Semicampo

Estructura algebraica

En matemáticas , un semicuerpo es una estructura algebraica con dos operaciones binarias , suma y multiplicación, que es similar a un cuerpo , pero con algunos axiomas relajados.

Descripción general

El término semicampo tiene dos significados conflictivos, ambos incluyen a los campos como un caso especial.

• En geometría proyectiva y geometría finita ( MSC 51A, 51E, 12K10), un semicuerpo es un anillo de división no asociativo con un elemento identidad multiplicativo. ^[1] Más precisamente, es un anillo no asociativo cuyos elementos distintos de cero forman un bucle bajo la multiplicación. En otras palabras, un semicuerpo es un conjunto S con dos operaciones + (suma) y · (multiplicación), tales que
  • ( S ,+) es un grupo abeliano ,
  • La multiplicación es distributiva tanto por la izquierda como por la derecha.
  • existe un elemento identidad multiplicativo , y
  • la división siempre es posible: para cada a y cada b distinto de cero en S , existen x e y únicos en S para los cuales b · x = a e y · b = a .

Nótese en particular que no se supone que la multiplicación sea conmutativa o asociativa . Un semicuerpo que es asociativo es un anillo de división , y uno que es tanto asociativo como conmutativo es un cuerpo . Un semicuerpo según esta definición es un caso especial de un cuasicuerpo . Si S es finito, el último axioma en la definición anterior puede reemplazarse con el supuesto de que no hay divisores de cero , de modo que a ⋅ b = 0 implica que a = 0 o b = 0. ^[2] Nótese que debido a la falta de asociatividad, el último axioma no es equivalente al supuesto de que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, como suele encontrarse en las definiciones de cuerpos y anillos de división.

• En teoría de anillos , combinatoria , análisis funcional y ciencias de la computación teóricas ( MSC 16Y60), un semicuerpo es un semianillo ( S ,+,·) en el que todos los elementos distintos de cero tienen un inverso multiplicativo. ^{[3] [4]} Estos objetos también se denominan semicuerpos propios . Una variación de esta definición surge si S contiene un cero absorbente que es diferente de la unidad multiplicativa e , se requiere que los elementos distintos de cero sean invertibles y a ·0 = 0· a = 0. Dado que la multiplicación es asociativa , los elementos (distintos de cero) de un semicuerpo forman un grupo . Sin embargo, el par ( S ,+) es solo un semigrupo , es decir, no es necesario que exista un inverso aditivo o, coloquialmente, "no hay resta". A veces, no se supone que la multiplicación sea asociativa.

Primitividad de los semicuerpos

Un semicuerpo D se llama primitivo derecho (o izquierdo) si tiene un elemento w tal que el conjunto de elementos distintos de cero de D* es igual al conjunto de todas las potencias principales derechas (o izquierdas) de w.

Ejemplos

Sólo damos ejemplos de semicuerpos en el segundo sentido, es decir, semigrupos aditivos con multiplicación distributiva. Además, en nuestros ejemplos la adición es conmutativa y la multiplicación es asociativa.

• Los números racionales positivos con la suma y multiplicación habituales forman un semicuerpo conmutativo.

  Esto puede ampliarse con un 0 absorbente.

• Los números reales positivos con la suma y multiplicación habituales forman un semicuerpo conmutativo.

  Esto se puede ampliar con un 0 absorbente, formando el semianillo de probabilidad , que es isomorfo al semianillo logarítmico .

• Las funciones racionales de la forma f / g , donde f y g son polinomios sobre un subcuerpo de números reales en una variable con coeficientes positivos, forman un semicuerpo conmutativo.

  Esto se puede ampliar para incluir 0.

• Los números reales R pueden considerarse un semicuerpo en el que la suma de dos elementos se define como su máximo y el producto como su suma ordinaria; este semicuerpo se denota de forma más compacta ( R , máx, +). De manera similar, ( R , mín, +) es un semicuerpo. Estos se denominan semianillos tropicales .

  Esto se puede extender por −∞ (un 0 absorbente); este es el límite ( tropicalización ) del semianillo logarítmico cuando la base tiende al infinito.

• Generalizando el ejemplo anterior, si ( A ,·,≤) es un grupo ordenado en red entonces ( A ,+,·) es un semicuerpo idempotente aditivo con la suma de semicuerpos definida como el supremo de dos elementos. Por el contrario, cualquier semicuerpo idempotente aditivo ( A ,+,·) define un grupo ordenado en red ( A ,·,≤), donde a ≤ b si y solo si a + b = b .
• El semicuerpo booleano B = {0, 1} con adición definida por o lógico , y multiplicación definida por y lógico .

Véase también

• Anillo ternario planar (primer sentido)

Referencias

1. Donald Knuth , Semicuerpos finitos y planos proyectivos . J. Algebra, 2, 1965, 182--217 MR 0175942.
2. Landquist, EJ, "Sobre anillos de división no asociativos y planos proyectivos", Copyright 2000.
3. Golan, Jonathan S., Semirings and their applications . Versión actualizada y ampliada de The theory of semirings, with applications to mathematics and theory computer science (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, MR 1163371. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp. ISBN 0-7923-5786-8 MR 1746739. 
4. Hebisch, Udo; Weinert, Hanns Joachim, Semirings y semicampos . Manual de álgebra, vol. 1, 425--462, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1996. MR 1421808.