El problema de Hermite

El problema de Hermite es un problema abierto en matemáticas planteado por Charles Hermite en 1848. Pidió una forma de expresar números reales como secuencias de números naturales , tales que la secuencia sea eventualmente periódica precisamente cuando el número original sea un irracional cúbico .

Motivación

Una forma estándar de escribir números reales es mediante su representación decimal , como:

${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\ldots \ }$

donde un ₀ es un entero , la parte entera de x , y un ₁ , un ₂ , un ₃ , ... son números enteros entre 0 y 9. Dada esta representación el número x es igual a

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

El número real x es un número racional sólo si su expansión decimal es eventualmente periódica, es decir si existen números naturales N y p tales que para todo n  ≥  N se da el caso de que a _{n + p}  =  a _n .

Otra forma de expresar números es escribirlos como fracciones continuas simples , como en:

${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ],\ }$

donde un ₀ es un entero y un ₁ , un ₂ , un ₃ ... son números naturales. A partir de esta representación podemos recuperar x ya que

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\ddots }}}}}}.}$

Si x es un número racional, entonces la secuencia ( a _n ) termina después de un número finito de términos. Por otra parte, Euler demostró que los números irracionales requieren una secuencia infinita para expresarlos como fracciones continuas. ^[1] Además, esta secuencia es eventualmente periódica (de nuevo, de modo que hay números naturales N y p tales que para cada n  ≥  N tenemos a _{n + p}  =  a _n ), si y solo si x es un irracional cuadrático .

La pregunta de Hermite

Los números racionales son números algebraicos que satisfacen un polinomio de grado 1, mientras que los irracionales cuadráticos son números algebraicos que satisfacen un polinomio de grado 2. Para ambos conjuntos de números tenemos una forma de construir una secuencia de números naturales ( a _n ) con la propiedad de que cada secuencia da un número real único y tal que este número real pertenece al conjunto correspondiente si y solo si la secuencia es eventualmente periódica.

En 1848, Charles Hermite escribió una carta a Carl Gustav Jacob Jacobi preguntando si esta situación podía generalizarse, es decir, ¿se puede asignar una secuencia de números naturales a cada número real x tal que la secuencia sea eventualmente periódica precisamente cuando x es un irracional cúbico, es decir, un número algebraico de grado 3? ^{[2] [3]} O, de forma más general, para cada número natural d, ¿hay alguna forma de asignar una secuencia de números naturales a cada número real x que pueda detectar cuándo x es algebraico de grado d ?

Aproches

Las secuencias que intentan resolver el problema de Hermite se denominan a menudo fracciones continuas multidimensionales . El propio Jacobi propuso un ejemplo temprano, encontrando una secuencia correspondiente a cada par de números reales ( x ,  y ) que actuaba como un análogo de dimensión superior de las fracciones continuas. ^[4] Esperaba demostrar que la secuencia asociada a ( x ,  y ) era eventualmente periódica si y solo si tanto x como y pertenecían a un cuerpo de números cúbicos , pero no pudo hacerlo y si este es el caso sigue sin resolverse.

En 2015, por primera vez, se ha proporcionado una representación periódica para cualquier irracional cúbico mediante fracciones continuas ternarias, es decir, se ha resuelto el problema de escribir irracionales cúbicos como una sucesión periódica de números racionales o enteros. Sin embargo, la representación periódica no se deriva de un algoritmo definido sobre todos los números reales y se deriva únicamente a partir del conocimiento del polinomio mínimo del irracional cúbico. ^[5]

En lugar de generalizar las fracciones continuas, otro enfoque del problema es generalizar la función de signo de interrogación de Minkowski . Esta función ? : [0, 1] → [0, 1] también selecciona números irracionales cuadráticos ya que ?( x ) es racional si y solo si x es racional o un número irracional cuadrático, y además x es racional si y solo si ?( x ) es un racional diádico , por lo tanto x es un irracional cuadrático precisamente cuando ?( x ) es un número racional no diádico. Se han hecho varias generalizaciones de esta función tanto al cuadrado unitario [0, 1] × [0, 1] como al símplex bidimensional , aunque ninguna ha resuelto aún el problema de Hermite. ^{[6] [7]}

Oleg Karpenkov propuso dos algoritmos sustractivos para encontrar un representante periódico de vectores cúbicos. ^[8] El primero ( algoritmo ) funciona solo para el caso totalmente real. La entrada para el algoritmo es una terna de vectores cúbicos. Un vector cúbico es cualquier vector que genere una extensión de grado 3 de . En este caso, los vectores cúbicos son conjugados si y solo si la salida del algoritmo es periódica. Se conjetura que el segundo ( algoritmo HAPD ) funciona para todos los casos (incluidos los vectores cúbicos complejos) y todas las dimensiones . ${\displaystyle \sin ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d\geq 3}$

Referencias

1. Euler, Leonhard (1748), Introductio in analysin infinitorum, vol. Yo, Lausana: Marcum-Michaelem Bousquet - vía The Euler Archive
2. Émile Picard, L'œuvre scientifique de Charles Hermite , Ann. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. 3 18 (1901), págs.9–34.
3. Extraits de lettres de M. Ch. Hermite à M. Jacobi sur différents objects de la théorie des nombres. (Continuación). , Journal für die reine und angewandte Mathematik 40 (1850), págs. 279–315, doi :10.1515/crll.1850.40.279
4. CGJ Jacobi, Allgemeine Theorie der kettenbruchänlichen Algorithmen , en welche jede Zahl aus drei vorhergehenden gebildet wird (inglés: teoría general de algoritmos similares a fracciones continuas en los que cada número se forma a partir de tres anteriores ), Journal für die reine und angewandte Mathematik 69 (1868), págs.29–64.
5. Nadir Murru, Sobre la escritura periódica de irracionales cúbicos y una generalización de las funciones de Rédei , Int. J. Number Theory 11 (2015), n.º 3, págs. 779-799, doi: 10.1142/S1793042115500438
6. L. Kollros, Un Algorithme pour l'approximation simultanée de Deux Granduers , Disertación inaugural, Universität Zürich, 1905.
7. Beaver, Olga R. ; Garrity, Thomas (2004), "Una función ?( x ) de Minkowski bidimensional ", Journal of Number Theory , 107 (1): 105–134, arXiv : math/0210480 , doi :10.1016/j.jnt.2004.01.008, MR  2059953
8. Karpenkov, Oleg (2022), "Sobre el problema de Hermite, algoritmos de tipo Jacobi-Perron y grupos de Dirichlet", Acta Arithmetica , 203 (1): 27–48, arXiv : 2101.12707 , doi :10.4064/aa210614-5-1, MR  4415995; ver también "Sobre un algoritmo periódico de tipo Jacobi-Perron" de Karpenkov, arXiv :2101.12627, fusionado en la versión de revista publicada de este artículo.