Fréchet significa

En matemáticas y estadística , la media de Fréchet es una generalización de centroides a espacios métricos , dando un único punto representativo o tendencia central para un grupo de puntos. Lleva el nombre de Maurice Fréchet . El significado de Karcher es el cambio de nombre del centro de construcción de masas de Riemann desarrollado por Karsten Grove y Hermann Karcher. ^{[1] [2]} En los números reales, la media aritmética , la mediana , la media geométrica y la media armónica pueden interpretarse como medias de Fréchet para diferentes funciones de distancia.

Definición

Sea ( M , d ) un espacio métrico completo. Sean x ₁ , x ₂ , …, x _N puntos en M . Para cualquier punto p en M , defina la varianza de Fréchet como la suma de las distancias al cuadrado desde p hasta x _i :

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}$

Las medias de Karcher son entonces aquellos puntos, m de M , que minimizan Ψ: ^[2]

${\displaystyle m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}d^{2}(p,x_{i})}$

Si hay una m única de M que minimiza estrictamente Ψ, entonces es la media de Fréchet .

A veces, a los _xi se les asignan pesos w _i . Luego, las varianzas de Fréchet y la media de Fréchet se definen mediante sumas ponderadas:

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}(p,x_{i}).}$

Ejemplos de medios Fréchet

Media aritmética y mediana

Para números reales, la media aritmética es una media de Fréchet, utilizando la distancia euclidiana habitual como función de distancia.

La mediana también es una media de Fréchet, si la definición de la función Ψ se generaliza a la no cuadrática

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),}$

donde , y la distancia euclidiana es la función de distancia d . ^[3] En espacios de dimensiones superiores, esto se convierte en la mediana geométrica . ${\displaystyle \alpha =1}$

Significado geometrico

En los números reales positivos, se puede definir la función de distancia (hiperbólica). La media geométrica es la correspondiente media de Fréchet. En efecto, es entonces una isometría del espacio euclidiano a este espacio "hiperbólico" y debe respetar la media de Fréchet: la media de Fréchet de es la imagen de la media de Fréchet (en el sentido euclidiano) de , es decir, debe ser: ${\displaystyle d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|}$ ${\displaystyle f:x\mapsto e^{x}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(x_{i})}$

${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$.

Significado armonico

En los números reales positivos , la métrica (función de distancia):

${\displaystyle d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}$

Puede ser definido. La media armónica es la media de Fréchet correspondiente. ^{[ cita necesaria ]}

Poder significa

Dado un número real distinto de cero , la media de potencia se puede obtener como una media de Fréchet introduciendo la métrica ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle m}$

${\displaystyle d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}$

f-media

Dada una función invertible y continua , la media f se puede definir como la media de Fréchet obtenida utilizando la métrica: ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle f}$

${\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}$

A esto a veces se le llama media f generalizada o media cuasi aritmética .

Medias ponderadas

La definición general de la media de Fréchet, que incluye la posibilidad de ponderar las observaciones, se puede utilizar para derivar versiones ponderadas para todos los tipos de medias anteriores.

Ver también

• media circular
• distancia de frechet
• estimador m
• mediana geométrica

Referencias

1. Arboleda, Karsten; Karcher, Hermann (1973), "Cómo conjugar acciones de grupo cerrado C1, Math.Z. 132", Mathematische Zeitschrift , 132 (1): 11–20, doi :10.1007/BF01214029.
2. Nielsen, Frank; Bhatia, Rajendra (2012), Geometría de información matricial, Springer, p. 171, ISBN 9783642302329.
3. Nielsen y Bhatia (2012), pág. 136.