Media generalizada

Raíz n-ésima de la media aritmética de los números dados elevados a la potencia n

Trama de varias medias generalizadas . ${\displaystyle M_{p}(1,x)}$

En matemáticas , las medias generalizadas (o medias de potencia o medias de Hölder , de Otto Hölder ) ^[1] son ​​una familia de funciones para agregar conjuntos de números. Entre ellas se incluyen como casos especiales las medias pitagóricas ( aritméticas , geométricas y armónicas ).

Definición

Si p es un número real distinto de cero , y son números reales positivos, entonces la media generalizada o media de potencia con exponente p de estos números reales positivos es ^{[2] [3]} ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{{1}/{p}}.}$$

(Ver p -norm ). Para p = 0 lo igualamos a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes que se aproximan a cero, como se demuestra a continuación):

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{1/n}.}$$

Además, para una secuencia de pesos positivos w _i definimos la media de potencia ponderada como ^[2] y cuando p = 0 , es igual a la media geométrica ponderada : $${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{{1}/{p}}}$$

$${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)^{1/\sum _{i=1}^{n}w_{i}}.}$$

Las medias no ponderadas corresponden a establecer todos los w _i = 1/n .

Casos especiales

Algunos valores particulares de p producen casos especiales con sus propios nombres: ^[4]

mínimo

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

Una representación visual de algunos de los casos especificados para n = 2 con a = x ₁ = M _∞ y b = x ₂ = M _−∞ :

  media armónica, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  media geométrica, G = M ₀ ( a , b )

  media aritmética, A = M ₁ ( a , b )

  media cuadrática, Q = M ₂ ( a , b )

media armónica

${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

media geométrica ${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$

media aritmética

${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$

raíz cuadrada media
o media cuadrática ^{[5] [6]}

${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$

media cúbica

${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$

máximo

${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

Prueba de (media geométrica) ${\textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

A los efectos de la prueba, asumiremos sin pérdida de generalidad que y $${\displaystyle w_{i}\in [0,1]}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}=1.}$$

Podemos reescribir la definición de uso de la función exponencial como ${\displaystyle M_{p}}$

$${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$$

En el límite p → 0 , podemos aplicar la regla de L'Hôpital al argumento de la función exponencial. Suponemos que p ≠ 0 , y que la suma de w _i es igual a 1 (sin pérdida de generalidad); ^[7] Derivando numerador y denominador respecto de p , tenemos ${\displaystyle p\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}&=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}\\&=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}\\&={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}\\&=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\end{aligned}}}$$

Por la continuidad de la función exponencial, podemos sustituir nuevamente en la relación anterior para obtener lo deseado. ^[2] $${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

Prueba de y ${\textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$ ${\textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Supongamos (posiblemente después de volver a etiquetar y combinar los términos) que . Entonces ${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}\\&=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).\end{aligned}}}$$

La fórmula para sigue de ${\displaystyle M_{-\infty }}$ $${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}=x_{n}.}$$

Propiedades

Sea una secuencia de números reales positivos, entonces se cumplen las siguientes propiedades: ^[1] ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Cada media generalizada siempre se encuentra entre el valor x más pequeño y el más grande .
2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$, donde es un operador de permutación. ${\displaystyle P}$
   Cada media generalizada es una función simétrica de sus argumentos; permutar los argumentos de una media generalizada no cambia su valor.
3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$.
   Como la mayoría de las medias , la media generalizada es una función homogénea de sus argumentos x ₁ , ..., x _n . Es decir, si b es un número real positivo, entonces la media generalizada con exponente p de los números es igual a b por la media generalizada de los números x ₁ , ..., x _n . ${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$
4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}$.
   Al igual que las medias cuasi aritméticas , el cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño. Esto permite el uso de un algoritmo de dividir y vencer para calcular las medias, cuando sea conveniente.

Desigualdad media generalizada

Prueba geométrica sin palabras de que máx  ( a , b ) > raíz cuadrada media ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > mín  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

En general, si p < q , entonces y las dos medias son iguales si y sólo si x ₁ = x ₂ = ... = x _n . $${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$$

La desigualdad es verdadera para valores reales de p y q , así como para valores de infinito positivos y negativos.

Se deduce del hecho de que, para todo p real , lo cual puede demostrarse utilizando la desigualdad de Jensen . $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$$

En particular, para p en {−1, 0, 1} , la desigualdad de medias generalizada implica la desigualdad de medias pitagóricas así como la desigualdad de medias aritméticas y geométricas .

Prueba de la desigualdad ponderada

Probaremos la desigualdad de potencia media ponderada. Para los fines de la prueba supondremos lo siguiente sin pérdida de generalidad: $${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$$

La prueba de potencias medias no ponderadas se puede obtener fácilmente sustituyendo w _i = 1/ n .

