dice que el radical cuadrático es reducido si y su conjugado satisface las desigualdades . Por ejemplo, la proporción áurea es un radical reducido porque es mayor que uno y su conjugado es mayor que −1 y menor que cero. Por otro lado, la raíz cuadrada de dos es mayor que uno pero no es un radical reducido porque su conjugado es menor que −1. ${\displaystyle \zeta ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{Q}}}$ ${\displaystyle \zeta >1}$ ${\displaystyle \eta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{Q}}}$ ${\displaystyle -1<\eta <0}$ ${\displaystyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2=1.618033...}$ ${\displaystyle (1-{\sqrt {5}})/2=-0.618033...}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}=(0+{\sqrt {8}})/2}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}=(0-{\sqrt {8}})/2}$

Galois demostró que la fracción continua regular que representa un radical cuadrático ζ es puramente periódica si y solo si ζ es un radical reducido. De hecho, Galois demostró más que esto. También demostró que si ζ es un radical cuadrático reducido y η es su conjugado, entonces las fracciones continuas para ζ y para (−1/η) son ambas puramente periódicas, y el bloque repetitivo en una de esas fracciones continuas es la imagen especular del bloque repetitivo en la otra. En símbolos tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}]\,\end{aligned}}}$

donde ζ es cualquier radical cuadrático reducido, y η es su conjugado.

De estos dos teoremas de Galois se puede deducir un resultado ya conocido por Lagrange. Si r  > 1 es un número racional que no es un cuadrado perfecto, entonces

${\displaystyle {\sqrt {r}}=[a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}].}$

En particular, si n es cualquier entero positivo no cuadrado, la expansión en fracción continua regular de √ n contiene un bloque repetitivo de longitud m , en el que los primeros m  − 1 denominadores parciales forman una cadena palindrómica .

Longitud del bloque repetitivo

Analizando la secuencia de combinaciones

${\displaystyle {\frac {P_{n}+{\sqrt {D}}}{Q_{n}}}}$

que posiblemente puede surgir cuando ζ = ( P + √ D )/ Q se expande como una fracción continua regular, Lagrange demostró que el mayor denominador parcial a _i en la expansión es menor que 2 √ D , y que la longitud del bloque repetitivo es menor que 2 D .

Más recientemente, argumentos más agudos ^{[5] [6] [7]} basados ​​en la función divisor han demostrado que la longitud del bloque repetitivo para un radical cuadrático del discriminante D es del orden de ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {D}}\ln {D}).}$

Forma canónica y repetición

El siguiente algoritmo iterativo ^[8] se puede utilizar para obtener la expansión de fracción continua en forma canónica ( S es cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto ):

${\displaystyle m_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle d_{0}=1\,\!}$

${\displaystyle a_{0}=\left\lfloor {\sqrt {S}}\right\rfloor \,\!}$

${\displaystyle m_{n+1}=d_{n}a_{n}-m_{n}\,\!}$

${\displaystyle d_{n+1}={\frac {S-m_{n+1}^{2}}{d_{n}}}\,\!}$

${\displaystyle a_{n+1}=\left\lfloor {\frac {{\sqrt {S}}+m_{n+1}}{d_{n+1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {a_{0}+m_{n+1}}{d_{n+1}}}\right\rfloor \!.}$

Observe que m _n , d _n y a _n son siempre números enteros. El algoritmo termina cuando este triplete es el mismo que el encontrado anteriormente. El algoritmo también puede terminar en a _i cuando a _i = 2 a ₀ , ^[9] lo cual es más fácil de implementar.

La expansión se repetirá a partir de ese momento. La secuencia [ a ₀ ; a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...] es la expansión de fracción continua:

${\displaystyle {\sqrt {S}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\ddots }}}}}}}$

Ejemplo

Para obtener √ 114 como fracción continua, comenzamos con m ₀  = 0; d ₀  = 1; y a ₀  = 10 (10 ²  = 100 y 11 ²  = 121 > 114, por lo que se eligió 10).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {114}}&={\frac {{\sqrt {114}}+0}{1}}=10+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{1}}=10+{\frac {({\sqrt {114}}-10)({\sqrt {114}}+10)}{{\sqrt {114}}+10}}\\&=10+{\frac {114-100}{{\sqrt {114}}+10}}=10+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{14}}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle m_{1}=d_{0}\cdot a_{0}-m_{0}=1\cdot 10-0=10\,.}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {S-m_{1}^{2}}{d_{0}}}={\frac {114-10^{2}}{1}}=14\,.}$

${\displaystyle a_{1}=\left\lfloor {\frac {a_{0}+m_{1}}{d_{1}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {10+10}{14}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {20}{14}}\right\rfloor =1\,.}$

Entonces, m ₁  = 10; d ₁  = 14; y a ₁  = 1.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{14}}=1+{\frac {{\sqrt {114}}-4}{14}}=1+{\frac {114-16}{14({\sqrt {114}}+4)}}=1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+4}{7}}}.}$

Luego, m ₂  = 4; d ₂  = 7; y a ₂  = 2.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+4}{7}}=2+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{7}}=2+{\frac {14}{7({\sqrt {114}}+10)}}=2+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{2}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{2}}=10+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{2}}=10+{\frac {14}{2({\sqrt {114}}+10)}}=10+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{7}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{7}}=2+{\frac {{\sqrt {114}}-4}{7}}=2+{\frac {98}{7({\sqrt {114}}+4)}}=2+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+4}{14}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+4}{14}}=1+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{14}}=1+{\frac {14}{14({\sqrt {114}}+10)}}=1+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{1}}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {114}}+10}{1}}=20+{\frac {{\sqrt {114}}-10}{1}}=20+{\frac {14}{{\sqrt {114}}+10}}=20+{\frac {1}{\frac {{\sqrt {114}}+10}{14}}}.}$

Ahora, volvamos a la segunda ecuación anterior.

