Geometría tropical

Versión esqueletizada de la geometría algebraica

Una curva cúbica tropical

En matemáticas , la geometría tropical es el estudio de los polinomios y sus propiedades geométricas cuando la suma se reemplaza por la minimización y la multiplicación se reemplaza por la suma ordinaria:

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Por ejemplo, el polinomio clásico se convertiría en . Estos polinomios y sus soluciones tienen importantes aplicaciones en problemas de optimización, por ejemplo, el problema de optimizar los tiempos de salida de una red de trenes. ${\displaystyle x^{3}+2xy+y^{4}}$ ${\displaystyle \min\{x+x+x,\;2+x+y,\;y+y+y+y\}}$

La geometría tropical es una variante de la geometría algebraica en la que los gráficos polinómicos se asemejan a mallas lineales por partes y en la que los números pertenecen al semianillo tropical en lugar de a un cuerpo. Debido a que la geometría clásica y la tropical están estrechamente relacionadas, los resultados y métodos se pueden convertir entre ellas. Las variedades algebraicas se pueden mapear a una contraparte tropical y, dado que este proceso aún conserva cierta información geométrica sobre la variedad original, se puede utilizar para ayudar a probar y generalizar los resultados clásicos de la geometría algebraica, como el teorema de Brill-Noether , utilizando las herramientas de la geometría tropical. ^[1]

Historia

Las ideas básicas del análisis tropical fueron desarrolladas independientemente utilizando la misma notación por matemáticos que trabajaban en varios campos. ^[2] Las ideas centrales de la geometría tropical aparecieron en diferentes formas en varios trabajos anteriores. Por ejemplo, Victor Pavlovich Maslov introdujo una versión tropical del proceso de integración. También notó que la transformación de Legendre y las soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi son operaciones lineales en el sentido tropical. ^[3] Sin embargo, solo desde fines de la década de 1990 se ha hecho un esfuerzo para consolidar las definiciones básicas de la teoría. Esto fue motivado por su aplicación a la geometría algebraica enumerativa , con ideas de Maxim Kontsevich ^[4] y trabajos de Grigory Mikhalkin ^[5] entre otros.

El adjetivo tropical fue acuñado por matemáticos franceses en honor al informático brasileño nacido en Hungría Imre Simon , que escribió sobre el tema. Jean-Éric Pin atribuye la acuñación a Dominique Perrin , ^[6] mientras que el propio Simon atribuye la palabra a Christian Choffrut. ^[7]

Antecedentes de álgebra

La geometría tropical se basa en el semianillo tropical . Este se define de dos maneras, según la convención de máximo o mínimo.

El semianillo tropical mínimo es el semianillo , con las operaciones: ${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{+\infty \},\oplus ,\otimes )}$

${\displaystyle x\oplus y=\min\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

Las operaciones y se denominan suma tropical y multiplicación tropical respectivamente. El elemento identidad de es , y el elemento identidad de es 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

De manera similar, el semianillo tropical máximo es el semianillo , con operaciones: ${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{-\infty \},\oplus ,\otimes )}$

${\displaystyle x\oplus y=\max\{x,y\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y.}$

El elemento identidad de es , y el elemento identidad de es 0. ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \otimes }$

Estos semianillos son isomorfos, están bajo negación y, generalmente, se elige uno de ellos y se lo denomina simplemente semianillo tropical . Las convenciones difieren entre autores y subcampos: algunos usan la convención min , otros usan la convención max . ${\displaystyle x\mapsto -x}$

Las operaciones de semiring tropical modelan cómo se comportan las valoraciones bajo la adición y la multiplicación en un campo valorado .

Algunos campos de valores comunes encontrados en geometría tropical (con convención mínima) son:

• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$o con la valoración trivial, para todos . ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle v(a)=0}$ ${\displaystyle a\neq 0}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$o sus extensiones con la valoración p-ádica , para a y b coprimos con p . ${\displaystyle v_{p}(p^{n}a/b)=n}$
• El campo de series de Laurent (potencias enteras), o el campo de series de Puiseux (complejas) , con valoración que devuelve el exponente más pequeño de t que aparece en la serie. ${\displaystyle \mathbb {C} (\!(t)\!)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \{\!\{t\}\!\}}$

