Distribución de ley de potencia lognormal modificada

La función de ley de potencia lognormal modificada ( MLP ) es una función de tres parámetros que se puede utilizar para modelar datos que tienen características de una distribución log-normal y un comportamiento de ley de potencia . Se ha utilizado para modelar la forma funcional de la función de masa inicial (FMI). A diferencia de otras formas funcionales del FMI, el MLP es una función única sin condiciones de adhesión.

Forma funcional

La forma cerrada de la función de densidad de probabilidad del MLP es la siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m)={\frac {\alpha }{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-(1+\alpha )}{\text{erfc}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)\right),\ m\in [0,\infty )\end{aligned}}}$

donde es el índice de ley de potencia asintótica de la distribución. Aquí y son la media y la varianza, respectivamente, de una distribución lognormal subyacente de la que se deriva el MLP. ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha ={\frac {\delta }{\gamma }}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}^{2}}$

Propiedades matemáticas

Las siguientes son las pocas propiedades matemáticas de la distribución MLP:

Distribución acumulativa

La función de distribución acumulativa de MLP ( ) viene dada por: ${\displaystyle F(m)=\int _{-\infty }^{m}f(t)\,dt}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F(m)={\frac {1}{2}}{\text{erfc}}\left(-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)-{\frac {1}{2}}\exp \left(\alpha \mu _{0}+{\frac {\alpha ^{2}\sigma _{0}^{2}}{2}}\right)m^{-\alpha }{\text{erfc}}\left({\frac {\alpha \sigma _{0}}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln(m)-\mu _{0}}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right)\right)\end{aligned}}}$

Podemos ver eso como la función de distribución acumulativa para una distribución lognormal con parámetros μ ₀ y σ ₀ . ${\displaystyle m\to 0,}$ ${\displaystyle \textstyle F(m)\to {\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln(m-\mu _{0})}{{\sqrt {2}}\sigma _{0}}}\right),}$

Media, varianza, momentos crudos.

El valor esperado de ^k da el momento de ^empuje de , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }m^{k}f(m)\mathrm {d} m\end{aligned}}}$

Esto existe si y sólo si α > , en cuyo caso se convierte en: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{k}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -k}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}k^{2}}{2}}+\mu _{0}k\right),\ \alpha >k\end{aligned}}}$

que es el ^momento de la distribución lognormal con los parámetros μ ₀ y σ ₀ escalados por α ⁄ α- en el límite α→∞. Esto da la media y la varianza de la distribución MLP: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -1}}\exp \left({\frac {\sigma _{0}^{2}}{2}}+\mu _{0}\right),\ \alpha >1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle M^{2}\rangle ={\frac {\alpha }{\alpha -2}}\exp \left(2\left(\sigma _{0}^{2}+\mu _{0}\right)\right),\ \alpha >2\end{aligned}}}$

Var( ) = ⟨ ² ⟩-(⟨ ⟩) ² = α exp(σ ₀ ² + 2μ ₀ ) ( ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$exp(σ ₀ ² )/α-2-α/(α-2) ²), α > 2

Modo

La solución a la ecuación = 0 (igualando la pendiente a cero en el punto de máximos) da la moda de la distribución MLP. ${\displaystyle f'(m)}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle f'(m)=0\Leftrightarrow K\operatorname {erfc} (u)=\exp(-u^{2}),}$

dónde y ${\displaystyle \textstyle u={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\alpha \sigma _{0}-{\frac {\ln m-\mu _{0}}{\sigma _{0}}}\right)}$ ${\displaystyle K=\sigma _{0}(\alpha +1){\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

Se requieren métodos numéricos para resolver esta ecuación trascendental. Sin embargo, observar que si ≈1 entonces u = 0 nos da la moda ^* : ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle m^{*}=\exp(\mu _{0}+\alpha \sigma _{0}^{2})}$

Variación aleatoria

La variable aleatoria lognormal es:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(\mu ,\sigma )=\exp(\mu +\sigma N(0,1))\end{aligned}}}$

donde es la variación aleatoria normal estándar. La variable aleatoria exponencial es: ${\displaystyle N(0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E(\delta )=-\delta ^{-1}\ln(R(0,1))\end{aligned}}}$

donde R(0,1) es la variable aleatoria uniforme en el intervalo [0,1]. Usando estos dos, podemos derivar la variable aleatoria para la distribución MLP como:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(\mu _{0},\sigma _{0},\alpha )=\exp(\mu _{0}+\sigma _{0}N(0,1)-\alpha ^{-1}\ln(R(0,1)))\end{aligned}}}$

Referencias

1. Basu, Shantanu; Gil, M; Auddy, Sayatan (1 de abril de 2015). "La distribución MLP: un modelo de ley de potencia lognormal modificado para la función de masa inicial estelar". MNRAS . 449 (3): 2413–2420. arXiv : 1503.00023 . Código bibliográfico : 2015MNRAS.449.2413B. doi :10.1093/mnras/stv445.