Pitagórico significa

Promedios clásicos estudiados en la antigua Grecia

Una construcción geométrica de la media cuadrática y de las medias pitagóricas (de dos números a y b ). La media armónica se denota por  H , geométrico por  G , aritmética por  A y la media cuadrática (también conocida como raíz cuadrada media ) denotada por  Q .

Comparación de las medias aritmética, geométrica y armónica de un par de números. Las líneas discontinuas verticales son asíntotas de las medias armónicas.

En matemáticas, las tres medias pitagóricas clásicas son la media aritmética (MA), la media geométrica (GM) y la media armónica (HM). Estas medias fueron estudiadas con proporciones por los pitagóricos y generaciones posteriores de matemáticos griegos ^[1] debido a su importancia en la geometría y la música.

Definición

Se definen por:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {AM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {x_{1}+\;\cdots \;+x_{n}}{n}}\\[9pt]\operatorname {GM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\sqrt[{n}]{\left\vert x_{1}\times \,\cdots \,\times x_{n}\right\vert }}\\[9pt]\operatorname {HM} \left(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\right)&={\frac {n}{\displaystyle {\frac {1}{x_{1}}}+\;\cdots \;+{\frac {1}{x_{n}}}}}\end{aligned}}}$$

Propiedades

Cada media, , tiene las siguientes propiedades: ${\textstyle \operatorname {M} }$

Homogeneidad de primer orden

${\displaystyle \operatorname {M} (bx_{1},\,\ldots ,\,bx_{n})=b\operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Invariancia bajo intercambio

${\displaystyle \operatorname {M} (\ldots ,\,x_{i},\,\ldots ,\,x_{j},\,\ldots )=\operatorname {M} (\ldots ,\,x_{j},\,\ldots ,\,x_{i},\,\ldots )}$

para cualquier y . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Monotonía

${\displaystyle a\leq b\rightarrow \operatorname {M} (a,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\leq \operatorname {M} (b,x_{1},x_{2},\ldots x_{n})}$

Idempotencia

${\displaystyle \forall x,\;M(x,x,\ldots x)=x}$

La monotonía y la idempotencia juntas implican que la media de un conjunto siempre se encuentra entre los extremos del conjunto: $${\displaystyle \min(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \operatorname {M} (x_{1},\,\ldots ,\,x_{n})\leq \max(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}).}$$

Las medias armónicas y aritméticas son duales recíprocos entre sí para argumentos positivos. $${\displaystyle \operatorname {HM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {AM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}},}$$

mientras que la media geométrica es su propio dual recíproco: $${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {1}{x_{1}}},\,\ldots ,\,{\frac {1}{x_{n}}}\right)={\frac {1}{\operatorname {GM} \left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)}}.}$$

Desigualdades entre medias

Prueba geométrica sin palabras de que máx  ( a , b ) > raíz cuadrada media ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > mín  ( a , b ) de dos números positivos distintos a y b ^{[nota 1]}

Hay un ordenamiento de estos medios (si todos son positivos) y la igualdad se cumple si y sólo si son todos iguales. ${\displaystyle x_{i}}$ $${\displaystyle \min \leq \operatorname {HM} \leq \operatorname {GM} \leq \operatorname {AM} \leq \max }$$ ${\displaystyle x_{i}}$

Esta es una generalización de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas y un caso especial de una desigualdad para medias generalizadas . La prueba se desprende de la desigualdad de medias aritméticas y geométricas , y de la dualidad recíproca ( y también son duales recíprocos entre sí). ${\displaystyle \operatorname {AM} \leq \max }$ ${\displaystyle \min }$ ${\displaystyle \max }$

El estudio de las medias pitagóricas está estrechamente relacionado con el estudio de la mayorización y las funciones Schur-convexas . Las medias armónicas y geométricas son funciones simétricas cóncavas de sus argumentos y, por lo tanto, cóncavas de Schur, mientras que la media aritmética es una función lineal de sus argumentos y, por lo tanto, es cóncava y convexa.

Historia

Casi todo lo que sabemos sobre los medios pitagóricos proviene de manuales de aritmética escritos en los siglos I y II. Nicómaco de Gerasa dice que fueron "reconocidos por todos los antiguos, Pitágoras, Platón y Aristóteles". ^[2] Su uso más antiguo conocido es un fragmento del filósofo pitagórico Arquitas de Tarento :

En la música hay tres medios: uno es aritmético, el segundo es geométrico, el tercero es subcontrario, que llaman armónico. El medio es aritmético cuando tres términos están en proporción tal que el exceso en que el primero excede al segundo es el exceso en que el segundo excede al tercero. En esta proporción resulta que el intervalo de los términos mayores es menor, pero el de los términos menores es mayor. El medio es geométrico cuando son tales que como el primero es al segundo, así el segundo es al tercero. De estos términos, el mayor y el menor tienen el intervalo entre ellos igual. Subcontrario, que llamamos armónico, es el medio cuando son tales que, en la parte de sí mismo en que el primer término excede al segundo, en la parte del tercero el término medio excede al tercero. Resulta que en esta proporción el intervalo entre los términos mayores es mayor y el intervalo entre los términos menores es menor.

—  Arquitas de Tarento, ^[3]

Según Jámblico , el nombre de «media armónica» fue acuñado por Arquitas e Hípaso . Los medios pitagóricos también aparecen en el Timeo de Platón . Otra evidencia de su uso temprano es un comentario de Pappus .

Fue [...] Teeteto quien distinguió las potencias conmensurables en longitud de las que son inconmensurables, y quien dividió las líneas irracionales más generalmente conocidas según los diferentes medios, asignando las líneas mediales a la geometría, las binomiales a la aritmética y las apótomas a la armonía, como afirma Eudemo , el peripatético. ^[4]

El término «media» (del griego antiguo μεσότης, mesótēs ) aparece en los manuales de aritmética neopitagórica en relación con el término «proporción» (del griego antiguo ἀναλογία, analogía ). ^{[ cita requerida ]}

El entero positivo distinto más pequeño significa

De todos los pares de números naturales diferentes de la forma ( a , b ) tales que a < b , los más pequeños (tal como se define por el menor valor de a + b ) para los cuales las medias aritméticas, geométricas y armónicas son también números naturales son (5, 45) y (10, 40). ^[5]

Véase también

• Media aritmético-geométrica
• Promedio
• Proporción áurea
• Triángulo de Kepler

Notas

1. Si AC = a y BC = b . OC = AM de a y b , y radio r = QO = OG .
   Utilizando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Utilizando el teorema de Pitágoras , OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
   Utilizando triángulos semejantes , ⁠HC/GC⁠ = ⁠GC/jefe⁠ ∴HC = ⁠GC²/jefe⁠ = HM .

Referencias

1. Heath, Thomas. Historia de las matemáticas griegas antiguas .
2. Gerasa.), Nicomachus (de (1926). Introducción a la aritmética. Macmillan.
3. Huffman, Carl (2005). Arquitas de Tarento: rey pitagórico, filósofo y matemático . Cambridge University Press. pág. 163. ISBN 1139444077.
4. Huffman, Carl (2014). Una historia del pitagorismo . Cambridge University Press. pág. 168. ISBN 978-1139915984.
5. Departamento de Matemáticas de Virginia Tech, 39.° VTRMC, 2017, Soluciones, parte 5

Enlaces externos

• Cantrell, David W. "Medias pitagóricas". MathWorld .