En consecuencia, la fracción continua simple para la raíz cuadrada de 114 es

${\displaystyle {\sqrt {114}}=[10;{\overline {1,2,10,2,1,20}}].\,}$(secuencia A010179 en la OEIS )

√ 114 es aproximadamente 10,67707 82520. Después de una expansión de la repetición, la fracción continua produce la fracción racional cuyo valor decimal es aproximadamente 10,67707 80856, un error relativo de 0,0000016% o 1,6 partes en 100 000 000. ${\displaystyle {\frac {21194}{1985}}}$

Fracción continua generalizada

Un método más rápido consiste en calcular su fracción continua generalizada . De la fórmula que se deduce de ahí :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}&=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}\\&=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2z-y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2z-y)-\ddots }}}}}}\end{aligned}}}$

y el hecho de que 114 es 2/3 del camino entre 10 ² = 100 y 11 ² = 121 da como resultado

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {114}}={\cfrac {\sqrt {1026}}{3}}={\cfrac {\sqrt {32^{2}+2}}{3}}&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {2/3}{64+{\cfrac {2}{64+{\cfrac {2}{64+{\cfrac {2}{64+\ddots }}}}}}}}\\&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {2}{192+{\cfrac {18}{192+{\cfrac {18}{192+\ddots }}}}}},\end{aligned}}}$

que es simplemente el mencionado [10;1,2, 10,2,1, 20,1,2] evaluado en cada tercer término. La combinación de pares de fracciones produce

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {114}}={\cfrac {\sqrt {32^{2}+2}}{3}}&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {64/3}{2050-1-{\cfrac {1}{2050-{\cfrac {1}{2050-\ddots }}}}}}\\&={\cfrac {32}{3}}+{\cfrac {64}{6150-3-{\cfrac {9}{6150-{\cfrac {9}{6150-\ddots }}}}}},\end{aligned}}}$

que ahora se evalúa en el tercer período y cada seis períodos a partir de entonces. ${\displaystyle [10;1,2,{\overline {10,2,1,20,1,2}}]}$

Véase también

• Fracción continua  – Número representado como a0+1/(a1+1/...)
• Fracción continua generalizada  : generalización de fracciones continuas en las que los numeradores parciales y los denominadores parciales pueden asumir valores complejos arbitrarios.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• El problema de Hermite
• Método de fracciones continuas para calcular raíces cuadradas  – Algoritmos para calcular raíces cuadradas
• Cocientes parciales restringidos  – Series analíticas
• Factorización de fracciones continuas  : un algoritmo de factorización de números enterosPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Pettofrezzo y Byrkit 1970, pág. 158.
2. Long 1972, pág. 187.
3. Khinchin 1964.
4. Davenport 1982, pág. 104.
5. Hickerson 1973.
6. Cohn 1977.
7. Podsypanin 1982.
8. Beceanu 2003.
9. Gliga 2006.

Referencias

• Beceanu, Marius (5 de febrero de 2003). «Período de la fracción continua de sqrt(n)» (PDF) . Teorema 2.3. Archivado desde el original (PDF) el 21 de diciembre de 2015. Consultado el 3 de mayo de 2022 .

• Cohn, JHE (1977). "La longitud del período de la expansión fraccionaria continua simple de d1/2". Pacific J. Math . 71 : 21–32. doi : 10.2140/pjm.1977.71.21 .

• Davenport, H. (diciembre de 1982). La aritmética superior . Cambridge University Press . ISBN 0-521-28678-6.

• Gliga, Alexandra Ioana (17 de marzo de 2006). Sobre fracciones continuas de la raíz cuadrada de números primos (PDF) . Corolario 3.3 . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

• Hickerson, Dean R. (1973). "Duración del período de expansión fraccionaria continua simple de vd". Pacific J. Math . 46 : 429–432. doi : 10.2140/pjm.1973.46.429 .

• Khinchin, A. Ya. (1964) [Publicado originalmente en ruso en 1935]. Fracciones continuas . University of Chicago Press . ISBN 0-486-69630-8.(Ahora está disponible como reimpresión en Dover Publications ).

• Long, Calvin T. (1972). Introducción elemental a la teoría de números (3.ª ed.). Waveland Pr Inc. LCCN  77-171950.

• Pettofrezzo, Anthony Joseph; Byrkit, Donald R. (1970). Elementos de teoría de números (11.ª ed.). Englewood Cliffs: Prentice Hall . ISBN 9780132683005. Número de LCCN  77-81766.

• Podsypanin, EV (1982). "Duración del período de un irracional cuadrático". Revista de matemáticas soviéticas . 18 (6): 919–923. doi :10.1007/BF01763963. S2CID  119567810.

• Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). FRACCIONES CONTINUAS . World Scientific Publishing Company. ISBN 9789810210526.