Equivalencia de desigualdades entre medias de signos opuestos

Supongamos que se cumple un promedio entre medias de potencias con exponentes p y q : aplicando esto, entonces: $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}\right)^{1/p}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}\right)^{1/q}}$$

Elevamos ambos lados a la potencia −1 (función estrictamente decreciente en reales positivos): $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}\right)^{-1/p}=\left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}\right)^{1/p}\leq \left({\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}\right)^{1/q}=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}}$$

Obtenemos la desigualdad para medias con exponentes − p y − q , y podemos usar el mismo razonamiento a la inversa, demostrando así que las desigualdades son equivalentes, lo que se usará en algunas de las pruebas posteriores.

Media geométrica

Para cualquier q > 0 y pesos no negativos que suman 1, se cumple la siguiente desigualdad: $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.}$$

La prueba se desprende de la desigualdad de Jensen , aprovechando el hecho de que el logaritmo es cóncavo: $${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Aplicando la función exponencial a ambos lados y observando que como función estrictamente creciente conserva el signo de la desigualdad, obtenemos $${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$$

Tomando las q -ésimas potencias de x _i se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\\&\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, hemos terminado con la desigualdad con q positiva ; el caso para los negativos es idéntico pero con los signos intercambiados en el último paso:

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{-q{\cdot }w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}.}$$

Por supuesto, llevar cada lado a la potencia de un número negativo -1/ q intercambia la dirección de la desigualdad.

$${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}\right)^{-1/q}.}$$

La desigualdad entre dos potencias cualesquiera significa

Debemos demostrar que para cualquier p < q se cumple la siguiente desigualdad: si p es negativo y q es positivo, la desigualdad es equivalente a la demostrada anteriormente: $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

La prueba de que p y q son positivos es la siguiente: Definamos la siguiente función: f  : R ₊ → R ₊ . f es una función potencia, por lo que tiene una segunda derivada: que es estrictamente positiva dentro del dominio de f , ya que q > p , por lo que sabemos que f es convexa. ${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$ $${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$$

Usando esto y la desigualdad de Jensen obtenemos: después de elevar ambos lados a la potencia de 1/ q (una función creciente, ya que 1/ q es positiva) obtenemos la desigualdad que se quería demostrar: $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{q/p}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\right)^{1/q}}$$

Usando la equivalencia mostrada previamente podemos probar la desigualdad para p y q negativos reemplazándolos con −q y −p , respectivamente.

GeneralizadoF-significar

La media de potencia podría generalizarse aún más a la f -media generalizada :

$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$$

Esto cubre la media geométrica sin utilizar un límite con f ( x ) = log( x ) . La media de potencia se obtiene para f ( x ) = x ^p . Las propiedades de estas medias se estudian en de Carvalho (2016). ^[3]

Aplicaciones

Procesamiento de señales

Una media de potencia sirve como promedio móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para p pequeños y enfatiza valores de señal grandes para p grandes . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada smoothse puede implementar una media de potencia móvil de acuerdo con el siguiente código Haskell .

powerSmooth :: Flotante a => ([ a ] ​​-> [ a ]) - > a - > [ a ] ​​- > [ a ] ​​powerSmooth suavizar p = map ( ** recip p ) .smooth.map ( ** p )                         

• Para p grandes, puede servir como detector de envolvente en una señal rectificada .
• Para p pequeños , puede servir como detector de base en un espectro de masas .

Véase también

• Media aritmético-geométrica
• Promedio
• Media heroniana
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas
• Media de Lehmer – también media relacionada con potencias
• Distancia de Minkowski
• Media cuasi-aritmética : otro nombre para la f-media generalizada mencionada anteriormente
• Raíz cuadrada media

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG .
   Utilizando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Utilizando el teorema de Pitágoras , OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Utilizando triángulos semejantes , ⁠HC/GC⁠ = ⁠GC/jefe⁠ ∴HC = ⁠GC²/jefe⁠ = HM .

Referencias

1. Sýkora, Stanislav (2009). "Medias y promedios matemáticos: propiedades básicas". Biblioteca de Stan . III . Castano Primo, Italia. doi :10.3247/SL3Math09.001.
2. PS Bullen: Manual de medias y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, págs. 175-177
3. de Carvalho, Miguel (2016). "Es decir, ¿qué quieres decir?". The American Statistician . 70 (3): 764‒776. doi :10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c .
4. Weisstein, Eric W. "Media de potencia". MathWorld .(consultado el 17 de agosto de 2019)
5. Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado. Macmillan International Higher Education. pág. 185. ISBN 9781349004874. Recuperado el 5 de julio de 2020 .^{[ enlace muerto permanente ]}
6. Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras. Routledge. pág. 48. ISBN 9781351661386. Recuperado el 5 de julio de 2020 .
7. Manual de medias y sus desigualdades (Matemáticas y sus aplicaciones) .

Lectura adicional

• Bullen, PS (2003). "Capítulo III - Los medios de poder". Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer. pp. 175–265.

Enlaces externos

• Potencia media en MathWorld
• Ejemplos de media generalizada
• Una prueba de la media generalizada en PlanetMath