Polinomios tropicales

Un polinomio tropical es una función que se puede expresar como la suma tropical de un número finito de términos monomiales . Un término monomial es un producto tropical (y/o cociente) de una constante y variables de . Por lo tanto, un polinomio tropical F es el mínimo de una colección finita de funciones afines-lineales en las que las variables tienen coeficientes enteros, por lo que es cóncavo , continuo y lineal por partes . ^[8] ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X_{1},\ldots ,X_{n})&=\left(C_{1}\otimes X_{1}^{\otimes a_{11}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{n1}}\right)\oplus \cdots \oplus \left(C_{s}\otimes X_{1}^{\otimes a_{1s}}\otimes \cdots \otimes X_{n}^{\otimes a_{ns}}\right)\\&=\min\{C_{1}+a_{11}X_{1}+\cdots +a_{n1}X_{n},\;\ldots ,\;C_{s}+a_{1s}X_{1}+\cdots +a_{ns}X_{n}\}.\end{aligned}}}$

Dado un polinomio f en el anillo de polinomios de Laurent donde K es un cuerpo valuado, la tropicalización de f , denotada , es el polinomio tropical obtenido a partir de f reemplazando la multiplicación y la suma por sus contrapartes tropicales y cada constante en K por su valuación. Es decir, si ${\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (f)}$

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{s}c_{i}x^{A_{i}}\quad {\text{ with }}A_{1},\ldots ,A_{s}\in \mathbb {Z} ^{n},}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {Trop} (f)=\bigoplus _{i=1}^{s}v(c_{i})\otimes X^{\otimes A_{i}}.}$

El conjunto de puntos donde un polinomio tropical F es no diferenciable se denomina su hipersuperficie tropical asociada , denotada (en analogía al conjunto evanescente de un polinomio). De manera equivalente, es el conjunto de puntos donde el mínimo entre los términos de F se logra al menos dos veces. Cuando para un polinomio de Laurent f , esta última caracterización de refleja el hecho de que en cualquier solución de , la valoración mínima de los términos de f debe lograrse al menos dos veces para que todos se cancelen. ^[9] ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ ${\displaystyle F=\operatorname {Trop} (f)}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (F)}$ ${\displaystyle f=0}$

Variedades tropicales

Definiciones

Para X, una variedad algebraica en el toro algebraico , la variedad tropical de X o tropicalización de X , denotada como , es un subconjunto de que puede definirse de varias maneras. La equivalencia de estas definiciones se conoce como el Teorema Fundamental de la Geometría Tropical . ^[9] ${\displaystyle (K^{\times })^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Intersección de hipersuperficies tropicales

Sea el ideal de los polinomios de Laurent que se anulan en X en . Definir ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ ${\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}$

${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\bigcap _{f\in \mathrm {I} (X)}\mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

Cuando X es una hipersuperficie, su ideal evanescente es un ideal principal generado por un polinomio de Laurent f , y la variedad tropical es precisamente la hipersuperficie tropical . ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {V} (\operatorname {Trop} (f))}$

Toda variedad tropical es la intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales. Un conjunto finito de polinomios se denomina base tropical para X si es la intersección de las hipersuperficies tropicales de . En general, un conjunto generador de no es suficiente para formar una base tropical. La intersección de un número finito de hipersuperficies tropicales se denomina prevariedad tropical y, en general, no es una variedad tropical. ^[9] ${\displaystyle \{f_{1},\ldots ,f_{r}\}\subseteq \mathrm {I} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (f_{1}),\ldots ,\operatorname {Trop} (f_{r})}$ ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$

Ideales iniciales

La elección de un vector en define una función a partir de los términos monomiales de a enviando el término m a . Para un polinomio de Laurent , defina la forma inicial de f como la suma de los términos de f para los cuales es mínima. Para el ideal , defina su ideal inicial con respecto a como ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (m)(\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle f=m_{1}+\cdots +m_{s}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (m_{i})(\mathbf {w} )}$ ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)=(\operatorname {in} _{\mathbf {w} }(f):f\in \mathrm {I} (X)).}$

Luego define

${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)=\{\mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)\neq (1)\}.}$

Dado que estamos trabajando en el anillo de Laurent, este es el mismo que el conjunto de vectores de peso para el cual no contiene un monomio. ${\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}$

Cuando K tiene valoración trivial, es precisamente el ideal inicial de con respecto al orden monomial dado por un vector de pesos . De ello se deduce que es un subfan del abanico de Gröbner de . ${\displaystyle \operatorname {in} _{\mathbf {w} }\mathrm {I} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$

Imagen del mapa de valoración

Supóngase que X es una variedad sobre un cuerpo K con valoración v cuya imagen es densa en (por ejemplo un cuerpo de series de Puiseux). Al actuar en función de las coordenadas, v define una función desde el toro algebraico hasta . Luego defina ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (K^{\times })^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)={\overline {\{(v(x_{1}),\ldots ,v(x_{n})):(x_{1},\ldots ,x_{n})\in X\}}},}$

donde la línea superior indica el cierre en la topología euclidiana . Si la valoración de K no es densa en , entonces la definición anterior se puede adaptar extendiendo los escalares a un campo más grande que sí tenga una valoración densa. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Esta definición muestra que es la ameba no arquimediana sobre un campo no arquimediano algebraicamente cerrado K . ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$

