Desviación estándar geométrica

Medida estadística

En teoría de probabilidad y estadística , la desviación estándar geométrica ( GSD ) describe cuán dispersos están un conjunto de números cuyo promedio preferido es la media geométrica . Para tales datos, puede preferirse a la desviación estándar más habitual . Tenga en cuenta que, a diferencia de la desviación estándar aritmética habitual , la desviación estándar geométrica es un factor multiplicativo y, por lo tanto, no tiene dimensiones , en lugar de tener la misma dimensión que los valores de entrada. Por lo tanto, la desviación estándar geométrica puede denominarse más apropiadamente factor SD geométrico . ^{[1] [2]} Cuando se utiliza el factor SD geométrico junto con la media geométrica, debe describirse como "el rango desde (la media geométrica dividida por el factor SD geométrico) hasta (la media geométrica multiplicada por el factor SD geométrico), y no se puede sumar/restar el "factor SD geométrico" a/de la media geométrica ^{[3] .}

Definición

Si la media geométrica de un conjunto de números se denota como , entonces la desviación estándar geométrica es ${\textstyle {A_{1},A_{2},...,A_{n}}}$ ${\textstyle \mu _{\mathrm {g} }}$

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

Derivación

Si la media geométrica es

$${\displaystyle \mu _{\mathrm {g} }={\sqrt[{n}]{A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}}}$$

luego tomando el logaritmo natural de ambos lados se obtiene

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\ln(A_{1}A_{2}\cdots A_{n}).}$$

El logaritmo de un producto es una suma de logaritmos (asumiendo que es positivo para todos ), entonces ${\textstyle A_{i}}$ ${\textstyle i}$

$${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }={1 \over n}\left[\ln A_{1}+\ln A_{2}+\cdots +\ln A_{n}\right].}$$

Ahora se puede ver que es la media aritmética del conjunto , por lo tanto la desviación estándar aritmética de este mismo conjunto debe ser ${\displaystyle \ln \mu _{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle \{\ln A_{1},\ln A_{2},\dots ,\ln A_{n}\}}$

$${\displaystyle \ln \sigma _{\mathrm {g} }={\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(\ln A_{i}-\ln \mu _{\mathrm {g} })^{2}}}\,.}$$

Esto simplifica a

$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp {\sqrt {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {A_{i} \over \mu _{\mathrm {g} }}\right)^{2}}}\,.}$$

Puntuación estándar geométrica

La versión geométrica de la puntuación estándar es

$${\displaystyle z={{\ln x-\ln \mu _{\mathrm {g} }} \over \ln \sigma _{\mathrm {g} }}=\log _{\sigma _{\mathrm {g} }}\left({x \over \mu _{\mathrm {g} }}\right).}$$

Si se conocen la media geométrica, la desviación estándar y la puntuación z de un dato, entonces la puntuación bruta se puede reconstruir mediante

$${\displaystyle x=\mu _{\mathrm {g} }{\sigma _{\mathrm {g} }}^{z}.}$$

Relación con la distribución log-normal

La desviación estándar geométrica se utiliza como medida de la dispersión log-normal de forma análoga a la media geométrica. ^[3] Como la transformada logarítmica de una distribución logarítmica normal da como resultado una distribución normal, vemos que la desviación estándar geométrica es el valor exponenciado de la desviación estándar de los valores transformados logarítmicamente, es decir . ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {g} }=\exp(\operatorname {stdev} (\ln A))}$

Como tal, la media geométrica y la desviación estándar geométrica de una muestra de datos de una población con distribución logarítmica normal se pueden usar para encontrar los límites de los intervalos de confianza de manera análoga a la forma en que se usan la media aritmética y la desviación estándar para limitar los intervalos de confianza para una distribución normal. Consulte la discusión sobre distribución log-normal para obtener más detalles.

Referencias

1. Guía de GraphPad
2. Kirkwood, TBL (1993). "Desviación estándar geométrica: respuesta a Bohidar". Desarrollo de drogas. Indiana Farmacia 19(3): 395-6.
3. Kirkwood, TBL (1979). "Medios geométricos y medidas de dispersión". Biometría . 35 : 908–9. JSTOR  2530139.

enlaces externos

• Sitio web de cálculo no newtoniano