Si X es una variedad sobre , puede considerarse como el objeto límite de la ameba ya que la base t del mapa logarítmico tiende a infinito. ^[11] ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Trop} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} _{t}(X)}$

Complejo poliédrico

La siguiente caracterización describe variedades tropicales intrínsecamente sin referencia a variedades algebraicas y tropicalización. Un conjunto V en es una variedad tropical irreducible si es el soporte de un complejo poliédrico ponderado de dimensión pura d que satisface la condición de tensión cero y está conectado en codimensión uno. Cuando d es uno, la condición de tensión cero significa que alrededor de cada vértice, la suma ponderada de las direcciones salientes de los bordes es igual a cero. Para dimensiones más altas, las sumas se toman en cambio alrededor de cada celda de dimensión después de cocientear el espacio afín de la celda. ^[8] La propiedad de que V está conectado en codimensión uno significa que para dos puntos cualesquiera que se encuentren en celdas de dimensión d , hay un camino que los conecta que no pasa por ninguna celda de dimensión menor que . ^[12] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle d-1}$

Curvas tropicales

El estudio de las curvas tropicales (variedades tropicales de dimensión uno) está particularmente bien desarrollado y está fuertemente relacionado con la teoría de grafos . Por ejemplo, la teoría de divisores de curvas tropicales está relacionada con los juegos de fichas en grafos asociados a las curvas tropicales. ^[13]

Muchos teoremas clásicos de la geometría algebraica tienen contrapartes en la geometría tropical, entre ellos:

• Teorema del hexágono de Pappus . ^[14]
• Teorema de Bézout .
• La fórmula grado-género .
• El teorema de Riemann-Roch . ^[15]
• La ley de grupo de las cúbicas . ^[16]

Oleg Viro utilizó curvas tropicales para clasificar curvas reales de grado 7 en el plano hasta la isotopía . Su método de patchwork proporciona un procedimiento para construir una curva real de una clase de isotopía dada a partir de su curva tropical.

Aplicaciones

Una línea tropical apareció en el diseño de subastas de Paul Klemperer utilizado por el Banco de Inglaterra durante la crisis financiera de 2007. ^[17] Yoshinori Shiozawa definió el álgebra subtropical como semiring de tiempos máximos o mínimos (en lugar de máximos y mínimos). Encontró que la teoría ricardiana del comercio (comercio internacional sin comercio de insumos) puede interpretarse como álgebra convexa subtropical. ^{[18] [ fuente no primaria necesaria ]} La geometría tropical también se ha utilizado para analizar la complejidad de redes neuronales de propagación hacia adelante con activación ReLU . ^[19]

Además, varios problemas de optimización que surgen, por ejemplo, en la programación de tareas, análisis de ubicación, redes de transporte, toma de decisiones y sistemas dinámicos de eventos discretos se pueden formular y resolver en el marco de la geometría tropical. ^[20] Se puede aplicar una contraparte tropical del mapa de Abel-Jacobi a un diseño de cristal. ^[21] A menudo se requiere que los pesos en un transductor de estados finitos ponderado sean un semianillo tropical. La geometría tropical puede mostrar criticidad autoorganizada . ^[22]

Véase también

• Análisis tropical
• Compactificación tropical

Notas

1. Hartnett, Kevin (5 de septiembre de 2018). «Los modelos Tinkertoy producen nuevos conocimientos geométricos». Quanta Magazine . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
2. Véase Cuninghame-Green, Raymond A. (1979). Álgebra minimax . Apuntes de clase sobre economía y ciencias matemáticas. Vol. 166. Springer. ISBN. 978-3-540-09113-4y referencias contenidas en el mismo.
3. Maslov, Victor (1987). "Sobre un nuevo principio de superposición para problemas de optimización". Russian Mathematical Surveys . 42 (3): 43–54. Bibcode :1987RuMaS..42...43M. doi :10.1070/RM1987v042n03ABEH001439. S2CID  250889913.
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Referencias

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Lectura adicional

• Amini, Omid; Baker, Matthew; Faber, Xander, eds. (2013). Geometría tropical y no arquimediana. Taller de Bellairs sobre teoría de números, geometría tropical y no arquimediana, Bellairs Research Institute, Holetown, Barbados, EE. UU., 6 al 13 de mayo de 2011. Matemáticas contemporáneas. Vol. 605. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN. 978-1-4704-1021-6.Zbl 1281.14002  .
• Geometría tropical y simetría especular

Enlaces externos

• Geometría tropical, I